自动控制原理频域分析法教学ppt课件

1、自动控制原理 第5章频域分析法专业根底课之一专业根底课之一邓晓刚信息与控制工程学院自动化系第第5章章 频域分析法频域分析法n5-1 频率特性的根本概念频率特性的根本概念n5-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性n5-3 开环幅相频率特性分析开环幅相频率特性分析n5-4 奈奎斯特判据奈奎斯特判据n5-5 稳定裕度稳定裕度n5-6 闭环系统频率特性分析闭环系统频率特性分析n研讨背景研讨背景n时域分析时域分析t、复域分析、复域分析s、频域分析、频域分析wn频域分析法频域分析法n运用频率特性研讨线性系统的经典方法称运用频率特性研讨线性系统的经典方法称为频域分析法为频域分析法n控制系统中的信号可表示

2、为不同频率正弦控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成信号的合成n不同频率正弦信号的呼应反映了系统性能，不同频率正弦信号的呼应反映了系统性能，根据频率特性分析系统的性能根据频率特性分析系统的性能n特点特点n(1)具有明确的物理意义，可以用实验方法具有明确的物理意义，可以用实验方法获得，对于难以列写微分方程式的元部件获得，对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实践意义或系统来说，具有重要的实践意义n(2)由于频率呼应法主要经过开环频率特性由于频率呼应法主要经过开环频率特性的图形对系统进展分析，因此具有笼统直的图形对系统进展分析，因此具有笼统直观和计算量少的特点。观和计算量少的

3、特点。n(3)频率呼应法不仅适用于线性定常系统，频率呼应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传送函数不是有理数的纯滞而且还适用于传送函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。后系统和部分非线性系统的分析。5-1 频率特性的根本概念频率特性的根本概念 一、频率特性的定义一、频率特性的定义1、频率呼应、频率呼应: 线性系统对正弦输入信号的稳态呼应线性系统对正弦输入信号的稳态呼应例：例：RC电路如下图，电路如下图， 11)(TssGRCT ( )siniu tAt施加正弦输入施加正弦输入( )?ou t 那么输出那么输出22sin( )iiAuAtU ss施加正弦输入施加正弦输入( )1(

4、 )1oiUsU sTs2211( )( )11oiAUsU sTsTss传送函数传送函数输出输出2222( )sin()11tToA TAu tetarctg TTT假设初始形状为零，由拉氏反变换求方程的解假设初始形状为零，由拉氏反变换求方程的解指数衰减项指数衰减项稳定的正弦输出稳定的正弦输出:频率呼应频率呼应700.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345线性系统的频率呼应：线性系统的频率呼应：siniuAtt22( )sin()1oAu ttarctg TT一个稳定的线性定常系统，假设对其输入一个正一

5、个稳定的线性定常系统，假设对其输入一个正弦信号，系统的稳态输出弦信号，系统的稳态输出(稳态呼应稳态呼应)也是同一频率也是同一频率的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。的正弦信号，只是在幅值和相位上发生了变化。 11)(TssG8ttuisin)(1)输入为输入为相对输入，输出有相位差，幅度不同相对输入，输出有相位差，幅度不同9ttui2sin)(2)输入为输入为输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变10ttui3sin)(3)输入为输入为输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定n2. 频率特性频率特性输入：输入：

6、xtXtxsin)(yttYtysin)(稳态输出：稳态输出：( )( )yxYAX 频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。出的稳态分量与输入的复数比。 幅频特性幅频特性相频特性相频特性频率特性表达式：频率特性表达式： 幅频特性；幅频特性； 相频特性相频特性)()(jGA)()(jG-实频特性；实频特性； - -虚频特性虚频特性)(P)(Q复数式：复数式：)()()(jQPjG极坐标式：极坐标式：)()()()()(AjGjGjG指数式：指数式：)()()()()(jjGjeAejGjG)()(A)(jG)(P)(Qj)

7、(sin)()()(cos)()(AQAP)()()()()()(122PQtgQPA各表达式之间的关系：各表达式之间的关系：频率特性本质上就是一种数学模型，频率特性本质上就是一种数学模型，那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢？那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢？二、频率特性与传送函数的关系二、频率特性与传送函数的关系 ()( )()( )jsjG sG jAe ( )YAX()( )sjG jG s( )yx 频率特性与传送函数的关系为：频率特性与传送函数的关系为：幅频特性幅频特性相频特性相频特性aG(jw)的相角的相角aG(jw)的幅值的幅值线性系统微分方程频率特性传送函数S=p

8、jw=sjw=p时域、复域和频域数学模型之间的关系时域、复域和频域数学模型之间的关系三三 频率特性的几种图示方法频率特性的几种图示方法1、幅相频率特性曲线、幅相频率特性曲线奈奎斯特奈奎斯特Nyquist曲曲线，或极坐标图线，或极坐标图2、对数频率特性曲线、对数频率特性曲线伯德伯德Bode图图3、对数幅相特性曲线、对数幅相特性曲线尼柯尔斯尼柯尔斯Nichols曲曲线线1、幅相频率特性曲线、幅相频率特性曲线Nyquist曲线曲线:时，时， 在复平面上的运动轨迹在复平面上的运动轨迹)(jG简称幅相曲线或极坐标图简称幅相曲线或极坐标图幅频特性、实频特性为幅频特性、实频特性为的偶函数的偶函数相频特性、虚

9、频特性为相频特性、虚频特性为的奇函数的奇函数 幅相曲线关于实轴对称幅相曲线关于实轴对称 普通只做普通只做 时的变化曲线时的变化曲线0:)()()()()(jQPeAjGj2211)(TATtg1)(：01)(A0)(：T1707. 0)(A45)(：0)(A90)(例：绘制例：绘制RC电路的幅相频率特性曲线电路的幅相频率特性曲线1()1G jjTj01( )A()G j0)()(1111)(22jQPTjTjTjG幅频特性幅频特性相频特性相频特性2、对数频率特性曲线、对数频率特性曲线 伯德伯德Bode曲线曲线 坐标系：半对数坐标系坐标系：半对数坐标系对数相频特性曲线对数幅频特性曲线横坐标按横坐

10、标按的对数的对数 线性分度，标以线性分度，标以lg1210110lglglglg12120.1110十倍频或十倍频程，用符号十倍频或十倍频程，用符号dec表示表示12)(lg20)(AL均匀分度，单位分贝，均匀分度，单位分贝，符号符号dB纵坐标纵坐标 以度或弧以度或弧度为单位进展线性分度为单位进展线性分度度纵坐标纵坐标对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线( )横坐标按照横坐标按照的对数的对数lg进展线性刻度；进展线性刻度；对数相频特性曲线对数相频特性曲线3、对数幅相特性曲线、对数幅相特性曲线尼柯尔斯尼柯尔斯Nichols曲线曲线 L(w) dBf将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。横坐

11、标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。常用频率特性曲线比较常用频率特性曲线比较名称名称幅相频率特性曲线对数频率特性曲线 对数幅相特性曲线常用名常用名奈奎斯特图奈奎斯特图伯德图伯德图尼柯尔斯图尼柯尔斯图坐标系坐标系极坐标极坐标半对数坐标半对数坐标对数幅相坐标对数幅相坐标sjjjijjjiesTsTsTssssKsG) 12() 1() 12() 1()(2222Ks1s11Ts) 12(22ss) 1(s12122TssTse比例环节比例环节延迟环节延迟环节微分环节微分环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节积分环节积分环节5-2

12、 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、比例环节一、比例环节传送函数：传送函数： ksG)(频率特性：频率特性：kjG)(1、幅相频率特性、幅相频率特性kA)(0)(kP)(0)(Q2、对数频率特性、对数频率特性kALlg20)(lg20)(0)(二、积分环节二、积分环节传送函数：传送函数：ssG1)(11)(jjjG频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性1)(A90)(0)(P1)(Q2、对数频率特性、对数频率特性lg201lg20)(L90)(三、微分环节三、微分环节传送函数：传送函数：ssG)(jjG)(频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性)(A90)(0)(

13、P)(Q2、对数频率特性、对数频率特性lg20)(L90)(四、惯性环节四、惯性环节传送函数：传送函数： 11)(TssG频率特性：频率特性： 221111)(TjTjTjG1、幅相频率特性、幅相频率特性2211)(TATtg1)(2211)(TP221)(TTQ 惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下： TPQ)()(2211PQPPQP22412122QP2、对数频率特性、对数频率特性22221lg2011lg20)(TTLTtg1)(采用分段直线渐近线近似：采用分段直线渐近线近似：即11TT0)(L低频渐近线低频渐近线 ：即11TTlg20lg20

14、lg20)(TTL高频渐近线高频渐近线 最大误差：最大误差：dBL32lg20)(Bode Diagram of G(jw)=1/(jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-25-20-15-10-50100101102-90-450)()(Tarctglog20dBT)(0 dB最大误差10-1100101-3-2.5-2-1.5-1-0.50一阶因子的频率呼应曲线以渐近线表示时引起的对数幅值误差五、一阶微分环节五、一阶微分环节传送函数：传送函数：ssG1)(jjG1)( 频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特

15、性221)(A1)(tg1)(P)(Q2、对数频率特性、对数频率特性 221lg20)(L1)(tg低频渐近线低频渐近线 ：即110)(L：即11lg20lg20lg20)(L高频渐近线：高频渐近线：Bode Diagram of G(jw)=jwT+1) T=0.1Frequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)051015202510010110204590)()(Tarctg)(log20dBT)(0 dB六、振荡环节六、振荡环节传送函数：传送函数： 222222121)(nnnssTssTsGTn1频率特性：频率特性：nnnjTjTjG2211)

16、(222221、幅相频率特性、幅相频率特性 2222222211211)(nnTTA212211212)(nntgTTtg ：01)(A0)( ：Tn121)(A90)( ：0)(A180)( 谐振峰值：谐振峰值：值较小时幅频特性的极大值。值较小时幅频特性的极大值。令令0)(ddA 得：得：2211Tr谐振频率谐振频率 2202121)(rrAM谐振峰值 2212121rnrAonnA90)(21)(0ReG(j)ImG(j)1AB2222)(nnnsssG振荡环节2、对数频率特性、对数频率特性 222222221lg2021lg20)(nnTTL：Tn1低频段低频段0)(L高频段高频段：Tn

17、1lg40lg40lg20)(22TTL 221n r振荡环节振荡环节0dBL()dB21lg20rr2121lg20(0z 0.707)-40 90o 90o2nn22nS2S(s)G 3810-1100101-6-4-202468101214dB1 . 02 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1七七 二阶微分环节二阶微分环节2)()(21)(nnsssG2)()(21)(nnjjjG2222)2()1 ()(nnA2112)(nntg)(2)(1)(2nnjjG2)(1)(nP)(2)(nQ2)(rAImG(jw)ReG(jw)1onnA90)(2)(221221rnrA二阶微分

18、环节) 10, 0(12)(22nnnsssG例如，二阶振荡环节的倒数环节是)(1)(12sGsG)()(1lg20)()()(11212LAL互为倒数的环节互为倒数的环节互为倒数的两个环节，对数相频和对数幅频特性相反10-1100101-10010203040频 率 rad/sec幅度dB二 阶 微 分 环 节 的 幅 频 特 性40db/dec=0.2=0.4=0.810-1100101-40-30-20-10010频 率 rad/sec幅度dB震 荡 环 节 的 幅 频-40db/dec=0.2=0.4=0.8交 接 频 率二阶微分幅频二阶振荡幅频)()(12LL10-1100101-1

19、50-100-500频 率 rad/sec角度震 荡 环 节 的 相 频 特 性=0.2=0.4=0.810-1100101050100150频 率 rad/sec角度二 阶 微 分 环 节 的 相 频 特 性=0.2=0.4=0.8二阶微分相频二阶振荡相频)()(12八、延迟环节八、延迟环节传送函数：传送函数：sesG)(jejG)( 频率特性：频率特性：1、幅相频率特性、幅相频率特性 1)(A)( 2、对数频率特性、对数频率特性 0)(L)(5-3系统的开环频率特性系统的开环频率特性一一、系统开环幅相频率特性的绘制、系统开环幅相频率特性的绘制开环传送函数：开环传送函数：niisGsG1)(

20、)(开环频率特性：开环频率特性：niijGjG1)()()1( )injiiAe 1()1( )niinjiiAe niiAA1)()(nii1)()()( )jAe 绘制思绪：绘制思绪：)()()(jQPjG()()( )jG jAe 3确定趋势和象限确定趋势和象限( ),0, 1, 2kk 1( )() ,0, 1, 22kk 绘制步骤：绘制步骤： 1确定起始点确定起始点: =0+处的点处的点2确定终点确定终点 ： =处的点处的点 4确定与实轴或虚轴的交点确定与实轴或虚轴的交点实轴交点：令实轴交点：令Q()=0 求得相应求得相应x，再求，再求P(x) 或令或令 求得相应求得相应x，再求，再

21、求A(x)虚轴交点：令虚轴交点：令P()=0 求得相应求得相应y，再求，再求Q(y) 或令或令 求得相应求得相应y，再求，再求A(y)【例【例1】0型系统的开环传送函数为型系统的开环传送函数为 15110)(sssG绘制系统的开环幅相频率特性。绘制系统的开环幅相频率特性。解：解： 51110)(jjjG 2231251110)()(iiAA550)()(111131tgtgtgtgii 2222210(1 5)60( ),( )11251125PQ 频率特性频率特性：010)(A0)( ：0)(A180)( 起点起点终点终点 322110( )( )1125iiAA550)()(111131t

22、gtgtgtgii与虚轴交点：与虚轴交点：令令90)(得：得：0.447( )3.727A或者令或者令P(w)=0, 求求w 及及Q(w)趋势和象限趋势和象限: :00( ): 0180 时时三四象限三四象限【例【例2】型系统开环传送函数为型系统开环传送函数为 11)(21sTsTsksG绘制系统的开环幅相频率特性。绘制系统的开环幅相频率特性。 解：解： 2111)(jTjTjkjG222212111( )11AkTT211190)(TtgTtg 21 2122222222212121( ) ( )1111kTTk TTPQTTTT开环频率特性开环频率特性幅频特性幅频特性相频特性相频特性 12

23、22221221 2222212( ) 111( )11k TTPTTkTTQTT222212111( )11AkTT211190)(TtgTtg：0)(A90)(起点起点 渐近线计算：渐近线计算：12( )( )Pk TTQ 终点终点：0)(A与负实轴的交点：与负实轴的交点：令令 21 22222121 ( )011kTTQTT得：得：211TT2121)(TTTkTP270)(趋势与象限：趋势与象限：-90o, -270o第第IIIII象限象限总结：开环频率特性总结：开环频率特性 2121122112211)(2)()1(1)(2)()1()()(nllllnjjmkkkkmiijTjTj

24、TjjjjkjGnnnmmm21212 2起点：0 1 0 )(00kkA2)(0 终点： 0)(A2)()(mn二二. 系统开环对数频率特性系统开环对数频率特性niiniiLAAL11)()(lg20)(lg20)(nii1)()(系统幅频特性是各环节幅频特性的叠加系统幅频特性是各环节幅频特性的叠加系统相频特性是各环节相频特性的叠加系统相频特性是各环节相频特性的叠加幅频特性幅频特性相频特性相频特性niijGjG1)()(nijiieA1)()(niijniieA1)(1)(【例【例3】试绘制系统开环传送函数】试绘制系统开环传送函数 11010)(ssG的的Bode图。图。比例环节：比例环节：

25、2010lg20)(1L0)(1惯性环节：惯性环节：10101lg20)(2L0)(2解：解：101lg2020lg2010lg20)(2L90)(2 1( )L1( ) 2( )L2( ) ( )L( ) 绘制开环对数幅频特性曲线步骤：绘制开环对数幅频特性曲线步骤： 1将开环频率特性写成典型环节乘积的方式：将开环频率特性写成典型环节乘积的方式： 2121122112211)(2)() 1(1)(2)() 1()()(nllllnjjmkkkkmiijTjTjTjjjjKjG并确定开环放大系数并确定开环放大系数 K、系统的无差度、系统的无差度 和各个转机频率：和各个转机频率： ii1kk1jj

26、T1llT1将各个转机频率从小到大标注在频率轴上。将各个转机频率从小到大标注在频率轴上。2绘制对数幅频特性的低频渐近线绘制对数幅频特性的低频渐近线lg20lg20)(KL斜率：斜率：decdB/20：1KLlg20)(3从低频渐近线开场，沿着从低频渐近线开场，沿着增大的方向，每遇到一个增大的方向，每遇到一个转机频率，改动一次分段直线的斜率：转机频率，改动一次分段直线的斜率：当遇到一阶微分当遇到一阶微分i时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/20当遇到二阶微分当遇到二阶微分k时，斜率变化量为时，斜率变化量为；decdB/40当遇到惯性环节当遇到惯性环节j时，斜率变化量为时，斜率变化量为；

27、decdB/20当遇到振荡环节当遇到振荡环节l时，斜率变化量为时，斜率变化量为decdB/40依次得到的分段直线即为系统的近似对数幅频特性曲线。依次得到的分段直线即为系统的近似对数幅频特性曲线。 高频渐近线斜率：高频渐近线斜率： decdBmn/)(20截止频率：截止频率： )(L和和dB0的交点频率的交点频率c ) 130/)(12() 15 . 0 (40)()(sssssHsG【例【例4】绘制如下开环传函的幅频曲线】绘制如下开环传函的幅频曲线转机频率：转机频率：0.5 2 30斜率增量：斜率增量：-20 +20 -202dBL521 . 040lg20)(1 . 000dBL385 .

28、040lg20)(5 . 000解：解： 1开环放大系数开环放大系数 K40，系统型别，系统型别v1，40( )20lg20 lg20lgLK低频段渐进线：低频段渐进线：3从低频渐近线开场，每遇到一个转机频率，改动从低频渐近线开场，每遇到一个转机频率，改动 一次分段直线的斜率一次分段直线的斜率0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40-20-40) 1s301)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 低频段：低频段：5 .0 时为38db转机频率：转机频率： 0.5 2 30斜率增量：斜率增量： -20 20 -20 斜率

29、斜率: -20 -40 -20 -401 .0 时为52db L()曲线52db38db 1c【例【例5】设开环频率特性为】设开环频率特性为 )05. 01)(125. 01)(101 ()()1001 (10)(223jjjjjjG试绘制其近似的对数幅频特性曲线。试绘制其近似的对数幅频特性曲线。解：解：1转机频率：转机频率：01. 011 . 028125. 013204 2低频渐近线：低频渐近线：lg22010lg20)(3Llg4060)(L3绘制曲线绘制曲线 (4) 截止频率的计算：截止频率的计算： 8 1 . 0 ，c令令0)(L得：得：01010010lg20223-400-20-

30、40-60【例【例6 6】知最小相位系统的渐近幅频特性如下图，试确定系】知最小相位系统的渐近幅频特性如下图，试确定系统的传送函数。统的传送函数。解解: (1): (1)由于低频段斜率为由于低频段斜率为- -20dB/dec20dB/dec所以有一个积分环节；所以有一个积分环节；(2) (2) 在在w=1w=1处，处，L(w)=15dBL(w)=15dB， 所所以以20lgK=1520lgK=15，K=5.6K=5.6(3) (3) 在在w=2w=2处，斜率由处，斜率由-20dB/dec-20dB/dec变为变为-40dB/dec-40dB/dec，故有惯性环，故有惯性环节节1/(s/2+1)1

31、/(s/2+1)(4) (4) 在在w=7w=7处，斜率由处，斜率由-40dB/dec-40dB/dec变为变为-20dB/dec-20dB/dec，故有一阶微，故有一阶微分环节分环节(s/7+1)(s/7+1) 121() 171(6 . 5)(ssssG三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统最小相位系统：最小相位系统： 非最小相位系统：非最小相位系统： 有一个或多个零点位于复平面的右半平面有一个或多个零点位于复平面的右半平面 开环不稳定系统：开环不稳定系统： 有一个或多个极点位于复平面的右半平面有一个或多个极点位于复平面的右半平面

32、一切开环零极点都位于复平面的左半平面一切开环零极点都位于复平面的左半平面 一切开环极点都位于复平面的左半平面一切开环极点都位于复平面的左半平面 或系统具有延迟环节或系统具有延迟环节 例：2112)(sssG2212)(sssG 22222211lg404lg2014lg20)()(LL11122)(tgtg11222180)(tgtg90090)0()()(11127018090)0()()(222112)(3ssssG 22222131lg404lg2014lg20)()(LL21802180)(11113tgtgtgtg90090)0()()(33310-210-1100101102-90

33、090180Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)-40-30-20-10010Magnitude (dB)-40-20G2G3G1例110)(1ssGsessG5 . 02110)(2110)(Aarctg)(15 . 0arctg)(2ReGImG10120-90 在具有一样幅频特性的系统中，最小相位传在具有一样幅频特性的系统中，最小相位传送函数系统的相角范围，在一切这类系统中送函数系统的相角范围，在一切这类系统中是最小的。是最小的。 任何非最小相位传送函数的相角范围，都大任何非最小相位传送函数的相角范围，都大于最小相位传送函数的相角范围于最小

34、相位传送函数的相角范围 最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有独一的对应关系；而对于非最小相位系统不成有独一的对应关系；而对于非最小相位系统不成立，由于不同的非最小相位系统具有一样的幅频立，由于不同的非最小相位系统具有一样的幅频特性。特性。 结论：结论： 仅由幅频特性曲线不能确定非最小相位系统仅由幅频特性曲线不能确定非最小相位系统的传送函数，但可确定最小相位系统的传送函数的传送函数，但可确定最小相位系统的传送函数另一种定义方式另一种定义方式(不常用不常用最小相位系统： 非最小相位系统： 有一个或多个零点或极点位于复平面的右半平面 一切开环零极点都位于复平

35、面的左半平面 或系统具有延迟环节 包含了开环不稳定系统，但不能保证最小相位系统具有最小相角范围的含义！ L(w) dB520.0020.020.21.0cc0-20-20-40-40-60知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线渐进线知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线渐进线求系统的开环传送函数及截止频率求系统的开环传送函数及截止频率wc19321932年，奈奎斯特年，奈奎斯特NyquistNyquist提出了频域稳定提出了频域稳定判据奈奎斯特稳定判据。判据奈奎斯特稳定判据。奈氏判据的本质：奈氏判据的本质：由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性)()(jHjG

36、1闭环系统特征式闭环系统特征式)()(1sGsH奈奎斯特稳定判据将开环频率呼应奈奎斯特稳定判据将开环频率呼应 与与2 2右半右半s s平面内的零点数和极点数平面内的零点数和极点数联络起来联络起来5-4 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据的数学根底一、奈奎斯特稳定判据的数学根底1、幅角原理、幅角原理可以证明，对于可以证明，对于 s s 平面上给定的一条不经过任何奇点平面上给定的一条不经过任何奇点的延续封锁曲线，在的延续封锁曲线，在 F(s) F(s) 平面上必存在一条封锁象曲平面上必存在一条封锁象曲线与之对应。线与之对应。F(s) 平面上的原点被封锁象曲线包围的次数和方向，在平

37、面上的原点被封锁象曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联络起来。和方向与系统的稳定性联络起来。nnpspspszszszssF2121)(复变函数复变函数ImRej平面s平面)(sF00假设假设S平面封锁曲线只包围一个零点，平面封锁曲线只包围一个零点，F(s) 轨迹将顺时针包围原点一次轨迹将顺时针包围原点一次 假设假设S平面封锁曲线既不包围零点又不包围极点，平面封锁曲线既不包围零点又不包围极点， F(s) 轨迹将不包围原点轨迹将不包围原点6(1.52.4)(1.52.4)( )1( ) (

38、)1(1)(2)(1)(2)sjsjF sH s G sssss 幅角原理：幅角原理： 设设s平面闭合曲线平面闭合曲线G包围包围F(s)的的Z个零点个零点和和P个极点，那么个极点，那么s沿沿G 顺时针运动一周时顺时针运动一周时,在在F(s) 平面平面上，上， F(s)的闭合曲线的闭合曲线GF 逆时针包围原点的圈数为逆时针包围原点的圈数为 R = P Z R 0 : 逆时针包围逆时针包围F(s)平面坐标原点的圈数平面坐标原点的圈数 R 0db的频率范围内，对数相频特性的频率范围内，对数相频特性j(w)穿越穿越(2k+1)p 线的次数线的次数N = N+ - N-满足满足Z = P 2N = 0留

39、意：型别留意：型别v0时，需求在相频起始段向上补时，需求在相频起始段向上补做做90v的虚直线。补做虚直线的穿越皆为负穿越的虚直线。补做虚直线的穿越皆为负穿越其中其中P为负反响系统在右半为负反响系统在右半s平面开环极点的个数平面开环极点的个数【例【例5 5】某单位反响系统开环传送函数那为】某单位反响系统开环传送函数那为)2 . 01)(02. 01 (160)(ssssG试利用试利用BodeBode图判别系统能否稳定。图判别系统能否稳定。解：系统为最小相位系统解：系统为最小相位系统开环系统无右半平面极点，即开环系统无右半平面极点，即0P1N0N2)(2NNR2RPZ闭环系统不稳定临界稳定：幅相曲

40、线穿越临界稳定：幅相曲线穿越(-1,j0)(-1,j0)对于最小相位系统，且对于最小相位系统，且P=0P=0要稳定，必需要稳定，必需Z=P-2N =0Z=P-2N =0，即，即N=0.N=0.)0,1(j临界点：临界点：G(jw)曲线过曲线过(-1,j0)点时，点时， G(jw) =1 同时成立！同时成立！ G(jw) = -180o5-5 稳定裕度稳定裕度0j1-1G(jw) 偏离临界点偏离临界点(-1,j0)(-1,j0)的的程度反响了相对稳定性程度反响了相对稳定性GHGj01j01图图A A图图B B相对稳定性也影响时域目的相对稳定性也影响时域目的假设最小相位系统，图假设最小相位系统，图

41、A A，图图B B哪个更稳定呢？哪个更稳定呢？截止频率截止频率 ：极坐标曲线与单位圆相交所对应的频：极坐标曲线与单位圆相交所对应的频率，亦称剪切频率率，亦称剪切频率ccccjGA1)()(j01c)(c再滞后再滞后 )(c意义：意义：系统就处于临界稳定系统就处于临界稳定为使最小相位系统稳定，相角裕度必需为正为使最小相位系统稳定，相角裕度必需为正,即即0)(180c180)(c用负角度计算用负角度计算1、稳定裕度、稳定裕度: 相角裕度，幅值裕度相角裕度，幅值裕度相角裕度相角裕度相角穿越频率相角穿越频率 ：极坐标曲线与负实轴交点所对：极坐标曲线与负实轴交点所对应频率。应频率。x180)()(xxj

42、G)(1xjGh幅值稳定裕度幅值稳定裕度j01h1x意义：假设系统的开环增益放意义：假设系统的开环增益放大大 倍，那么系统处于临倍，那么系统处于临界稳定界稳定h要使最小相位系统稳定要使最小相位系统稳定1h1)(xjGh【例【例1 1】 单位反响系统的开环传送函数为单位反响系统的开环传送函数为3) 1()(sKsG设设K K分别为分别为4 4和和1010，根据，根据NyquistNyquist曲线确定系统稳定裕度曲线确定系统稳定裕度解：开环频率特性为解：开环频率特性为3)1 ()(jKjG23)1 ()(2KAarctg3)(幅频幅频, ,与与K K有关有关相频相频, , 与与K K无关无关23

43、)1 ()(2KA1)1)由由180)(x得得1803xarctg3x2)2)当当K=4K=4时时21)31 (4)(23xAarctg3)(2)(1xAh幅值裕度幅值裕度1 .27233. 13180)(180arctgc相角裕度为相角裕度为1,0h所以，系统稳定所以，系统稳定j014幅相曲线上与实轴的交点幅相曲线上与实轴的交点0R系统稳定系统稳定5 . 0)(xA根据幅相曲线根据幅相曲线1)1 (4)(232ccA233. 111631c2)2)当当K=10K=10时时810)31 (10)(23xA23)1 ()(2KA18 . 0)(1xAh幅值裕度幅值裕度1)1 (10)(232cc

44、A9 . 1110031c079 . 13180)(180arctgc相角裕度为相角裕度为1,0h所以，系统不稳定所以，系统不稳定2)(2NNR系统不稳定系统不稳定j01410幅相曲线上与实轴的交点幅相曲线上与实轴的交点25. 1)(xA根据幅相曲线根据幅相曲线相角稳定裕度相角稳定裕度)(L)(0090180c截止频率截止频率: :c幅频曲线与幅频曲线与0分贝交点所分贝交点所对应频率对应频率)(180c系统稳定02、对数频率特性曲线对应的稳定裕度、对数频率特性曲线对应的稳定裕度幅值稳定裕度幅值稳定裕度( (增益裕度增益裕度) )(L)(0090180dBhc穿越频率穿越频率: :x相频曲线与相

45、频曲线与-180度交点所度交点所对应频率对应频率系统稳定系统稳定0dBhx)()(log20 xxdBLjGh意义：假设系统的开环对意义：假设系统的开环对数辐频特性再增大数辐频特性再增大hdB，那么系统处于临界稳定那么系统处于临界稳定由由BodeBode图定义的幅值稳定裕度图定义的幅值稳定裕度0)(lg20 xdBjGh1)(1xjGh留意：由留意：由NyquistNyquist曲线和曲线和BodeBode定义的幅值稳定定义的幅值稳定裕度的大小不一样裕度的大小不一样由由NyquistNyquist曲线定义的幅值稳定裕度曲线定义的幅值稳定裕度)(1lg20lg20 xdBjGhh【例【例3 3】

46、 单位反响系统的开环传送函数为单位反响系统的开环传送函数为) 11 . 0)(1()(sssKsG分别确定分别确定K=5K=5和和K=20K=20时的相角裕度和增益裕度时的相角裕度和增益裕度解：绘制解：绘制BodeBode图，根据图确定系统的相角裕度图，根据图确定系统的相角裕度和增益裕度和增益裕度幅频特性与幅频特性与K K有关有关相频特性与相频特性与K K无关无关-150-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)K=5K=

47、202 . 3xdBh65dBh620K K越小，幅值裕度越大，越稳定越小，幅值裕度越大，越稳定-150-100-50050100Magnitude (dB)10-210-1100101102103-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)K=5K=201 . 25c10202 . 420cK K越小，相位裕度越大，越稳定越小，相位裕度越大，越稳定2 . 25c1255-6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能一、低频渐近线与系统稳态误差的关系一、低频渐近线与系统稳态误差的关系低频段：低频段

48、：第一个转机频率之前的频段。第一个转机频率之前的频段。)(L开环频率特性曲线开环频率特性曲线 )(L开环传送函数开环传送函数 稳态误差稳态误差开环频率特性：开环频率特性： 2121122112211)(2)() 1(1)(2)() 1()()(nllllnjjmkkkkmiijTjTjTjjjjKjG低频渐近线低频渐近线 ：lg20lg20)(KL例例1：最小相位系统的：最小相位系统的Bode图如下，求误差系数。图如下，求误差系数。 1411)(ssKsGk解：解：KLlg20)(低频渐近线低频渐近线 ：将将1，10点代入，得：点代入，得：10K 误差系数：误差系数：10)(lim0KsGkk

49、sp0)(lim0ssGkksv0)(lim20sGskksa 例2最小相位系统的Bode图如下，求误差系数。解： 11101)(ssKsGk lg20lg20)(KL低频渐近线 ：将100，0点代入，得： 100K)(lim0sGkksp100)(lim0kssGkksv0)(lim20sGskksa 误差系数：二、中频段的斜率与系统稳定性的关系二、中频段的斜率与系统稳定性的关系 中频段： 截止频率c或0dB附近的频段。 )(L例3设系统的开环传送函数为 21221 11)(TTsTssTksG试分析相角裕度 与系统参数的关系。)(180c解：ccTtgTtg2111180180ccTtgT

50、tg21112111cctgtg111T221T1假设2 、c坚持不变，仅随1的变化而变化：11假设1 T很大，那么1很小，即离c很远， cctgtg2121902假设1 、c坚持不变，仅随2的变化而变化：2假设2 T很小，那么2很大，即离c很远， 211ctg1112cctgtg3假设 12H1111Htgtgcc(H:中频段的宽度)01cdd令 得：21cHtgHtgm111中频段越宽H越大相角裕度m越大 系统的相对稳定性越高 三、开环频率特性和系统动态性能的关系三、开环频率特性和系统动态性能的关系 开环频域目的开环频域目的 c、时域目的时域目的 st、%1、二阶系统、二阶系统)2()(2

51、nnksssG)2()(2nnkjjjG1与与%的关系的关系2222)(nnAntg290)(1令令1)(A 得：得：24214nc2412142)(180tgc%2c、与st的关系 5 5 . 3nstsnt5 . 3242145 . 3cst代入24214nc 得：2412142tgtg221424tgtcs7cst一定，2、高阶系统、高阶系统近似公式：%1001sin14 . 016. 0%903521sin15 . 21sin15 . 12cst9035 st、%cst四、高频段对系统性能的影响四、高频段对系统性能的影响高频段：高频段： )(L曲线在中频段以后曲线在中频段以后c10的频

52、段。的频段。 单位负反响系统单位负反响系统 ：)(1)()(FjGjGjkk高频段高频段 0)(lg20jGk1)(jGk)()(1)()(FjGjGjGjkkk高频段的分贝值越低，阐明系统对高频信号的衰减作用越大，高频段的分贝值越低，阐明系统对高频信号的衰减作用越大，即系统的抗干扰才干越强。即系统的抗干扰才干越强。五、结论五、结论1假设要求具有一阶或二阶无差度，假设要求具有一阶或二阶无差度， 那么那么)(L应具有应具有20dB/dec或或40dB/dec的斜率。的斜率。 特性的低频段特性的低频段为保证系统的稳态精度，低频段应具有较高的分贝数。为保证系统的稳态精度，低频段应具有较高的分贝数。

53、2特性应以特性应以20dB/dec的斜率穿过的斜率穿过0dB线，且具有一定线，且具有一定)(L的中频段宽度。的中频段宽度。3特性应具有尽能够高的截止频率特性应具有尽能够高的截止频率c，以提高闭环，以提高闭环)(L系统的快速性。系统的快速性。4特性的高频段应有较大的斜率，以加强系统的特性的高频段应有较大的斜率，以加强系统的)(L抗干扰才干。抗干扰才干。5-7 闭环频率特性分析闭环频率特性分析一一.闭环频率特性曲线绘制闭环频率特性曲线绘制对于单位反响系统，闭环和开环系统频率对于单位反响系统，闭环和开环系统频率特性的关系特性的关系 )(1)()()()(FjGjGjRjCj对于普通系统的闭环和开环系统频率特性的关系对于