[数学]重积分讲座ppt课件

1、例例 1 222222yR0 xR2Ry2R0y0 xydxedyedxedye计算计算:解解思索用极坐标变换思索用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域先弄清直角坐标系下的积分区域 D D，0.20.40.60.811.21.40.511.521D2DR，很明显很明显21DDD 由此由此,可以可以画出直角系画出直角系下的积分区下的积分区域的图形，域的图形，2Ry0, yx0)y, x(D1 Ry2R,yRx0)y, x(D222 0.20.40.60.811.21.40.511.52rD xy22D)yx(dxdyeI r2Drrdrde R0r2/4/rdred2R0r)e21(42 )e

2、1(82R 例例 2.:,22222)(Rzyxzyxdv 其其中中求求解解RrrzyxzyxzyxdrdddvdvzxyzxydvR5202020222222254sin0)(2)()( 对对称称性性.xyz3)zyx(3222所围立体的体积所围立体的体积求求 例例3 3解解 cossincossin3r23 cossin2sin2320 2 2 23 2o 由对称性由对称性 14dVV 2020cossin2sin230232sin drrdd32 例例4 计算计算 v2,dv)zyxcos()zyx(.10 , 10 , 10),(zyxzxyxzyxV解解 曲面坐标变换的目的曲面坐标变

3、换的目的, (1)使积分区域变使积分区域变 得尽量简单得尽量简单, (2)简化被积函数及计算。简化被积函数及计算。引入坐标变换：引入坐标变换：zyxw,zxvyxu )z, y, x()w, v,u( 111101011 3 dxdydz)zyxcos()zyx(I2v v2dudvdw)w,v,u()z,y,x(wcoswdw31wcoswdvdu1021010 dwwcosw31102 102wsin61 1sin61 0.511.520.20.40.60.811.2z例例5 5 设心脏线的方程为设心脏线的方程为),cos1(ar , 0a,0 求它与极轴围成的平面求它与极轴围成的平面图形

4、绕极轴所得旋转体的体积。图形绕极轴所得旋转体的体积。解解假设视极轴为假设视极轴为 z z 轴，那么轴，那么极坐标极坐标 恰好是球坐标恰好是球坐标, r的的,:范范围围对对于于旋旋转转体体应应为为而而球球坐坐标标 .20 于是体积于是体积 dvV )cos1(a02020dsindd 033dsin)cos1(3a2 0434)cos1(3a23a83 例例6).0( F,dxdy)yx(f) t (F, 1)0(f ,)u(f222tyx22求求令令连续连续设设 解解 t0220rdr)r(fd) t (F t02rdr)r(f2)t (tf2) t (F2 0)0(F 得得连连续续由由,)u

5、( f)0t (t)0( F) t ( Flim)0( F0t t)t (tf2lim20t 2例例7 7解：解： 11111)()()(3dxxgdyxyfdxdxdyxyfxD所围成的平面区域，所围成的平面区域，是由是由为奇函数，为奇函数，设设1, 1)(3 yxyxDuf D3dxdy)xy( fx求求 1133)()()(xtyxdtxtfdyxyfxg而而0)( Ddxdyxyf DDdxdyxdxdyxyfx33)(7211133 xdydxx 11111)()()()(3dtxtfxgdtxtfdtxtfx)(xg 例例8 8二二. 证明题证明题:,1|,)(证明证明确定确定由由

6、区域区域为连续函数为连续函数设设 xyDuf例例1dx)x(xf)x1arccos4(dx)x(xfdxdy)( fI2110D22yx 分析分析: :要证明的等式右端是定积分要证明的等式右端是定积分, ,且且被积函数中有被积函数中有 项项, ,故需将故需将 看看成一整体成一整体. .)(xfyx22 xy )(22,22) 1 , 1(D12D11证明证明: : 采用极坐标采用极坐标. 1r,DDD,DD121111 分分界界线线为为在在第第一一象象限限的的部部分分为为设设将式中将式中r r的换成的换成x,x,即得证即得证. . 1D22dxdy)yx( f4I由对称性知由对称性知dxdy)

7、yx( fdxdy)yx( f 41211D22D22 4r1arccos211040d)r (rfdrdr)r (rfd 4 2110dr)r (rf)r1arccos4(dr)r (rf例例2 2 dxdyexfyxyfxf1)()(22,1 , 0)(证明证明上可积上可积在在设设证证)0(1! 212之之间间于于介介于于xxxexex )y( f)( f1)y(f)(f xex 1x1x)y(f)(f2222)y( f)( f1(yyxdxdyxdxdye 1x1x2222)y( f)x( fyydxdydxdy.Ryx:D)ba(R21dxdy)y()x()y(b)x(a) t (22

8、2D2 其中其中为连续正值函数，证明为连续正值函数，证明设设证明：证明：由积分区域由积分区域D关于关于y=x对称，所以对称，所以， DDdxdy)y()x()y(dxdy)y()x()x(从而从而 Ddxdy)y()x()y(b)x(a例例3 3dxdy)y()x()y()x()ba(D )ba(R212 .)()(1)(:, 0)()(2,abdxxfdxxfxfCxfbababa 证明证明且且设设例例4 4解：解：dxxfdxxfIbaba )(1)(dyyfdxxfbaba )(1)(dxdy)y( f1)x( fbyabxa DdxdyxfyfyfxfI)()()()(21 Ddxdy

9、2212)(ab 例例4 4 . 1dyedxe:,1 , 0C)x( f10)y(f10)x(f 证明证明设设dyedxeyfxf 10)(10)(:证证 1y01x0)()(dxdyeyfxf 1y01x0)()()()()(21dxdyeexfyfyfxf1221 Ddxdy例例4 )()dx)x()(dx)x(dx)x(g)x(f:ba2ba2ba2gf施施瓦瓦兹兹不不等等式式柯柯西西证证明明 证证)()()(22dxxdxxIbabagf )()()(22dyydxxbabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyyxDgf 同理同理)()()(22dxxdxxIbabagf

10、 )()()(22dxxdyybabagf .,:,)()(22byabxaDdxdyxyDgf dxdyxyIDgfygxf)()(222)()(22 则则dxdyxgyfDygxf)()()()( 2 dyygyfdxxgxfbaba )()()()(2)()(22dxxgxfba )()()()()(222(dxxdxxdxxgxfbababagf 故故例例5 5 ).0t ( ,dxxt)x(ft2dxxt)x( f:,1 , 0C)x( f1022221022 证明证明设设:证证dxxt)x(fxtdx102221022 210222221022dxxt1xt)x( fdxxt)x(

11、 f dxxt)x(ft1arctant110222 dxxt)x(ft210222 例例 6,)x( f单单调调减减少少且且恒恒大大于于零零在在上上连连续续设设函函数数 1010210102dx)x( fdx)x(fdx)x(xfdx)x(xf证明：证明：分析：分析： 1021010102dx)x(xfdx)x(fdx)x(xfdx)x(f只只要要证证明明 1021010102dy)y(yfdx)x( fdy)y(yfdx)x(f即即证证0dxdy)y( f)x( fy)y( f )x( f I1010 即即证证dxdy)x( f)y( fx)x( f )y( f I1010 同同理理dxd

12、y)y( f)x( fxy)y( f )x( fI21010 于于是是0)y(f)x(f)xy(0f)x(f 可可保保证证的的单单调调性性及及由由那么此题得证那么此题得证.例例7:, 1yxD22试证明不等式试证明不等式为为设设 .52dxdy)yx(sin16561D322 证明证明drrsinr2dxdy)yx(sinI103D322 drrrr)(2103!39 ，而而 16561dr)!3rr(r21093 52drr2104.52dxdy)yx(sin16561D322 故故例例 8.)z,y, x(f,tzyx:,dxdydz)z,y, x(ft31lim22220t1上连续上连续

13、在在求求 证证由积分中值定理有由积分中值定理有)00 , 0(f， 3t4),(fdxdydz)z,y, x(f3 3),(f4limdxdydz)z,y, x(ft31lim0t0t1 则则设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .例例9 9证证 tdxxftF0)()(设设, 0)0(F 于于是是dyxFyFyfxfdxIx)()()()(101 1110 xxdyxFyfxfdyyFyfxfdx)()()()()()(101101221dxyFxFxfdxyFxfxx| )()()(| )(

14、)( 1022dx)x(F)1(F)x(F)x( f)x(F)1(F21)x( f 1022dx)1(F)x(F)x( f)x(F)x( f21)1(F)x( f21 102dx)1(F)x(F2)x( f 102)1(F)x(Fd)1(F)x(F21103|)1(F)x(F61 310dx)x( f61 例例1010 tt2) t (D22) t (D22) t (222dx)x( fd)yx( f) t (G,d)yx( fdv)zyx( f) t (F.tyx| )y, x() t (Dtzyx| )z, y, x() t (2222222 其中其中连连续续且且大大于于零零，设设函函数数

15、)x( f.), 0() t (F)1(内的单调性内的单调性在区间在区间讨论讨论).t (G2) t (F,0t)2( 时时证明当证明当 ttrdrtfdrrtrtfttftF022022)()()()(2)( , 0)x( F), 0( 上上所所以以在在.), 0() t (F内单调增加内单调增加在在故故 2002002220)(sin)()(ttrdrrfddrrrfddtF,)()(202022 ttrdrrfdrrrf解解)1(证证)2(,)()()(0202 ttdrrfrdrrftG ),t (G2) t (F0t 时时要要证证明明因因, 0) t (G2) t (F,0t 时时只只需需证证明明.0rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( ft022t02t022 即即,rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( f) t (g2t02t02t022 令令, 0dr)rt)(r ( f)t ( f) t ( gt0222 则则.), 0) t (g内单调增加内单调增加在在故故, 0)0( g又又, 0) t (g,0t 时时故故当当).t (G2) t (F0t 时，时，因此，当因此，当,0t) t (g处连续处连续在在因为因为 ).0(g) t (g,0t 有有时时所以当所以当21,dy)xy(u)y(u