高数D多元函数的Taylor公式与极值问题学习教案

1、会计学1高数高数D多元函数的多元函数的Taylor公式与极值问题公式与极值问题第一页，编辑于星期三：七点 十七分。2/21本节中，我们把一元函数的本节中，我们把一元函数的TaylorTaylor公式、极值与最大最小值的问题推广到多元函数的情形。另外，公式、极值与最大最小值的问题推广到多元函数的情形。另外，4 4，5 5节中的向量都写成列向量。节中的向量都写成列向量。首先，复习一元函数的首先，复习一元函数的Taylor公式：公式：Taylor公式，是用(x-x0)的n次多项式对f(x)进行（近似）逼近。其中第1页/共21页第二页，编辑于星期三：七点 十七分。 对于n元函数 设是定义在区域内连续,

2、 则称 f 是类函数, 下面定理为多元函数的Taylor公式的一阶形式：其中的多项式来逼近 mC类函数的概念.作为铺垫, 先介绍内的n元函数,若 f 在上的定理定理4.1设n元函数称为Lagrange余项.)(xf, 我们也可以用(x-x0)的分量所构成 记为第2页/共21页第三页，编辑于星期三：七点 十七分。考虑一元函数则由于第3页/共21页第四页，编辑于星期三：七点 十七分。所以 , 10 ,! 21002 tttt2 . 4,)(11000Rxxfffniii xxxx1 . 4第4页/共21页第五页，编辑于星期三：七点 十七分。6/21,)(11000Rxxfffniii xxxx1

3、. 4第5页/共21页第六页，编辑于星期三：七点 十七分。第6页/共21页第七页，编辑于星期三：七点 十七分。第7页/共21页第八页，编辑于星期三：七点 十七分。 设函数解解 由方程两端求一阶全微分，得第8页/共21页第九页，编辑于星期三：七点 十七分。10/216 . 47 . 4把8 . 4 处带有在点便得到函数式代入1 , 1,yxz5 . 4第9页/共21页第十页，编辑于星期三：七点 十七分。11/21 生产实践中生产实践中, 我们总是希望用料最省、时间最短、效益最大、质量最好等等，这类问题往往可以归结为多元函数的极值问题我们总是希望用料最省、时间最短、效益最大、质量最好等等，这类问题

4、往往可以归结为多元函数的极值问题. 为此，我们先把一元函数的极值的概念推广到多元函数中来，然后解决多元函数的极值问题为此，我们先把一元函数的极值的概念推广到多元函数中来，然后解决多元函数的极值问题.1. 无约束极值无约束极值设定义定义4.2无约束极大值无约束极大值(无约束极小值无约束极小值)极大值极大值(极小值极小值)极大值点极大值点(极小值点极小值点).第10页/共21页第十一页，编辑于星期三：七点 十七分。12/21极值极值,极值点极值点.17. 5图第11页/共21页第十二页，编辑于星期三：七点 十七分。13/21定理定理4.2 (极值的必要条件极值的必要条件)驻点驻点.第12页/共21页第十三页，编辑于星期三：七点 十七分。14/21图图5.18第13页/共21页第十四页，编辑于星期三：七点 十七分。定理定理4.3 (极值的充分条件极值的充分条件)证证第14页/共21页第十五页，编辑于星期三：七点 十七分。16/21 第15页/共21页第十六页，编辑于星期三：七点 十七分。;极小值第16页/共21页第十七页，编辑于星期三：七点 十七分。第17页/共21页第十八页，编辑于星期三：七点 十七分。19/21 求二元函数解解 由第18页/共21页第十九页，编辑于星期三：七点 十七分。 求函数解解 由第19页/共21页第二