高中数学复数参赛教案

1、第5讲复数最新考纲1理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 知 识 梳 理1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.2复数的几何意义(1

2、)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR)平面向量.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1·z2(abi)·(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0)(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)辨 析 感 悟1对复数概念的理解(1)方程x2x10没有解(×

3、;)(2)2i比i大(×)(3)(教材习题改编)复数1i的实部是1，虚部是i.(×)2对复数几何意义的认识(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()(6)(2013·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数12i，则z在复平面内对应的点位于第三象限(×)3对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)i.()(8)(2013·浙江卷改编)(1i)(2i)13i.()感悟·提升1两点提醒一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；二是两个虚

4、数不能比较大小，如(2)2两条性质(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30(各式中nN)(2)(1±i)2±2i，i，i.考点一复数的概念【例1】 (1)(2013·山东卷)复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A2i B2i C5i D5i(2)(2013·新课标全国卷)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B C4 D.解析(1)由(z3)(2i)5，得z3335i，5i.故选D.(2)(34i)z|43i|5.z，z的虚部为.答案(1)D(2)D规律方法 处理有关复

5、数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理【训练1】 (1)设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为()A0 B1 C1 D2解析(1)ab0a0或b0，这时aabi不一定为纯虚数，但如果aabi为纯虚数，则有a0且b0，这时有ab0，由此知选B.(2)z22(1i)2(1i)20，z22的虚部为0.答案(1)B(2)A考点二复数的几何意义【例2】 (1)(2013·湖南卷)复

6、数zi·(1i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)复数z(i为虚数单位)，则|z|()A25 B. C5 D.解析(1)zii21i，对应的点为(1,1)，位于复平面第二象限(2)z43i，|z| 5.答案(1)B(2)C规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征【训练2】 (1)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AA BB CC DD(2)(2013·湖北卷)i为虚数单

7、位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.解析(1)设zabi(a，bR)，则z的共轭复数abi，它的对应点为(a，b)，是第三象限的点，故选B.(2)在复平面内，复数zabi与点(a，b)一一对应点(a，b)关于原点对称的点为(a，b)，则复数z223i.答案(1)B(2)23i考点三复数代数形式的四则运算【例3】 (1)已知复数z，是z的共轭复数，则z·_.(2)_.(3)已知复数z满足2i，则z_.解析(1)法一|z|，z·|z|2.法二z，z·.(2)i(1i)4i(1i)22i(2i)24i.(3)由2i，得ziiiii

8、.答案(1)(2)4i(3)i规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2|z1|2|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化【训练3】 (1)(2014·临沂模拟)设z1i，则z2等于()A1i B1i Ci D1i(2)(2013·安徽卷)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i22z，则z()A1i B1iC1i D1i解析(1)z2(1i)22i2i1i2i1i.(2)设zabi(a，bR)，则z·i2(abi)·(abi)·i22(a2b2)i2a

9、2bi，故22a，a2b22b解得a1，b1即z1i.答案(1)A(2)A 1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合3要记住一些常用的结果，如i，i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度 思想方法12解决复数问题的实数化思想【典例】 (2013·天津卷)已知a，bR，i为虚数单位，若(ai)·(1i)bi，则abi_.解析(ai)·(1i)(a1)(a1)ibi则解得a1，b2.所以abi12i.答案12i反思感悟 (1)

10、复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法【自主体验】1(2014·滨州模拟)已知bi(a，bR)，则ab()A1 B2 C1 D32(2012·湖北卷)若abi(a，bR)，则ab_.一、选择题3(2013·北京卷)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4(2013·广东卷)若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2,4) B

11、(2，4)C(4，2) D(4,2)5(2014·武汉模拟)设复数z(34i)(12i)，则复数z的虚部为()A2 B2 C2i D2i6(2013·新课标全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则z()A1i B1i C1i D1i7(2013·陕西卷)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12 B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z1·1z2·2 D若|z1|z2|，则zz二、填空题8(2013·江苏卷)设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_9(2014·郑州模拟)4_.10(2

12、013·上海卷)设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，则m_.三、解答题11已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.12当实数m为何值时，z(m25m6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限能力提升题组一、选择题13(2014·陕西师大附中模拟)2 014()Ai Bi C1 D114方程x26x130的一个根是()A32i B32iC23i D23i二、填空题15(2014·北京西城模拟)定义运算adbc.若复数x，y，则y_.三、解答题

13、16.如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数一、选择题17(2013·湖北卷)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限18(2013·辽宁卷)复数z的模为()A. B. C. D219(2013·江西卷)已知集合M1,2，zi，i为虚数单位，N3,4，MN4，则复数z()A2i B2iC4i D4i20(2014·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|2，则复数z的虚部是(

14、)A B.i C±i D±21(2014·青岛一模)某程序框图如图所示，若a3，则该程序运行后，输出的x值为()A15 B31 C62 D6322(2014·郑州一模)执行如图所示的程序框图，则输出n的值为()A6 B5 C4 D323.(2014·咸阳模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为()Ak6? Bk4?Ck5? Dk5?24(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7，排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是()A第一列 B第二列C第三列 D第四列25(2013·长沙

15、模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCCOA90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()AS2SSS BS2CSS1S2S3 DS二、填空题26(2013·重庆卷)已知复数z，则|z|_.27(2014·茂名一模)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a_.28(2014&#

16、183;湖南十二校二联)为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位：分钟)，按锻炼时间分下列四种情况统计：010分钟；1120分钟；2130分钟；30分钟以上有10 000名中学生参加了此项活动，如图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在020分钟内的学生的频率是_29(2014·泰安一模)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为_30(2013·宝鸡二检)已知222×，332×，442×，若992×(a，b为正整数)，则ab_.31(2014·兰州质检)在平面几何

17、中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.三、解答题32在单调递增数列an中，a12，不等式(n1)anna2n对任意nN*都成立(1)求a2的取值范围；(2)判断数列an能否为等比数列，并说明理由33(2013·常德模拟)设a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论1. 解析a2ibii21bi，a1，b2，ab1. 答案A2.解析由已知得3bi(1i)(abi)

18、abiaibi2(ab)(ba)i，根据复数相等得解得ab3. 答案33. 解析 (2i)244ii234i，对应的点为(3，4)，位于第四象限，故选D.4. 解析由已知条件得z42i，所以z对应的点的坐标为(4，2)，故选C.5. 解析z(34i)(12i)112i，所以复数z的虚部为2. 答案B6. 解析由题意得z1i，故选A.7. 解析A中，|z1z2|0，则z1z2，故12，成立B中，z12，则1z2成立C中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z11z22，C正确D不一定成立，如z11i，z22，则|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz. 答案D8. 解析z(2i)234i

19、，|z|5. 答案59. 解析421. 答案110. 解析由题意知解得m2. 答案211. 解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i(aR)，则z1·z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1·z2R.a4.z242i.12. 解(1)若z为实数，则解得m2.(2)若z为虚数，则解得m2且m3.(3)若z为纯虚数，则解得m3.(4)若z对应的点在第二象限，则即m3或2m3.13. 解析2 0142 0142 014(i)2 104i2 014i4×50321. 答案C14. 解析法一x3±2i.法二令xabi，a，bR，(abi)26(abi

20、)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，解得a3，b±2，即x3±2i. 答案A15. 解析因为xi.所以y2. 答案216. 解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.17. 解析z1i，1i，对应点(1，1)在第四象限答案D18. 解析zi，|z|.答案B19. 解析由MN4知4M，所以zi4，z4i，选C.20. 解析设zabi(a，bR)，由题意知a1，1b24，b23，b±.答案D21. 解析第一次循环：x2

21、×317，n2；第二次循环：x2×7115，n3；第三次循环：x2×15131，n4.此时不满足条件，输出x31. 答案B22. 解析第一次循环，n1，S123；第二次循环，n2，S2×328；第三次循环，n3，S3×8226；第四次循环，n4，S4×262106，此时满足条件，输出n4. 答案C23. 解析当k1时，S2×011；当k2时，S2×124；当k3时，S2×4311；当k4时，S2×11426；当k5时，S2×26557，由题意知此时退出循环，因而选B.答案B24. 解析正奇数从小到大排，则89位居第45位，而454×111，故89位于第四列答案D25. 解析如图，作ODBC于点D，连接AD，由立体几何知识知，ADBC，从而S22BC2·AD2BC2·(OA2OD2)(OB2OC2)&#