《高等数学》电子课件（同济第六版）：02-2第十章第2节二重积分的计算(2)

1、2一、利用极坐标系计算二重积分,),( dyxfD对对:讨论其极坐标形式讨论其极坐标形式:系系直角坐标与极坐标的关直角坐标与极坐标的关sincosyx)sin,cos(),(fyxf3Ao.)sin,cos(),(DDddfdxdyyxf极坐标系下d直角坐标系下直角坐标系下dxdyd ? ddddAoDd4.)sin,cos()()(21dfd ADo)(1)(2Dddf)sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(215区域特征如图区域特征如图, ).()(21.)sin,cos()()(21dfdDddf)sin,cos

2、(AoD)(2)(16AoD)(.)sin,cos()(0dfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0Dddf)sin,cos(7Dddf)sin,cos(.)sin,cos()(020dfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.DDddd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0DoA)(,2 08例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在

3、极坐标系下在极坐标系下sincosyxDdxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1dfd1所求园方程为sincos1直线方程为9例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解解在极坐标系下在极坐标系下dxdyeDyx 22aded0202).1(2ae .20 ,0:aD10例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 02

4、2 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR211又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122DyxdxdyeRded0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 12当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 13例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D为由圆为由圆yyx2

5、22 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4sin2dxdyyxD)(22 36sin4sin22dd).3(415yyx422 yyx222 03 yx03 xy14例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD.解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx210sin4

6、2dd. 4 14DD 1D15例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2a,222aayx1D16 得得交交点点)6,( aA, 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy2cos2064aadd).33(2 a,2cos2.aa由177例例改变坐标系改变坐标系dyyxfdxxx1011221),()(dfd)sin,cos(012 2 dyyxfdxdyyxfdxIxxxxxx424042202222),

7、(),()(dfd)sin,cos( cos2 cos402 18二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结Dddf)sin,cos(.)sin,cos()()(21dfd.)sin,cos()(0dfd.)sin,cos()(020dfd 19155210P习题习题18,16),3)(2(15),3)(2(14),3)(1 (13),3)(2(12),4)(2(1120 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题21,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar

8、Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 22一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极

9、坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题235 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区

10、域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .24三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .25一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd,