高等数学同济大学常数项级数的审敛法一学习教案

1、会计学1高等数学同济大学常数项级数的审敛法一高等数学同济大学常数项级数的审敛法一第一页，编辑于星期三：七点 四十四分。若定理定理 1. 正项级数收敛部分和部分和序列有界有界 .若收敛 , 部分和数列有界, 故从而又已知故有界.则称为正项级数正项级数 .单调递增, 收敛 , 也收敛.证证: “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页第二页，编辑于星期三：七点 四十四分。证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu , 即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvunvvv 21 小发大发小发大发 大收

2、小收大收小收机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第三页，编辑于星期三：七点 四十四分。nns 则则)()2( nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页第四页，编辑于星期三：七点 四十四分。解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页第五页，编辑于星

3、期三：七点 四十四分。 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页第六页，编辑于星期三：七点 四十四分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数小发则大发小发则大发第6页/共24页第七页，编辑于星期三：七点 四十四分。定理定理3.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1nnu与与

4、1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时, , 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页第八页，编辑于星期三：七点 四十四分。证明证明lvunnnlim由, 02 l 对于对于,N ,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推

5、论, 得证得证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共24页第九页，编辑于星期三：七点 四十四分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共24页第十页，编辑于星期三：七点 四十四分。的敛散性. 的敛散性 .解解: 根据比较审敛法的极限形式知例例4. 判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共24页第十一页，编辑于星期三：七点 四十四分。解解nnnn3131lim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页第十二页，编辑于星期三：七点 四十四分。设设

6、 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .证明证明,为有限数时为有限数时当当 , 0 对对,N ,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共24页第十三页，编辑于星期三：七点 四十四分。,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnnmmNuu收敛收敛, 1 取取, 1 r使使,时

7、时当当Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu发散发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十四页，编辑于星期三：七点 四十四分。比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 两点注意两点注意:,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页第十五页，编辑于星期三：七点 四十四分。,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不

8、存在nnnnnauu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页第十六页，编辑于星期三：七点 四十四分。的敛散性 .解解: 根据定理4可知:级数收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共24页第十七页，编辑于星期三：七点 四十四分。解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn第17页/共24页第十八页，编辑于星期三：七点 四十四分。),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1

9、 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn第18页/共24页第十九页，编辑于星期三：七点 四十四分。对任意给定的正数 设 为正项级则证明提示证明提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页第二十页，编辑于星期三：七点 四十四分。时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共24页第二十一页，编辑于星期三：七点 四十四分。收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解解: : 由定理5可知该级数收敛 . 令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共24页第二十二页，编辑于星期三：七点 四十四分。1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限