《高等数学》电子课件（自编教材）：第十一章 第2节常数项级数审敛法

1、2第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一一. 正项级数及一般审敛法则正项级数及一般审敛法则若,0nu1nnu定理定理 1 正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2, 1(n有界.若1nnu收敛 , 则nS由于,0nu则部分和数列nSnS有界, 故nS1nnu从而又已知因此它有界.则称为正项级数.收敛 , 单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”如级数 .) 1(11nnn3定理定理2 (比较审敛法) 设 和 是两个正项级数正项级数,1nnu1nnv对任意的自然数,n有nu(1) 若级数1nnv则级数1nnu(2) 若级数1nnu则级数1nnv证证: nSnv令nSnn则

2、有:收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .和分别表示级数 和级数 的则有部分和 ,1nnu1nnv由于nu，nv4(1) 若级数1nnv则有,limnn因此对一切, n有nS由定理定理 1 可知 , 级数1nnu则有(2) 若级数1nnu,limnnS因此,limnn这说明 级数1nnv也发散 .,和 是两个正项级数正项级数 ,1nnu1nnvnunvnSn也收敛 .发散 ,收敛 ,5比较审敛法推广设 和 是两个正项级数正项级数,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有nu( 常数 k 0 )(1) 若级数1nnv则级数1nnu(2) 若级数1nnu则级数1nnvnvk则有:收敛 ,也收敛

3、;发散 ,也发散 .61例例的敛散性判别级数121nnn:解解nnnnu2121收敛收敛而级数而级数121nn收敛级数121nnn例例 2 2 证证明明级级数数 1)1(1nnn是是发发散散的的.证明证明,11)1(1 nnn,12111nkkn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数7例例 3 3 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p 解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P,时时当当1poyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211nnppxdxxdx12

4、118 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .94例例的敛散性的敛散性判别级数判别级数1211nnn)(:解解21211nnnun)(收敛收敛而级数而级数121nn收敛收敛级数级数1211nnn)(5例例的敛散性的敛散性！判别级数判别级数3221nnn)!(!:解解)!(!nnun221)!(!nnn2！)()!(nn21nnn2321)( ）（21n10收敛收敛而级数而级数121nn

5、收敛收敛！级数级数3221nnn)!(!6例例证明证明收敛收敛设正向级数设正向级数,1nnu收敛收敛121nnu)(收敛收敛112nnnuu)(:证明证明)(1收敛，收敛，1nnu0nu100nuNnN时，有时，有当当,2nnnnuuuuNn时，当收敛，而1Nnnu收敛12Nnnu收敛即12nnu11)(2)(1121nnnnuuuu,)(收敛收敛而而11111nnnnnnnuuuu收敛收敛11nnnuu12定理定理3. (比较审敛法的极限形式)设 和 是1nnu1nnv,limlvunnn两个正项级数正项级数 , 若则有(1) 当 时 , l0两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 且级数 收

6、敛时 ,0l1nnv级数 也收敛 ;1nnu(3) 当 且级数 发散时 , l1nnv级数 也发散 .1nnu证证: 根据极限定义 , 对,0存在,ZN当 时,Nn lvunn即有nnnvluvl)()()(Nn )(l13nnnvluvl)()(1) 当 时 , l0取,l由定理定理 2 可知级数1nnu与1nnv同时收敛或同时发散 ;(2) 当 时 , 0l由定理2可知, 若级数 收敛 , 1nnv也收敛 .)(Nn 利用nnvlu)(, )(Nn(3) 当 时 ,l存在,ZN当 时 ,Nn ,1nnvu即nnvu 由定理定理2可知 , 若级数1nnv发散 , 则级数1nnu也发散.1nn

7、u则级数14,1nnu1nnv,limlvunnn是两个正项级数正项级数 , (1) 当 时 , l0两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 且级数 收敛时 ,0l1nnv级数 也收敛 ;1nnu(3) 当 且级数 发散时 , l1nnv级数 也发散 .1nnu.:总结总结151例例7.判别级数11sinnn的敛散性 . 解解: nlim根据比较审敛法的极限形式知级数 发散.11sinnn例例8. 判别级数1211lnnn的敛散性 . 解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知1211lnnnnn11sin收敛.)ln(211n21n22111nn）（ ln169例例 131n

8、nnnnnn3131lim解解nnn311lim , 1 ,收敛收敛而而131nn故原级数收敛故原级数收敛.1710例例12211nnnnn)ln(cos:解解nnnnun2211)ln(cosnnn211)ln(,)ln(lim收敛收敛且且而而12323211111nnnnnnn.原级数收敛原级数收敛18,lim1nnnuu二二. 比值审敛法和根值审敛法比值审敛法和根值审敛法1. 比值审敛法定理定理4 设 1nnu为正项级数 , 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1证证: (1) 当1由,ZN11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu.1取 使收敛 ,1nnu收敛 .时

9、 , 级数收敛 ;或时 , 级数发散 .时,知存在当Nn 时k)(由比较审敛法可知, 级数19或 1时,0,NuZN必存在当Nn 11nnuu,0limNnnuu因此所以级数发散.nnnuu1lim时,(2) 当nnuu11nuNu1lim1nnnuu说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散 .例如 p - 级数:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但1p级数收敛1p级数发散20例例 1111 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: (1) 1nnnn!; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn. 解解)1(!)()!(limlimnnnnuunnnnn

10、n1111.!收敛收敛故级数故级数1nnnnnnn)(lim11111e21),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,)(2412121nnn,收敛收敛级数级数1241nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn22 limn例例12. 讨论级数)0(11xxnnn的敛散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理4可知:当 时 ,10 x级数收敛 ;当 时 ,1x级数发

11、散 ;当 时 ,1x级数1nn发散 .而232. 根值审敛法根值审敛法定理定理5 设 1nnu为正项级数 , 且,limnnnu则(1) 当 时 , 级数收敛 ;1(2) 当 时 , 级数发散 .124时 , 级数可能收敛也可能发散 .1例如 p - 级数 pnn11pnnnnu1)(1n说明说明 :,1pnnu 但1p级数收敛1p级数发散25例例13. 证明级数11nnn收敛 , 并估计以部分和nS代替和 时所产生的误差 . S解解: nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛 .令,nnSSr则所求误差为21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1

12、nnnnn) 1(1) 1(111n近似2614例例12312nnnnn)(:解解nnnn3122)(nnn312222312312)(limlimnnnnnnnn而而1312收敛收敛12312nnnn收敛收敛即即12312nnnnn)(27三三. 交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数交错级数 .定理定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件则级数),2, 1() 11nuunn0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项的绝对值.1nnur),2, 1,0(nun莱布尼兹莱布尼兹 (德

13、德) 1646 171611nnn)(如如28),2, 1() 11nuunnnnnu11) 1(证证: )()()(21243212nnnuuuuuuSnnnnuuuuuuuuS21222543212)()()(1u显然 是单调递增有界数列, 因此有nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSSSnn2lim故级数收敛于 S , 且,1uS nS的余项 :nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu000lim)2nnu29收敛收敛nn1) 1(4131211).11! )()(!).111413121121nn例15 用Leibnitz判别法判别法判别下列级数

14、的敛散性nnn10) 1(104103102101).31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;! ) 1(1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 !1 n! ) 1(1nn1 nnuu1 101 1nnnn10 nn1101 3016例例111nnnn)()(:解解)(limlimnnunnn1nnn11lim0)(nnun1而而nn11121nn12nn1nu收敛收敛111nnnn)()(31四四. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义: 对任意项级数,1nnu若若原级数收敛 , 但取绝对值以后的级数发散 ,111) 1(nnn,! ) 1(1

15、) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收敛 ,1nnu原级数1nnu为条件收敛 .均为绝对收敛 .例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级数条件收敛条件收敛 .则称可以证明:绝对收敛的级数一定收敛 .32例例17. 证明下列级数绝对收敛 :1214) 1()2(sin) 1 (nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .33例例17. 证明下列级数绝对收敛 :1214) 1()2(sin) 1 (nnnnennn(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnne

16、n11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛 ,绝对收敛 .34例例18. 下列级数是否绝对收敛 :1132111nnnn)()(111112nnn)ln()()(:解解021nnulim发散发散113211nnnn)(:解解)ln(11nunxx )ln(1利用利用nn )ln(1nn111 )ln(即即发散发散111nn)ln(35111112nnn)ln()()(011)ln(nun)ln(11nun121nun)ln(条件收敛条件收敛11111nnn)ln()(36)()()(01131anannn:解解aannauunnnnnn1111)(limlim;,级数发散级数

17、发散时时当当1a;,级数收敛级数收敛时时当当1a.)(,条件收敛条件收敛级数级数时时当当111nnna37证明下列各题证明下列各题例例19.,)(绝对收敛绝对收敛则则收敛收敛若若1121nnnnnuu:证明证明22121nununn,收敛收敛和和而而12121nnnnu.绝对收敛绝对收敛1nnnu38收敛收敛则则存在存在若若122nnnnuun,lim)(:证明证明,lim存在存在nnun2MunMn20 使使存在存在,2nMun收敛收敛而而12nnM收敛收敛1nnu收敛收敛即即1nnu39内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu

18、不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别部分和极限1403. 任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数1nnu1nnu若 收敛 ,1nnu称 绝对收敛1nnu若 发散 ,1nnu称 条件收敛Leibniz判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念概念:41练习与思考题练习与思考题1、判别级数12tannn的敛散性 .解解: tan2n2n根据比较审敛法的极限形式知.tan12收敛nn12nn收敛，4242解解 因分母的最高次数与分子的最高次数之差为用比较法！13212nnnn、673123则取671nvnnnnvulimnlim21316721nnnn116711nnnnv为 p 级数，且 p1, 则原级数收敛。43431!