线性方程组教案

1、第三章 线性方程组教学安排说明章节题目： §3.1 线性方程组的消元解法；§3.2 向量与向量组的线性组合； §3.3 向量的线性相关性；§3.4向量组的秩；§3.5线性方程组解的结构；习题课学时分配：共12学时。§3.1 线性方程组的消元解法； 3学时§3.2 向量与向量组的线性组合 1.5学时§3.3 向量的线性相关性 1.5学时；§3.4向量组的秩； 3学时§3.5线性方程组解的结构；习题课 3学时本章教学目的与要求：目的：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系及线性方

2、程组的求解方法。要求1）理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系；2）熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；3）理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法；4）掌握线性方程组有解的判定定理及应用；5）掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；课 堂 教 学 方 案课程名称：§3.1 线性方程组的消元解法 授课时数：3学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：使学生掌握线性方程组的初等变换和系数矩阵的初等行变换的关系，熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；教学重点、难点：线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，消元法解线性方程组的具体做法，教学内容&

3、#167;3.1 线性方程组的消元解法现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 (3.1)的方程组，称为线性方程组的系数，称为常数项. 系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.其中代表个未知量，是方程的个数，方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.若记： 而系数和常数项又可以排成下表： （3.2）显然，实际上，有了(3.2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(3.1)就确定了，方程解的情况与采用什么文字来代表未知量没有关系. 这里矩阵称为线性方程组的系数矩阵， 称为增广矩阵。在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法。解二元、三元线性方程组.实际上，这

4、个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例1，解方程组 不难看出，在消去未知量的过程中，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 互换两个方程的位置，2. 用一非零数乘某一方程；3. 把一个方程的倍数加到另一个方程。以上三种变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.所谓方程组(3.1)的一个解就是指由个数组成的有序数组，当分别用代入后，(3.1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(3.1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称

5、为同解的.显然初等变换把一个线性方程组变成一个与它同解的线性方程组线性方程组有没有解完全取决于（3.1）的系数和常数项，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组的解就基本上确定了.显然，消元法求方程组解的过程就是相当于对线性方程组的增广矩阵反复施行初等变换的过程.线性方程组的初等变换对应于矩阵的初等行变换，因此，以下从矩阵的初等变换入手讨论方程的解。定理3.1 线性方程组(3.1)的增广矩阵总可以通过矩阵的初等行变换和第一种列变换化为以下形式： （3.3）相应地，线性方程组(3.1)化为 （3.4）因此线性方程组（3.1）有解的充要条件是，并且当时方程组有唯一解，当时有无

6、穷多解。简要证明：对于方程组(3.1)，首先检查的系数.如果的系数全为零，那么方程组(3.1)对没有任何限制，就可以取任何值，而方程组(3.1)可以看作的方程组来解.如果的系数不全为零，那么利用初等变换1，不妨设.利用初等变换3，分别把第一个方程的倍加到第个方程().于是方程组(3.1)就变成 其中相应的，增广矩阵的第一列除外，其余元素全变为0这样，解方程组(3.1)的问题就归结为解方程组 的问题.这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 (3.5)相应的矩阵为 (3.6)其中.方程组(3.5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时

7、去掉它们也不影响(3.11)的解.而且(3.1)与(3.5)是同解的.现在考虑的解的情况.如 (3.5)中有方程，而.这时不管取什么值都不能使它成为等式.故(3.5) 无解，因而(1)无解.当是零或(3.5) 中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：1）.这时阶梯形方程组为 （3.7）其中.由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(3.7)的解也就是方程组(1)有唯一的解.2）.这时阶梯形方程组为其中.把它改写成 (3.8)由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，也就是定出方程组(3.8)的一个解.一般地，由(3.8)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组

8、(3.1)的一般解，而称为一组自由未知量.从这个例子看出，对线性方程组的增广矩阵实施初等变换，有时不一定是（3.5）的样子，但总可以适当调换矩阵的列，相当于同时交换方程组中某两个未知量的位置，这并不影响方程的解。以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.例2 解

9、线性方程组例3 解线性方程组课后作业：P152 1，3课 堂 教 学 方 案课程名称： §3.2向量与向量组的线性相关性授课时数：1.5学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明教学内容§3.2 向量与向量组的线性组合（一）向量及其线性运算定义3.1 所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组 (1)称为向量(1)的第分量.用小写希腊字母来代表向量.向量通常是写成一行：.有时也可以写成一列：.为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们

10、的区别只是写法上的不同.如果维向量的对应分量都相等，即.就称这两个向量是相等的，记作.分量全为零的向量称为零向量，记为0; 向量称为向量的负向量，记为.定义3.2 向量称为向量的和，记为定义3.3 设为数域中的数，向量称为向量与数的数量乘积，记为定义3.4 所有维实向量的集合记为，的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为实维向量空间.显然线性空间中元素满足以下规律：交换律： . (2)结合律： . (3). (4) . (5), (6), (7), (8). (9)(6)(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)(9)或由定义不难推出：, (10), (11). (

11、12)如果，那么. (13)例1计算（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）例2证明：如果a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0（二）向量组的线性组合两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使.定义3.5 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使 ,其中叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经向量组线性表出.例如，任一个维向量都是下面向量组的一个线性组合. 向量称为维单位向量.零向量是任意向

12、量组的线性组合.定理3.3设，向量（），则向量可由向量组线性表示的充要条件是：以为列向量的矩阵与以，为列向量的矩阵有相同的秩若向量组的中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出.定理3.4如果向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组可以经向量组线性表出.定义3.5如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价.3）传递性：如果向量组与等价，与等价，那么向量组与等价.课后作业：P159 4，6（1），8课 堂 教 学 方 案课

13、程名称： §3.3向量组的线性相关性授课时数：1.5学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明教学内容§3.3向量组的线性相关性定义3.7向量组称为线性相关的，如果有数域中不全为零的数，使如果当且仅当上式成立，则称向量组线性无关。从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立).在为实数域，并且是三维时，就表示向量与共线.三个向量线

14、性相关的几何意义就是它们共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.不难看出，由维单位向量组成的向量组是线性无关的.定理3.5 向量组，其中，则线性相关的充要条件是：以为列向量的矩阵的秩小于向量的个数。具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.向量组线性相关齐次线性方程组有非零解。或者说齐次线性方程组只有零解线性无关。推论1 设个向量（），向量组线性相关的充要条件是：注：这里把应理解为列向量。也可以说向量组线性相关的秩小于向量个数；向量组线性

15、无关的秩为.从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的维的向量组 (5)也线性无关.例1 判断的向量是否线性相关。例2 若向量组线性无关，则向量组也线性无关.例3若向量的部分组线性相关线性相关。反之，线性无关线性无关。证：因为线性相关，则存在不全为零的，使则线性相关。（2）记若线性无关线性无关。反之，若线性相关线性相关。证：1°记，显然，因为线性无关，知，因而.2°因为只有列，所以.由1°和2°知，知线性无关。（3）个维向量组成的向量组，当时线性相关。证：记，因为，则线性相关。（4）设向量组线性无关，线性相关可由表示，且表示法唯

16、一。证：记，显然.1°因为线性无关，知2°因为线性相关，知因此，知，有解且唯一。可由表示，且表示法唯一。推论1 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组线性相关。定理3.6 如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.（二）关于线性组合与线性相关的定理定理3.7 向量组，线性相关向量组中至少存在一个向量能由其余个向量线性表示。定理3.8 设线性相关，而向量线性无关，则可以由线性表示，且表示法唯一。定理3.9 设与是两个向量组.如果向量组可以经线性表出，且，那么向量组必线性相关.反之如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么.推论 两个线性无关的等

17、价的向量组，必含有相同个数的向量. 例4 （1）设线性无关，证明也线性无关；对个线性无关向量组，以上命题是否成立？（2）当线性无关，证明也线性无关，当线性无关时，是否也线性无关？解：令，代入整理得：.因为线性无关，则应有 （），所以（）式只有零解，由定理5推论1知线性无关。例5 设在向量组中，且每个都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关.例6 研究下面向量组的线性相关性解：解法1. 令，整理得 因为线性方程组的系数行列式所以方程组必有非零解，知线性相关。（2）解法2. 由知线性相关。小结： (1) 若所给的向量为行向量，转置成列向量，再用上面的方法求解即可。（2）解法2一般说来比较好，

18、今后尽可能用解法2.例7已知线性无关，证明向量组线性无关。课后作业P160 11，13，15，16（1）课 堂 教 学 方 案课程名称： §3.4 向量组的秩授课时数：3学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量组的秩的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：向量组的秩的定义、有关定理及推论教学内容（一）向量组的极大线性无关组定义3.8 维向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一

19、个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.比如看的向量组在这里线性无关，而，所以是一个极大线性无关组.另一方面，也都是向量组的极大线性无关组.定理3.10如果 是的线性无关部分组，它是极大无关组的充要条件是中每一个向量都可由线性表示。上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.（二）向量组的秩一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.因此，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有定义3.9 向量组的极大线性无关组所含向量的

20、个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.例如，矩阵的行向量组是它的秩是3.它的列向量组是它的秩也是3.矩阵的行秩等于列秩，这点不是偶然的.定理3.11 为矩阵，的充要条件是的列（行）秩为。推论：的列秩与行秩相等。（因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.）

21、例1求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。例2设与是两个向量组.如果向量组可以经线性表出，定理3.11 设向量组与等价，则： 例3 设是数域F上矩阵，是数域F上矩阵，于是, 即乘积的秩不超过各因子的秩.特别地，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一个因子的秩。课后作业P161 17，18，19课 堂 教 学 方 案课程名称： §3.5 线性方程组解的结构授课时数：3学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解基础解系的概念，掌握线性方程组解的结构教学重点、难点：线性方程组解的结构教学内容§3.5 线性方程组解的结构设线性方程组为 当用初等行变换把增广矩阵化成如下阶梯形其中时方程组有解.以下讨论线性方程组解的结构。所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 首先讨论齐次线性方程组。一、齐次线性方程组的解的结构设 (1)是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：1. 两个解的和还是方程组的解.2. 一个解的倍数还是方程组的解.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能