损伤力学讲义

1、岩 土 损 伤 力 学西安科技大学叶 万 军2014年 9 月n第3章 岩体损伤检测方法n第4章 岩体细观损伤的CT识别第第1章章 损伤力学基础损伤力学基础 1.2 损伤力学的研究方法和内容损伤力学的研究方法和内容 损伤力学的研究方法从立足点和研究尺度大致可分为损伤力学的研究方法从立足点和研究尺度大致可分为微观方法、微观方法、细观方法与宏观方法细观方法与宏观方法，而损伤变量的选取和意义直接与研究方法有，而损伤变量的选取和意义直接与研究方法有关。关。 施斌教授施斌教授提出的界限尺寸为：小于提出的界限尺寸为：小于0.002mm的结构单元体及的结构单元体及其组合体为微观范畴，其组合体为微观范畴，15

2、 0.002mm的结构单元体及其组合体为的结构单元体及其组合体为细观范畴，大于细观范畴，大于15mm为宏观范畴。为宏观范畴。 杨更社教授杨更社教授认为细观研究的界限取决于研究的范围与工程应认为细观研究的界限取决于研究的范围与工程应用背景范围的比例：金属材料常在用背景范围的比例：金属材料常在10-6mm内；岩土材料以肉眼内；岩土材料以肉眼不可见的尺度作为细观上限，小于不可见的尺度作为细观上限，小于10-6mm到了微观界限。到了微观界限。 谢尔盖耶夫谢尔盖耶夫所谓的所谓的“中观中观”，实际上就是现在所说的细观，实际上就是现在所说的细观（meso)。顾名思义，只有仔细地看，才能看清（。顾名思义，只有

3、仔细地看，才能看清（用肉眼看不清，或看不见；借助普通放大镜，放大数倍，才可看清）。 由此可见，由此可见，谢尔盖耶夫划分的细观界限较为合适。谢尔盖耶夫划分的细观界限较为合适。故细观界限尺寸：1mm 0.001mm. 由于材料的损伤现象涉及到从微观到宏观各种尺度的过程和各由于材料的损伤现象涉及到从微观到宏观各种尺度的过程和各层次的互相耦合。而在远离平衡条件下，微观的原子、分子层次与层次的互相耦合。而在远离平衡条件下，微观的原子、分子层次与宏观层次之间没有简单的、直接的联系。比较现实的途径是通过若宏观层次之间没有简单的、直接的联系。比较现实的途径是通过若干中间层次作为联系微观与宏观的桥梁，这种中间尺

4、度称为细观尺干中间层次作为联系微观与宏观的桥梁，这种中间尺度称为细观尺度。度。 细观损伤主要从材料内的颗粒、晶体、微裂纹、空洞等细观结细观损伤主要从材料内的颗粒、晶体、微裂纹、空洞等细观结构层次上研究各类损伤的形态、分布及其演化特征，从而预测材料构层次上研究各类损伤的形态、分布及其演化特征，从而预测材料的宏观力学特征。的宏观力学特征。细观损伤理论是一种多重尺度的连续介质理论。细观损伤理论是一种多重尺度的连续介质理论。一般认为，细观损伤模型为损伤变量和损伤演化赋予了较为真实的一般认为，细观损伤模型为损伤变量和损伤演化赋予了较为真实的几何形状和物理过程，并为宏观损伤理论提供较高层次的实验基础，几何

5、形状和物理过程，并为宏观损伤理论提供较高层次的实验基础，有助于对损伤过程本质的认识。因此，有助于对损伤过程本质的认识。因此，80年代中后期，细观损伤力年代中后期，细观损伤力学成为损伤力学的主导发展方向之一。学成为损伤力学的主导发展方向之一。 Costin（1983）从脆性材料的微裂纹发育的角度建立了一个微裂纹损伤细）从脆性材料的微裂纹发育的角度建立了一个微裂纹损伤细观模型，用于分析脆性岩石材料的变形和破坏；观模型，用于分析脆性岩石材料的变形和破坏； Krajcinovic（1985）指出唯象学模型不能有效地处理材料损伤的细观过程，）指出唯象学模型不能有效地处理材料损伤的细观过程，建立了一个以细

6、观力学为基础的损伤理论；建立了一个以细观力学为基础的损伤理论； Hult（1985）依据材料孔洞的形态、尺寸和密度定义了细观损伤变量，并）依据材料孔洞的形态、尺寸和密度定义了细观损伤变量，并根据孔洞的自相似扩展原理，建立了损伤率与应变率之间的关系；根据孔洞的自相似扩展原理，建立了损伤率与应变率之间的关系；1987年年从从孔隙介质的孔隙介质的延性变形延性变形和材料弥散引起的和材料弥散引起的损伤发展损伤发展两方面提出了适用了于多晶两方面提出了适用了于多晶体材料的细观损伤模型，但主要是适应于多晶体金属材料的蠕变分析。体材料的细观损伤模型，但主要是适应于多晶体金属材料的蠕变分析。 国内余寿文在材料断裂

7、损伤的细观力学方面进行了较早的研究；夏蒙芬提国内余寿文在材料断裂损伤的细观力学方面进行了较早的研究；夏蒙芬提出了统计细观力学的思想，他认为材料细观损伤力学应该包括出了统计细观力学的思想，他认为材料细观损伤力学应该包括3个层次的描述，个层次的描述，即细观描述、统计描述，然后才能上升到宏观层次上进行描述分析。这种思即细观描述、统计描述，然后才能上升到宏观层次上进行描述分析。这种思想很值得借鉴，它既包含了细观力学的基本思想，又为细观描述到宏观分析想很值得借鉴，它既包含了细观力学的基本思想，又为细观描述到宏观分析找到桥梁。找到桥梁。 宏观损伤力学的方法是通过宏观损伤力学的方法是通过引进内变量引进内变量

8、来把材料内结构的变化现来把材料内结构的变化现象渗透到宏观力学现象来加以分析。它基于连续介质力学和不可逆热象渗透到宏观力学现象来加以分析。它基于连续介质力学和不可逆热力学理论，将包含各种缺陷的材料视为一种连续体，认为损伤作为一力学理论，将包含各种缺陷的材料视为一种连续体，认为损伤作为一种场变量在其中连续分布，损伤状态由损伤变量进行描述。在满足力种场变量在其中连续分布，损伤状态由损伤变量进行描述。在满足力学、热力学基本假设和定理的条件下，唯象地推求出损伤材料的本构学、热力学基本假设和定理的条件下，唯象地推求出损伤材料的本构方程和损伤演化方程。方程和损伤演化方程。 宏观损伤力学用不可逆热力学内变量来

9、描述材料内损伤缺陷及其宏观损伤力学用不可逆热力学内变量来描述材料内损伤缺陷及其变化，而不去更细致地考虑其变化的机制。它从变化，而不去更细致地考虑其变化的机制。它从Kachanov（1958）损）损伤力学基本思想的提出到伤力学基本思想的提出到80年代中期一直占主导地位，通常称之为年代中期一直占主导地位，通常称之为“连续介质损伤力学连续介质损伤力学”（CDM）。经过）。经过20多年的不断发展，连续介质多年的不断发展，连续介质损伤力学理论已日趋成熟，并在各学科、领域得以应用。损伤力学理论已日趋成熟，并在各学科、领域得以应用。 连续介质损伤力学分析过程一般分为连续介质损伤力学分析过程一般分为4个阶段个

10、阶段u （1）选择合适的损伤变量）选择合适的损伤变量 描述材料中损伤状态的场变量称为损伤变量描述材料中损伤状态的场变量称为损伤变量，它属于本构理，它属于本构理论中的内部状态变量。从力学意义上说，损伤变量的选取应考虑到论中的内部状态变量。从力学意义上说，损伤变量的选取应考虑到如何与宏观力学量建立联系并易于测量。不同的损伤过程，可以选如何与宏观力学量建立联系并易于测量。不同的损伤过程，可以选取不同的损伤变量。即使同一损伤过程，也可以选取不同的损伤变取不同的损伤变量。即使同一损伤过程，也可以选取不同的损伤变量。量。 损伤变量要由物理意义明确的物理量来定义，并且还必须损伤变量要由物理意义明确的物理量来

11、定义，并且还必须具有一定的物理和数学本质，早期的以具有一定的物理和数学本质，早期的以Kachanov-Rabotnov有效有效面积为基础所定义的损伤张量均为标量，主要适用于面积为基础所定义的损伤张量均为标量，主要适用于各向同性各向同性损损伤材料。实际上材料的损伤是各向异性的，通过损伤张量可方便伤材料。实际上材料的损伤是各向异性的，通过损伤张量可方便地处理各向同性或各向异性材料的各向异性损伤问题，于是人们地处理各向同性或各向异性材料的各向异性损伤问题，于是人们又致力于矢量或张量性质损伤变量的研究。如又致力于矢量或张量性质损伤变量的研究。如Krajcinovic（1981）从材料微缺陷模型出发，对

12、脆弹性材料中的扁平缺陷用矢量作为从材料微缺陷模型出发，对脆弹性材料中的扁平缺陷用矢量作为损伤描述，损伤描述，Vakulenko和和Kachanov（1971）在处理脆弹性损伤时，）在处理脆弹性损伤时，提出用微裂纹的法向矢量。与裂纹面相对位移矢量构成提出用微裂纹的法向矢量。与裂纹面相对位移矢量构成2阶阶“损损伤张量伤张量” 。Murakami & Ohno（1981）应用微裂纹的体积配置）应用微裂纹的体积配置定义了定义了2阶损伤张量。损伤张量阶次的增加，可以更多地考虑损阶损伤张量。损伤张量阶次的增加，可以更多地考虑损伤的影响因素，使损伤的分析更为精细。而且，早期的标量损伤伤的影响因素，使

13、损伤的分析更为精细。而且，早期的标量损伤模型均可由张量模型退化而得到。损伤张量的阶次不具任意性，模型均可由张量模型退化而得到。损伤张量的阶次不具任意性，最高为最高为8阶。阶。 （2）建立损伤演化方程）建立损伤演化方程 材料内部的损伤是随外界因素（如载荷、温度变化等）作用的材料内部的损伤是随外界因素（如载荷、温度变化等）作用的变化而变化的。为了描述损伤的发展，需要建立描述损伤发展的方变化而变化的。为了描述损伤的发展，需要建立描述损伤发展的方程，即损伤演化方程。选取不同的损伤变量，损伤演化方程也就不程，即损伤演化方程。选取不同的损伤变量，损伤演化方程也就不同，但它们都必须反映材料真实的损伤状态。同

14、，但它们都必须反映材料真实的损伤状态。 （3）建立考虑材料损伤的本构关系）建立考虑材料损伤的本构关系 这种包含了损伤变量的本构关系，即损伤本构关系或损伤本构这种包含了损伤变量的本构关系，即损伤本构关系或损伤本构方程，在损伤力学计算中占有重要的地位，或者说起着关键或核心方程，在损伤力学计算中占有重要的地位，或者说起着关键或核心的作用。的作用。 （4）根据初始条件（包含初始损伤）和边界条件求解）根据初始条件（包含初始损伤）和边界条件求解材料各点的应力、应变和损伤值材料各点的应力、应变和损伤值 由计算得到的损伤值，可以判断各点的损伤状态。在损伤达到临由计算得到的损伤值，可以判断各点的损伤状态。在损伤

15、达到临界值时，可以认为该点（体积元）破裂，然后根据新的损伤分布状界值时，可以认为该点（体积元）破裂，然后根据新的损伤分布状态和新的边界条件，再作类似的反复计算，直至达到材料的破坏准态和新的边界条件，再作类似的反复计算，直至达到材料的破坏准则而终止。则而终止。损伤实验研究建立具体问题的损伤模型 不可逆热力学与连续介质力学的均衡定律选择损伤变量建立损伤材料本构方程应力分析数值计算强度分析实验验证工程实际应用损伤演变方程损伤初始条件损伤破坏准则1.3 损伤力学的热力学基础损伤力学的热力学基础WQdEdKdKdEQWdKEQWfWhQe)(,（1-3）fhe)(0jiijijhee2.热力学第二定律热

16、力学第二定律ClausiusDuhem不等式不等式iedSdSdS绝热吸热00QddSe 热力学第二定律用内熵增量可表示为：热力学第二定律用内熵增量可表示为： （不可逆过程）（不可逆过程） （18a） （可逆过程）（可逆过程） （18b） （18a）式又被称为）式又被称为Prigogine“熵平衡方程熵平衡方程”， 时称为时称为等熵过程，一个绝热过程成为等熵过程的充要条件是该过程是可逆等熵过程，一个绝热过程成为等熵过程的充要条件是该过程是可逆的。的。 由（由（16）与（）与（18）式可得）式可得 （19） 上式中等号仅对可逆过程成立，不等号适用于不可逆过程。上式中等号仅对可逆过程成立，不等号适

17、用于不可逆过程。 当（当（19）式中熵和热量都是时间的可微函数时，则可改写为）式中熵和热量都是时间的可微函数时，则可改写为率的形式率的形式（1-10） 上式就是著名的上式就是著名的Clausius-Duhem不等式，是热力学第二定律的不等式，是热力学第二定律的率表达形式。率表达形式。0idS0idS0dSdQdS dtdQdtdS1 利用散度定理，利用散度定理，ClausiusDuhem不等式的局部表达形式为不等式的局部表达形式为:（1-12）再利用公式再利用公式 （1-13）则（则（111）式成为）式成为 （1-14）dSnhdVsdVdtd0hdisghhdihdi)(10)(ghhdis

18、热力学第二定律可用内熵增的形式表述为热力学第二定律可用内熵增的形式表述为 式中式中 0不可逆过程；不可逆过程； 0可逆过程。可逆过程。 热力学第二定律更具体地规定了过程的本质，热力学第二定律更具体地规定了过程的本质，指明了哪一些过程在现指明了哪一些过程在现实中是不可能出现的，而哪一些过程是允许的，它实中是不可能出现的，而哪一些过程是允许的，它刻划了过程的性质和发刻划了过程的性质和发展方向。展方向。0gh3.热力学状态变量与损伤变量热力学状态变量与损伤变量上述基本状态变量和内变量的完整集合体的选择并不是唯一的，取决上述基本状态变量和内变量的完整集合体的选择并不是唯一的，取决于力学模型的层次、实际

19、系统的复杂过程以及需要在怎样的精度和变形范于力学模型的层次、实际系统的复杂过程以及需要在怎样的精度和变形范围内去描述系统的热力学状态等。虽然目前还没有一种客观的方法来指导围内去描述系统的热力学状态等。虽然目前还没有一种客观的方法来指导如何选择最合适的内变量数目与形式。但实践经验、物理直觉，以及应用如何选择最合适的内变量数目与形式。但实践经验、物理直觉，以及应用环境的限制等，都将会影响到内变量的选择。对建立在唯象学上的损伤力环境的限制等，都将会影响到内变量的选择。对建立在唯象学上的损伤力学模型来说，重要的是学模型来说，重要的是如何选用尽量少的损伤变量来宏观平均地表征材料如何选用尽量少的损伤变量来

20、宏观平均地表征材料内部结构的损伤变化内部结构的损伤变化对应力、应变关系和强度、寿命等力学特性的影响，对应力、应变关系和强度、寿命等力学特性的影响，并能通过实验去决定所引入的宏观参数并能通过实验去决定所引入的宏观参数。当然如果能够与微观（或细观）。当然如果能够与微观（或细观）的分析（如金相学或细观力学的分析）结合起来搞清楚其损伤机制，则对的分析（如金相学或细观力学的分析）结合起来搞清楚其损伤机制，则对损伤内变量及其发展规律的研究无疑是很重要的。但这并不意味着后者是损伤内变量及其发展规律的研究无疑是很重要的。但这并不意味着后者是进行损伤分析研究的先决条件，这是因为所选择的损伤模型还可以通过宏进行损

21、伤分析研究的先决条件，这是因为所选择的损伤模型还可以通过宏观来加以检验和修正。观来加以检验和修正。 下下表给出了一部分常用的基本状态变量（外变量）和内变量与对偶变量表给出了一部分常用的基本状态变量（外变量）和内变量与对偶变量的关系。的关系。 损伤材料的对偶状态变量PpARYYsij0ij),(iAsee),(iAshh);,(iA),(iAGG) 1, 2 , 1(miehseTshGdQddeijijddQ由于由于Q是一个过程量，不是状态函数，因此是一个过程量，不是状态函数，因此 dQ 不是全微分。不是全微分。但当内变量保持不变（包括可逆过程），（但当内变量保持不变（包括可逆过程），（118

22、）式具有局部可）式具有局部可积性，根据积性，根据Caratheodory定理的推论，定理的推论，dQ 与绝对温度与绝对温度 T 的熵是单的熵是单位质量位质量 熵熵 S 的全微分。的全微分。 （1-19）推导得推导得 （1-20a）（1-20b） （1-20c） （1-20d） 常用的状态函数是常用的状态函数是Helmholtz自由能自由能 和和Gibbs自由能自由能 。 在无耗散和等温条件下，自由能在无耗散和等温条件下，自由能 为应变能函数，为应变能函数， 为余能函为余能函数。数。TQdds TdsddeijijTdsddhijijsdTddijijsdTddGijijGG 状态方程是描述应力

23、、广义力和熵与基本状态变量和内变量之间关系的状态方程是描述应力、广义力和熵与基本状态变量和内变量之间关系的方程，又被称为本构方程。通常也将状态变量之间的关系称为本构关系。方程，又被称为本构方程。通常也将状态变量之间的关系称为本构关系。应变可分解为弹性应变应变可分解为弹性应变 （无耗散）和非弹性应变（无耗散）和非弹性应变 （有耗散），则（有耗散），则 （1-21） 如果用如果用 表示损伤变量（一般为张量），其它内变量（如表示塑性、粘表示损伤变量（一般为张量），其它内变量（如表示塑性、粘性等影响）用性等影响）用 表示，则表示，则Helmholtz自由能可表示为自由能可表示为 （1-22）整理得整理

24、得（1-23）eijnijnijeijija),(Taijeij0gThsijijnijijeijeijij由于由于 和和 的任意性，则得材料的本构关系为的任意性，则得材料的本构关系为（1-24a）ijijYeijeijijsnY,2 , 1 ijijnijij0gThijijnijij耗散变量耗散变量对偶变量对偶变量塑性应变量塑性应变量应力应力损伤变量损伤变量损伤对偶力损伤对偶力热通量热通量热传导驱动力热传导驱动力其它耗散变量其它耗散变量其它对偶力其它对偶力phTg1.4 1.4 损伤变量和有效应力损伤变量和有效应力由于材料的损伤引起材料微观结构和某些宏观物理性能的变化，由于材料的损伤引起材

25、料微观结构和某些宏观物理性能的变化，因此可以从微观和宏观两方面选择度量损伤的基准。因此可以从微观和宏观两方面选择度量损伤的基准。 微观方面，可以选用空隙的数目、长度、面积和体积；从宏观微观方面，可以选用空隙的数目、长度、面积和体积；从宏观方面，可以选用弹性系数、屈服应力、拉伸强度、伸长率、密度、电方面，可以选用弹性系数、屈服应力、拉伸强度、伸长率、密度、电阻、超声波速和声辐射等等。在这两类基准中，最常用的是：（阻、超声波速和声辐射等等。在这两类基准中，最常用的是：（1）空隙的数目、长度、面积和体积；（空隙的数目、长度、面积和体积；（2）由空隙的形状、排列取向决）由空隙的形状、排列取向决定的有效

26、面积；（定的有效面积；（3）弹性系数（弹性模量和泊松比）；（）弹性系数（弹性模量和泊松比）；（4）密度等。）密度等。 可以用直接法和间接法测量材料的损伤。例如，对微观方面的基可以用直接法和间接法测量材料的损伤。例如，对微观方面的基准量，可采用直接测定的方法以判定材料的损伤状态；而对宏观方面准量，可采用直接测定的方法以判定材料的损伤状态；而对宏观方面的基准量，则可用机械法和物理法测定，然后间接推算材料的损伤。的基准量，则可用机械法和物理法测定，然后间接推算材料的损伤。至于实际采用哪些方法，应根据损伤变量如何定义以及损伤类型而定。至于实际采用哪些方法，应根据损伤变量如何定义以及损伤类型而定。 在不

27、同的情况下，可将损伤变量定义为标量、矢量或张量。从在不同的情况下，可将损伤变量定义为标量、矢量或张量。从热力学的观点看，损伤变量是一种内部状态变量，它能反映物质结构热力学的观点看，损伤变量是一种内部状态变量，它能反映物质结构的不可逆变化过程。的不可逆变化过程。 2.有效应力的概念有效应力的概念现用材料受单轴拉伸的例子说明有效应力的概念。图现用材料受单轴拉伸的例子说明有效应力的概念。图a为一初始为一初始无损伤的材料，假设受无损伤的材料，假设受F力到一定大小后产生均匀的损伤（图力到一定大小后产生均匀的损伤（图b）。）。若材料的初始横截面积为若材料的初始横截面积为A，受损后损伤面积（包括微裂纹和空隙

28、），受损后损伤面积（包括微裂纹和空隙）为为 ，材料的净面积或者有效面积为，材料的净面积或者有效面积为 。在均匀损伤状态下，。在均匀损伤状态下，损伤变量取为标量。损伤变量取为标量。Kachanov在研究金属的蠕变断裂时，第一次提在研究金属的蠕变断裂时，第一次提出用连续性变量描述材料的损伤状态，定义出用连续性变量描述材料的损伤状态，定义为为（1-2 7） Rabotnov在研究金属蠕变时引入了一个与连续变量相对应的变在研究金属蠕变时引入了一个与连续变量相对应的变量，称为损伤变量。量，称为损伤变量。 （1-28）式中式中 ，对应于无损伤状态；，对应于无损伤状态； ， 对应于完全损伤（断裂）状态；对应

29、于完全损伤（断裂）状态； ， 对应于不同程度的损伤状态。对应于不同程度的损伤状态。 令令 为横截面上的名义应力；为横截面上的名义应力； 为净截面或有效为净截面或有效截面上的应力，截面上的应力， 称为净应力或有效应力，则利用式（称为净应力或有效应力，则利用式（128）并由并由 （1-29）得得 （1-30） 当材料发生非均匀损伤时，可在材料内一点处取一体元，用相当材料发生非均匀损伤时，可在材料内一点处取一体元，用相似的方法仍可得到式似的方法仍可得到式 （1-30）。）。D0D1D10D FFD13.应变等价原理在受损材料中，测定有效面积是比较困难的，为了能间接地测定损在受损材料中，测定有效面积是

30、比较困难的，为了能间接地测定损伤，伤， Lemaitre提出了应变等价原理。这一假设认为，应力提出了应变等价原理。这一假设认为，应力作用在受损材作用在受损材料上引起的应变与有效应力作用在无损材料上引起的应变等价。根据这一料上引起的应变与有效应力作用在无损材料上引起的应变等价。根据这一原理，受损材料的本构关系可通过无损材料中的名义应力得到，即原理，受损材料的本构关系可通过无损材料中的名义应力得到，即 式（式（132）表示一维问题中受损材料的本构关系）表示一维问题中受损材料的本构关系EDEE1DE1将式（将式（132）改写为）改写为 为受损材料的弹性模量，称为有效弹性模量，由此得到为受损材料的弹性模量，称为有效弹性模量，由此得到 （1-33） 由式（由式（132）得）得 （1-34） 当加载至某一值时卸载，可假定损伤不可逆，即卸载过程中损伤值不当加载至某一值时卸载，可假定损伤不可逆，即卸载过程中损伤值不变，则有变，则有 ；且；且 E 为材料无损伤时的弹性模量，是常量，故由式为材料无损伤时的弹性模量，是常量，故由式(1-34)可得可得 （1-35） 将式（将式（135）与式（）与式（133）比较，可见受损材料的弹性模量）比较，可见受损材料的弹性模量 即为即为卸载线的斜率，也称为卸载弹性模