排列、组合、二项式定理ppt课件

1、陈列陈列组合组合二项式定理二项式定理第九章第九章：t./ ；:；2一一. .两个根本原理两个根本原理加法原理：加法原理： 做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类方法类方法第第1类方法中类方法中有有m1种不同的方法种不同的方法 第第2类方法中类方法中有有m2种不同的方法种不同的方法 第第n类方法中类方法中有有mn种不同的方法种不同的方法 那么完成这件事共有那么完成这件事共有Nm1+m2+mn种不同的方种不同的方法法(不论哪一类方法中的哪一种方法都能独立完成这件事不论哪一类方法中的哪一种方法都能独立完成这件事) 了解了解: 前提：做一件事完成它有前提：做一件事完成它有n类方法类方法在这在

2、这n类方法中选用任何一种方法都可完成这件事类方法中选用任何一种方法都可完成这件事完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的完成这件事的各种方法是相互独立的、互斥的,：t./ ；:；2一一. .两个根本原理两个根本原理乘法原理：乘法原理： 做一件事完成它需求分做一件事完成它需求分n n个歩骤：个歩骤： 做第做第1歩歩有有m1种不同的方法种不同的方法做第做第2歩歩有有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n歩歩有有mn种不同的方法种不同的方法 那么完成这件事共有那么完成这件事共有N Nm1m1m2m2mnmn种不同的方法种不同的方法 需求依次完成一切歩骤才干完成这件事，而完成需求依次完成一切歩骤才干完

3、成这件事，而完成每一个歩骤各自有假设干方法，即各歩骤不可短少每一个歩骤各自有假设干方法，即各歩骤不可短少 了解了解: 两个根本原理的区别：两个根本原理的区别：)()(串联乘法原理并联加法原理一一. .两个根本原理两个根本原理附加：附加： 抽屉原理：抽屉原理： 把把n个不同物体放入个不同物体放入m个抽屉里的放入方法有个抽屉里的放入方法有mn种种？这样的复数共有多少个为非负整数且、，其中复数例 , 5|. 1zbabiaz确定不同映射的个数可以到求从集合例 BA,A. 2fedBdcba一一. .两个根本原理两个根本原理多少个不同的三位数？张排放在一起，可组成将其中与、与、与、与张卡片的正反面分别

4、有例3 , 765432104 . 3.3543210. 4整除的四位数可组成多少个能被、用数字例.)()(,4 , 3 , 3, 0. 5222数所表示的不同的圆的个时求方程：、当例rbyaxMrbaM二二. .陈列及其运用陈列及其运用陈列定义：陈列定义： 从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(nm)m(nm)个元个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做素，按照一定的顺序排成一列，叫做从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个个元素的一个陈列陈列( (树图树图). ). 问：一个陈列指什么？问：一个陈列指什么？陈列数：陈列数： 从从n n个不同元素中取出个不同元素中

5、取出m(nm)m(nm)个元素的一个元素的一切陈列的个数，叫做从切陈列的个数，叫做从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m m个元素的陈列数，个元素的陈列数， 问：一切陈列指什么？问：一切陈列指什么？ 陈列数公式：陈列数公式： 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的陈个元素的陈列数，记为列数，记为mnP)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnPmn!123)2)(1(nnnnPnn1! 0 规定：规定： 常用方法：常用方法： (1)直接法 (2)间接法：间接法： 处置处置“至多或至多或“至少一类问题非常有效求其反面至少一类问题非常有效求其反面(3)优选法：优选法： 部分元素要排在

6、某些特殊位置时要优先予以思索。部分元素要排在某些特殊位置时要优先予以思索。 (4)排除法：排除法： 反面情形较为简单，可计算反面情形再从一切情形反面情形较为简单，可计算反面情形再从一切情形中减去中减去. . (5)捆绑法：捆绑法： 部分元素要连排在一同时，可将它们陈列后视为部分元素要连排在一同时，可将它们陈列后视为一个元素再和其它陈列一个元素再和其它陈列( (相邻问题相邻问题). ). (6)插空法：插空法： 某些元素要求隔开或顺序有规定时，可先排其他某些元素要求隔开或顺序有规定时，可先排其他元素元素(不相邻问题不相邻问题)例例2.7人排成一排，其中甲乙两人不相邻的排人排成一排，其中甲乙两人不

7、相邻的排 法有多少？法有多少？例例1.知集合知集合A=a1,a2,a3,B=b1,b2,b3,b4,b5,b6,假设假设A中的不同元素对应到中的不同元素对应到B中的不同象，那么中的不同象，那么这样的映射个数其有这样的映射个数其有( )A. 3 B. 20 C . 64 D. 120例例3.7名师生站成一排照相留念，其中教师名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生人，男生4人，女生人，女生2人，在以下情况下，各人，在以下情况下，各自不同站法多少种？自不同站法多少种？(1).两名女生必需相邻而站两名女生必需相邻而站.(2).4名男生互不相邻名男生互不相邻.(3).假设假设4名男生身高都不等且男生

8、按从高究名男生身高都不等且男生按从高究竟的一种顺序站竟的一种顺序站.(4).教师不站中间，女生不站两端教师不站中间，女生不站两端.(5).女生甲不站左端，女生乙不站右端女生甲不站左端，女生乙不站右端.例例5.知甲组有知甲组有2n人，乙组有人，乙组有n+1人，设从甲组人，设从甲组中选出中选出3人分别参与数理化三科竞赛人分别参与数理化三科竞赛(每科限每科限一人参与一人参与)的选法数是的选法数是x，从乙组中选出，从乙组中选出4人站人站成一排照相的站法数是成一排照相的站法数是y，假设，假设x=2y,求求n、x、y.例例4.由由1、2、3、4、5组成没有反复数字的五组成没有反复数字的五位数位数120个，

9、把这些五位数从小到大的顺序陈个，把这些五位数从小到大的顺序陈列起来。列起来。 (1).43251是第几个数是第几个数? (2).写出第写出第93个数个数?二二. .组合及其运用组合及其运用组合定义：组合定义： 从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(nm)m(nm)个元个元素并成一组，叫做从素并成一组，叫做从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m m个元素的一个组合个元素的一个组合( (树图树图). ). 问：一个组合指什么？问：一个组合指什么？组合数：组合数： 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(nm)m(nm)个元素的一个元素的一切组合的个数，叫做从切组合的个数，叫做

10、从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m m个元素的组合数，个元素的组合数， 问：一切组合指什么？问：一切组合指什么？ 组合数公式：组合数公式： 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组个元素的组合数，记为合数，记为mnC)!( !) 1()2)(1(mnmnmmnnnnPPCmmmnmn10nnnCC规定：规定：组合数的两个性质：组合数的两个性质： 定理定理1：mnnmnCC定理定理2：11mnmnmnCCC排列排列组合组合顺序问题顺序问题 与元素的顺序有关与元素的顺序有关与元素的顺序无关与元素的顺序无关相同相同 与与相异相异ab与与ba是不同的排列是不同的排列abc与与abd是

11、不同的排列是不同的排列abd与与abd是相同的排列是相同的排列ab与与ba是相同的组合是相同的组合abc与与abd是不同的组合是不同的组合公式公式规定规定陈列与组合关系：陈列与组合关系：)!(!mnnPmn)!( !mnmnPPCmmmnmn1! 0 10nnnCC例例1.从从4个不同元素个不同元素a、b、c、d中取出中取出3个元个元素的陈列与组合关系：素的陈列与组合关系：组合组合 陈列陈列 cba abcacbbcabaccabcba dba dca abdadbbdabaddabdba acdadccdacaddacdca dcb bcdbdccdbcbddbcdcb mnCmnPmmmn

12、mnPCP例例1.91.9人分往人分往3 3处劳动，假设处劳动，假设(1)(1)甲处要甲处要4 4人，乙处要人，乙处要3 3人，丙处要人，丙处要2 2人，有几种分法人，有几种分法. .(2)(2)一处要一处要4 4人，一处要人，一处要3 3人，一处要人，一处要2 2人，有几种分法人，有几种分法. .例例2.2.从从4 4名男生和名男生和5 5名女生中任选出名女生中任选出3 3名，其中至少男女名，其中至少男女生各一名，那么不同取法有生各一名，那么不同取法有 ( ) ( )A.140 B.80 C.70 D.35A.140 B.80 C.70 D.35例例3.3.在在100100件产品中，有件产品

13、中，有4 4件次品，现恣意抽出件次品，现恣意抽出5 5件，件，其中至少有其中至少有1 1件是次品的抽法有多少？件是次品的抽法有多少？例例4.4.从四面体顶点和各棱中点共从四面体顶点和各棱中点共1010个点中任取个点中任取4 4个不共个不共面的点，不同取法有面的点，不同取法有 ( ) ( )A.150A.150种种 B.147 B.147种种 C.144 C.144种种 D.141 D.141种种例例5.105.10名优秀学生名额分到名优秀学生名额分到6 6个班，每班至少一个名额个班，每班至少一个名额的分法有多少种？的分法有多少种？例例6.116.11名学生中有名学生中有5 5名只会英语，名只会

14、英语，4 4名只会日语，名只会日语，2 2人人既会英语又会日语，从中选出既会英语又会日语，从中选出4 4人参与英语竞赛，人参与英语竞赛，4 4人人参与日语竞赛有多少种不同的选参与日语竞赛有多少种不同的选 法？法？例例7.7.四个不同的小球放入编号为四个不同的小球放入编号为1 1、2 2、3 3、4 4的四个盒的四个盒 中那么中那么4 4个有一个是空盒的放法有多少种个有一个是空盒的放法有多少种. .例例8.8.从从1 1、2 2、3 3、4 4、9 9九个数字中，选出九个数字中，选出3 3个不同个不同的数字作为的数字作为y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的系数且的系数且abcabc，这种系

15、数有，这种系数有多少种多少种例例9.(9.(走路问题走路问题)( )(方法方法: :数格子数格子) )如图在某如图在某城市中城市中MM、N N两地之间有整齐的道路网，两地之间有整齐的道路网，假设规定只能向东或向北两个方向沿假设规定只能向东或向北两个方向沿图中道路前进，那么图中道路前进，那么MM到到N N不同的走法不同的走法共有：共有：A.25 B.15 C.13 D.10A.25 B.15 C.13 D.10例例10.(10.(组生长方形问题组生长方形问题)( )(方法方法: :数线数线) )如上图可组成多少如上图可组成多少个长方形个长方形. .MN三三. .二项式定理及其运用二项式定理及其运

16、用nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba1110)(一一. .二项式定理及展开式二项式定理及展开式项数项数 杨辉三角杨辉三角二二. .二项式定理的通项二项式定理的通项rrnrnrbaCT1是第几项是第几项? ?是第是第r+1r+1项项二项式系数二项式系数rnC三三. .二项式定理展开式的中间项二项式定理展开式的中间项n n为偶数时为偶数时: :中间项为中间项为第第n n为奇数时为奇数时: :中间项为中间项为第第21212112121 nnnnnnnbaCTT即2221212nnnnnbaCTn项，即项，项或第12121nn212121121 nnnnnnbaCT或中间项的二项式系数

17、最大中间项的二项式系数最大四四. .二项式系数二项式系数 的性质的性质nxxf)()( 1rnC首先构建一个函数式首先构建一个函数式nnnnnnnnxCxCxCxCCxxf3322101)()(nnnnnnnCCCCCx2113210时则当).(01123210nnnnnnnCCCCCx)().(时则当1531420221nnnnnnnCCCCCC.)(得由nnnnnnnniCiCiCiCCiix33221013)().(时当)sin(cos)sin(cos4424422nininnnnnnrrnrnnnnnnnnxbCbxaCxbaCbxaCaCbxaxf)()()( 2222110nnxa

18、xaxaxaa332210结论：结论：42126420nCCCCnnnnncos).(42227531nCCCCnnnnnsin).(五五.区别区别“二项式系数与二项式展开式中二项式系数与二项式展开式中“某项的系某项的系数数例如例如nCCCnnnnn求若例218722212221.(1)求展开式：求展开式：的展开式求例8211)(.x六六.二项式定理题型二项式定理题型443322104323xaxaxaxaax)(.若例2312420)()(aaaaa求 4283状例P.22AB, A15Bxn求和为，偶数项之展开式中奇数项之和为已知例)(.(2)求证整除问题：求证整除问题：.)(:.整除能被求证例64 983122Nnnn?.天是星期几再过今天是星期二例1002,2(3)证明恒等式证明恒等式1nn3n2n1n2CC3C2C:1nnn求证例 .nnCnnn22nn22n21n20n2CCC(C:2!)!()()()().求证例(4)求近似问题求近似问题8599980 2 (1.003) (1).:0.001)(1.).().(精确到求近似值例组合数的两个性质的运用组合数的两个性质的运用 定理定理1：mnnmnCC定理定理2：11mnmnmnCCC例例1：填空：填空 CCC(1).C