《高等数学》电子课件（自编教材）：第十章 习题课

1、2（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容3曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分4 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim

2、10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (与方向有关)5与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题6 曲

3、曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,7定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes

4、公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系8点函数点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上区间上区间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上区域上区域当当积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分9 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR 时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 时时上平面曲线上平面

5、曲线当当曲线积分曲线积分10计算上的联系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素11 xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( ds

6、QPQdyPdxL)coscos( )(曲曲面面元元素素ds)(投影投影面元素面元素dxdy12理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式133.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()

7、()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式14 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场为平面向量场)(MA为为空空间间向向量量场场)(MA15梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdx

8、PdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步16二、典型例题1 计算, sdyxL22其中L为圆周.xayx22利用极坐标 ,)22(cos: aLdsd22原式 =sdxaL2222cosdaa2022 dacos22a说明说明: 若用参数方程计算,:L)( 20 ttdyxds22 tda2xaoyad)cos(txa12tyasin2t则17dtta)cos1 ( 2 计算,)(Lxdydxya2其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示: 原式 =202si

9、ntdtta202sincosttta22 a)cos1 (tatdtattasin)sin(183 计算其中是由平面 y = z 截球面1222zyx所得截痕,从 z 轴正向看去,沿逆时针方向.提示提示: 因在上有,1222yx故:原式 = tdtt 2022221sincostdtt202214221 )cos(cos221432212 162 zoyx1txcostysin21 21tzsin)( 20 tzdzyx19解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()

10、2(422由由4 4 计算计算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其中其中L为由点为由点)0 , 0(O到点到点)1 , 1(A的曲线的曲线xy2sin . . 205 5 计计算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , 其其中中L为为由由点点)0 ,(a到到点点)0 , 0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下图如下图) )21xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0

11、082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI22在第一卦限部分的上侧在第一卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI6xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量为为.cos,cos,cos313131 23dszzyxfyzyxfxzyxfI),(),(),(3123131 dszyx)(31 xyDdxdy3131.21 247 7 计算曲面积分计算曲面积分 yzdxdydzdxyx

12、dydzyI4)1(2)18(2 , , 其中其中 是由曲线是由曲线)31(01 yxyz绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于2 . . 解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕( (如下图如下图) )25xyzo132 *I且有dxdydzzRyQxP)(*dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1 (2) 18(2欲求dvxzDxzdydxdz312220220)2(dd26 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 278

13、 设为简单闭曲面,为任意固定向量,a证明证明: 设cos,cos,cosncos,cos,cos0a(分量均为常数)则dSa,n)cos(Sdan0dScoscoscoscoscoscosdxdydzzyx)cos()cos()cos(00)cos(dSa,nn为的单位外法向向量 , 试证zdydcosxdzdcosydxdcos289 计算曲面积分dxdyrzdzdxrydydzrxI333其中,222zyxr 是球面的外侧 . 2222Rzyx解解:ydxdzxdzdyzdydxRI31dxdydzR3134思考思考: 本题 改为椭球面1222222czbyax时 , 应如何计算 ?291

14、0 设 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(zyxzdxdyydzdxxdydzI2221:yxz解解: 取足够小的正数 ,作曲面取下侧 使其包在内 , 2为 xoy 平面上夹于 与之间的部分, 且取下侧 ,121ozyx取上侧 , 计算,)0( z则2121Idv0131zdxdyydzdxxdydz22322)(0yxdxdy)323(133 230一、一、 选择题选择题: :1 1、 设设L为为230,0 yxx, ,则则 Lds4的值为的值为( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 设设L为直线为直线0yy 上从

15、点上从点),0(0yA到点到点),3(0yB的的有向直线段有向直线段, ,则则 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 06y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半椭圆是上半椭圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向, ,则则 Lxdyydx的值为的值为( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .测验题测验题314 4、设、设),(,),(yxQyxP在单连通区域在单连通区域D内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数, ,则在则在D内与内与 LQdyPdx路径无关的条件路径无关的条

16、件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分条件充分条件; (B); (B)必要条件必要条件; (C); (C)充要条件充要条件. .5 5、设、设 为球面为球面1222 zyx, ,1 为其上半球面为其上半球面, ,则则 ( ) ( )式正确式正确. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .326 6、若、若 为为)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 则则 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B)

17、;(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 为球面为球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,则则 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .338 8、曲面积分、曲面积分 dxdyz2在数值上等于在数值上等于( ).( ).(A)(A) 向量向量iz2穿过曲面穿过曲面 的流量；的流量；(B)(B) 面密度为面密度为2z的曲面的曲面 的质量；的质量；(C)(C) 向量向量kz2穿过曲

18、面穿过曲面 的流量的流量 . .9 9、设、设 是球面是球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,xyD是是xoy面面 上的圆域上的圆域222Ryx , ,下述等式正确的是下述等式正确的是( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .341010、若、若 是空间区域是空间区域 的外表面的外表面, ,下述计算中运用奥下述计算中运用奥- -高高 公式正确的是公式正确的是( ).( ). (A) (A) 外侧外侧dxdyyzdydzx)2

19、(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外侧外侧zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 内侧内侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .35二、计算下列各题二、计算下列各题: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 为曲线为曲线 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中L为上为上 半圆周半圆周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆时针方向沿逆时针方向 . .三、计算下列各题三、计算下列各题: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之间的圆柱面之间的圆柱面222Ryx ；362 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 为锥面为锥面)0(22hzyxz 的外侧；的外侧；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 为曲面为曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上侧的上侧 . .四、证明四、证明: :22yxydy