《微积分英文版》ppt课件

1、CHAPTER 3THE DERIVATIVE微积分学的开创人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研讨极值问题中提出.英国数学家 Newton2.1nTwo Problems with One ThemeTangent Lines & Secant LinesnThe slope of a secant line between 2 points on a curve is the change in y-values divided by the change in x-values.nSince a tangent line touch

2、es only one point on the curve, how do we find the slope of the line? We consider the slope of 2 points that are INFINITELY close together at the point of tangencythus a limit!Average Velocity & Instantaneous VelocitynSimilar to slope of a secant line, to find average velocity, we find the chang

3、e in distance divided by the change in time between 2 points on a time interval.nTo find instantaneous velocity, we find the difference in distance and time between two points in time that are INIFINITELY close togetheragain, a limit!Tangent Line Slope at x = c & Instantaneous Velocity at t = c

4、are defined the SAMEhcfhcfvmh)()(lim0tan一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描画质点运动位置的函数为)(tfs 0t那么 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时辰的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自在落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 前往前往 终了终了 A falling bodys velocity is defined. Find the instantaneous velocity at t = 1 seconds.sec)/

5、963(32)1632(lim1632lim16163216lim16)2(16lim16)(16lim16020222022202202ftvtthhthhhthhthththththththttvhhhhh xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx机动 目录 上页 下页 前往 终了 两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv

6、)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 前往 终了 Rest of Change:3.2 The DerivativenThe derivative of f(x) is designated as f(x) or f or y.hxfhxfxfyh)()(lim)( 03.2 The D

7、erivativehcfhcfcxcfxfcfhcx)()(lim)()(lim)( 0思索与练习思索与练习1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联络:0)(xxxf)(0 xf 留意留意:有什么区别与联络 ? )()(00 xfxf？与导函数机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0

8、 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000那么称函数假设的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导, 在点0 x的导数. 机动 目录 上页 下页 前往 终了 运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时辰的瞬时速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 机动 目录 上页 下页 前往 终了 0limxx00)()(xx

9、xfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx假设上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x假设,lim0 xyx也称)(xf在0 x假设函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 .机动 目录 上页 下页 前往 终了 3.6 Leibniz NotationDifferentiability implies continuity.nIf the graph of a function has a tangent at point c, then there is n

10、o “jump on the graph at that point, thus is continuous there.处可导在点xxf)(函数的可导性与延续性的关系函数的可导性与延续性的关系定理定理.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 延续 .留意留意: 函数在点函数在点 x 延续未必可导延续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处延续 , 但不可导.即机动 目录 上页 下页 前往 终了 2. 设设)(0 xf 存在 , 那

11、么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 假设假设),(x时, 恒有,)(2xxf问)(xf能否在0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准那么0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f机动 目录 上页 下页 前往 终了 2.3nRules for Finding Derivatives常数和根本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtan

12、sec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例. 求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx机动 目录 上页 下页 前往 终了 四那么运算求导法那么四那么运算求导法那么 定理定理.具有导数都在及函数xx

13、vvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .)0)(xv机动 目录 上页 下页 前往 终了 此法那么可推行到恣意有限项的情形.证证: 设, 那么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhx

14、vh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如机动 目录 上页 下页 前往 终了 例如,(2)vuvuvu )(证证: 设设, )()()(xvxuxf那么有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1机动 目录 上页 下页 前往 终了 ( C为常数 )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(

15、xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设设)(xf那么有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC机动 目录 上页 下页 前往 终了 ( C为常数 )例例. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin27

16、27)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动 目录 上页 下页 前往 终了 有限次四那么运算的求导法那么 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v机动 目录 上页 下页 前往 终了 2.4nDerivatives of Trigonometric Functions Formula Formula.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数 解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx即44cos)(sin xxxx.22 f(si

17、n x ) = cos xf(cos x) = - sin xnFind derivatives of other trig. functions using these derivatives and applying product rule and/or quotient rulexxxxxxfxxxxxxfxxx222222sec)(cos1)(cos)(sin)(cos)(tan)(cos)sin()(sin()cos()cos()(tan)cos()sin()tan( )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例. 求证求证,sec)(tan2xx证证: .cotcs

18、c)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 Derivatives of sec(x), csc(x) and cot(x)nAll are found by applying the product and/or quotient rules and using known derivatives of sin(x) and cos(x).xxfxxxfxxxf2csc)(

19、cotcotcsc)(csctansec)(sec2.5nThe Chain Rule复合函数求导法那么复合函数求导法那么For a composite function, its derivative is found by taking the derivative of the outer function, with respect to the inner function, times the derivative of the inner function with respect to x.nIf the composition consists of 3 or more fu

20、nctions, continue to take the derivative of the next inner function, with respect to the function within it, until, finally, the derivative is taken with respect to x.在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd复合函数求导法那么复合函数求导法那么定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导, 故)

21、(lim0ufuyuuuufy)(当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy机动 目录 上页 下页 前往 终了 求以下函数的导数212sinxxy222222222212cos)1 (22)1 ()20(2)1 (212cos1212cosxxxxxxxxxxxxxxy例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数构造, 由外向内逐层求导.推行：此法那么可推行到多个中间变量的情形推行：此法那么可推行到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例. 求解解: :,1111x

22、xxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例.设),0( aaaxyxaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数构造搞清复合函数构造 由外向内逐层求导由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例. 设设求,1111ln411arctan

23、21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 Find the derivative (note this is the composition of 3 functions, therefore there will be 3 “pieces to the chain.)cotcsc3()csc(5)csccos()cscsin(2435353xxxxxxxyxxy3.7nHigher-Order Derivativesf

24、=2nd derivativef=3rd derivativef=4th derivative, etcnThe 2nd derivative is the derivative of the 1st derivative.nThe 3rd derivative is the derivative of the 2nd derivative, etc.定义定义.假设函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xyn

25、nxydd,)(xf的二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作那么称机动 目录 上页 下页 前往 终了 Velocity is the derivative of distance with respect to time (1st derivative) and Acceleration is the derivative of velocity with respect to time (2nd derivative of distance with respect to time)nUp (or right) is a positive velocity.nDown

26、(or left) is a negative velocity.nWhen an object reaches its peak, its velocity equals zero.)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：变速直线运动引例：变速直线运动机动 目录 上页 下页 前往 终了 3.8nImplicit Differentiationn(An application of the chain rule!)ny is now considered as a function of x, therefore we apply the cha

27、in rule to ynApply all appropriate rules and solve for dy/dx.Find the derivativeyxyxxyydxdyxyyyxyxdxdydxdyyxyydxdyxxydxdyyydxdyxxyxyxy2222sec)cos()cos(2)cos(2)sec)cos(2)(sec)cos()cos(2)(sec) 1()cos(2)tan()sin(例例. 求椭圆求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程

28、为323y43)2( x即03843 yx机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例. 求求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx机动 目录 上页 下页 前往 终了 1) 对幂指函数vuy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1阐明阐明: :按指数函数求导公式按幂函数求导公式留意留意:机动 目录 上页 下页 前往 终了 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,

29、0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb机动 目录 上页 下页 前往 终了 又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 前往 终了 设)(xyy 由方程eyxey确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x 求导, 得0yxyyey再求导, 得2yey yxey)(02 y当

30、0 x时, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 机动 目录 上页 下页 前往 终了 设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 2.8nRelated RatesnA very, very important application of the derivative!nApplies to situations where more than

31、 one variable is changing with respect to time. nThe other variables are defined with respect to time, and we differentiate implicitly with respect to time. 相关变化率相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联络tytxdd,dd之间也有联络称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 前往 终了 相关变化率相关变化率)(, )(tg

32、gtff为两可导函数gf ,之间有联络tgtfdd,dd之间也有联络称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例. 一气球从分开察看员一气球从分开察看员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 察看员视野的仰角添加率是多少? 500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,那么tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001知,minm140ddth h = 500m 时,1t

33、an22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(机动 目录 上页 下页 前往 终了 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数假设参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt那么0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时辰 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的程度分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 那么yxo2212tgtvy机动 目录 上页 下页 前往 终了 抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的程度分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为12arctanvv到达最高点的时辰,2gvt 高度ygv2221落地时辰,22gv