函数的微分PPT课件

1、2021-12-51二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分函数的微分 第二章第二章 作业P120 3 4 7 8 9 102021-12-52已知已知01sin30,2问问0sin29?记记0030/6,x0sin(),xx0sin x00sin()sin?yxxx 已知已知求求转化为求转化为求01/180 x 现在考虑另一问题现在考虑另一问题: 函数增量的函数增量的近似值等于多少近似值等于多少? 即即 00()()?yf xxf x 目录 上页

2、 下页 返回 一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积增大了多少正方形金属薄片受热后面积增大了多少? ?20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 05 5. 函数的微分函数的微分;变变化化的的主主流流随随反反映映xA ).0()(xxo 再例如再例如,.,03yyxxxy 增量增量求函数的

3、求函数的时时处的增量为处的增量为在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当x xxy 203),()2(xox 的的高高阶阶无无穷穷小小是是 几乎反映几乎反映y y随随x x变化的全过程变化的全过程 既容易计算又具有较高的精度既容易计算又具有较高的精度两个引例的共同点：两个引例的共同点：)( xoxAy) 1 ()2(无关的常数。是与的线性函数，且是xxA) 1 (的高阶无穷小。是 x)2(xAyx.)3(很小时，当问题问题: : 是否所有函数的改变量都含有是否所有函数的改变量都含有这种关于这种关于x的线性函数的线性函数( (

4、改变量的主改变量的主要部分要部分)? )? 它是什么它是什么? ? 如何求如何求? ?二、微分的定义二、微分的定义定义定义)2(,)(,)(00 xAdydyxxxfyxAxxfy 即即记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称则称.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数,)(00 xxxxfy ) 1 ()()()(00 xoxAxfxxfy ),(无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立xA 注：

5、注：由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的增增量量xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy );0(,0)3( xydyA时时当当dyy 1A x o xo xA xA x ).0(1 x.)(,)5(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA );(,1)4(线线性性主主部部时时当当dyyx 即即用微分近似增量用微分近似增量. .)()()(00 xoxAxfxxfy 微分微分xAdy 可微可微:三、可微的条件三、可微的条件,即可微性与可导性的关系即可微性与可导性的关系).(,)(000 xfAxxxf 且且有有关关系系

6、式式可可导导在在点点可可微微在在点点函函数数定理定理证证 (1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点 xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数问题问题: :函数满足什么条件才可微函数满足什么条件才可微? 如何求微分如何求微分?(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x ),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数)3()(

7、,0 xxf d dy y，可可微微可可导导且且有有关关系系式式性性等等价价性性与与对对一一元元函函数数而而言言综综上上所所述述)4()(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作称称为为函函数数的的微微分分的的微微分分在在任任意意点点函函数数.)(成成立立特特别别地地xxf ,)()4(恒恒成成立立可可导导函函数数式式对对xfy :成成立立即即有有下下式式xdy 1x )(xddx是是一一码码事事即即自自变变量量的的增增量量与与微微分分:)5(, 0dxxdx式式两两端端同同除除 )5()()4(dxxfdy .)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫

8、该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy例例1 求函数求函数解解02. 0, 2 3 xxxy当当 yd 又又.32xx yd.24. 0 时的增量和微分时的增量和微分.)()(xfxxfy y 33)(xxx 由此可见当由此可见当 很小时很小时,xyyd ,)()(33322xxxxx )()(33(322xxxxx .242408. 0 xx )(302. 02 xx02. 02 xxxx 2302. 02 xx02. 02 xxxyoMNf (x)dy x )(0 xf )(dxoyy xyx0lim tan 很很小小时时当当

9、x )()(xxfxf xxf )(00 xxx 0)(0 xf)( xo .dydy =tan x四、微分四、微分的几何意义的几何意义 y即：即： yxxfxf )()(切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量.,1MNMx段段切切线线段段可可近近似似代代替替曲曲线线的的附附近近在在点点时时当当 xyody x )(dxoyy 很很小小时时当当 x 0 xxx 0)(0 xf)( xo dy y y微分的几何意义dy ydy.问题：何时问题：何时dy y ?五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数

10、的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud a

11、rc;)(,)1(duufdyu 是自变量时是自变量时若若 则则可微函数可微函数即即是中间变量时是中间变量时若若,)(, )(),(,)2(xfyxuufyu 满满足足在在相相应应点点处处的的微微分分可可导导设设函函数数dyyufy,)( dxxufdy )()( ,)(dudxx 由于由于.)(duufdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,ufyu 这一性质叫做这一性质叫做“一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性”duufdy)( 3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则(一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性).与与

12、定定义义式式一一样样解解 (方法方法1)的微分。的微分。求函数求函数 21lnxey后后，出出导导数数用用复复合合函函数数导导数数法法则则求求y 2e11xy xyydd 例例22ex,2xxxexxd2e1122 xd再再乘乘以以,lnuy ,e1 vu 而而211dxey )1(d2xe 211xe)(d2xxxeexxd21122 .d1222xeexxx 2xe,2xv 利用微分形式不变性利用微分形式不变性(方法方法2)23ln1xyxy22yxxyx21123022dxdyxdxy dyxy23(14)(1 6)yxdydxxy 2 ln2 lnyxxyeex2222(2ln)(2l

13、n)yxyxxxdydxyydxdydxxy2122211 22ln2ln2yxyxyxyydydxxxxy2 ln2 ln()()yxxyd ed edx231(lnln )12xyxy计算由下列方程确定的函数计算由下列方程确定的函数 的微分的微分解解1): 先将方程变形为 两边求微分得 整理得1)解解2): 将方程化为 整理得 注注:不能在两边同时取对数,但可以分别计算2()yd x)(2xyd2)例3例例4设设(arctan),yfxyx 求求.dydx解解 (方法方法1)()(arctanxydxyfd xdyydxxydxyf )(arctan)(arctan21()()1()yyf

14、arctandydxxdyyxxx利利用用一一阶阶微微分分形形式式不不变变性性()令令，则则(arctan)yffx ,)(可微可微xfxdyydxxydxxdyxyf )()(1122xdyydxydxxdyyxf )(122dxyxfyydyxyxfx)()(2222 .)(2222yxfyxfxydxdy 解解 (方法方法2) (隐函数求导法隐函数求导法)(arctan)()yfxyx (arctan) (arctan)yyfyxyxx 21()1()yfyxyyxx 2211()xyyfyxyyxx .)(2222yxfyxfxydxdy 例例5 5解解.),1(arctan)2(),

15、()1(2dyxfyxxy求求设设 )()()1(22xxdxxdy dxxxxxxddxxx )(2()()()(222 )1(arctan)1(arctan)2(xdxfdy )1(111)1(arctan2xdxxf dxxxfdxxxxxf22221)1(arctan11)1(arctan 基于一阶微分形式不变性，求微分时无须指明对哪一变量进行基于一阶微分形式不变性，求微分时无须指明对哪一变量进行,Esp 对复合函数只需一次一次地求，直至不能求对复合函数只需一次一次地求，直至不能求(自变量自变量)为止为止.导数不具有此性质，求导时总要指明对哪一变量进行的！导数不具有此性质，求导时总要指

16、明对哪一变量进行的！.),(, 2)1(, 1)1()3(123 xdFxffFff求求且且若若1222212)()()(3 xxdxxxfxffxffdFdxdxfffdxfffff242)1()1()1(32)1()1()1(322 例例6 设设,0)cos(sin yxxy求求 .dy解解 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin(d yxxyxxyyxdcosdsin )sin(yx 0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxy xyxsin)sin( 由此解得由此解得利用一阶微分形式利用一阶微分形式不变性求隐函数的不变性求隐函数的微分是好

17、方法微分是好方法.dsind2xxx 求求例例7解解可看作两函数可看作两函数式子式子2dsindxxx 原式原式 xxxxxddsin2 xxxxx2sincos2 32sincosxxxx ,sin2的的微微分分之之商商与与xxx三、三、 微分的应用微分的应用)()(0 xoxxfy 当当x 很小时很小时,)()(00 xfxxfy xxf )(0 xxfxfxxf )()()(000 xxx 0令令使用使用原则原则:;)(, )()100好算好算xfxf .)20靠近靠近与与xx)()()(000 xxxfxfxf 得近似等式得近似等式:1. 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用特

18、别当特别当xx,00 很小时很小时,xffxf)0()0()( 常用近似公式常用近似公式:x 1 )1()1(x很小很小)x(xxxx 1 xsin)2( xe)3( xtan)4( )1ln()5(x证证令令 )1()(xxf 得得,1)0( f )0(f,很小时很小时当当 xxx 1)1(180d x29sin的近似值的近似值 .解解 设设,sin)(xxf 取取300 x,6 29 x则则 18029 18029sin 4848. 029sin0 6sin 6cos 21 23 )0175. 0( 485. 0 )180( 例例9 求求29sin5245的近似值的近似值 .解解24335

19、 524551)2243( 51)24321(3 3 )2432511( 0048. 3 例例10 计算计算xx 1)1(2.误差估计误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：.,的绝对误差的绝对误差叫做叫做那末那末为为它的近似值它的近似值如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为aaAaA .的相对误差的相对误

20、差叫做叫做的比值的比值而绝对误差与而绝对误差与aaaAa 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .,的相对误差限的相对误差限叫做测量叫做测量而而的绝对误差限的绝对误差限叫做测量叫做测量那末那末即即又知道它的误差不超过又知道它的误差不超过测得它的近似值是测得它的近似值是如果某个量的精度值是如果某个量的精度值是AaAaAaAAAAA 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例1 11 1.,005. 041. 2误

21、差误差并估计绝对误差与相对并估计绝对误差与相对求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解则则面积为面积为设正方形边长为设正方形边长为,yx.2xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 边长的绝对误差为边长的绝对误差为005. 082. 4 y 面积的绝对误差为面积的绝对误差为).(0241. 02m yy 面积的相对误差为面积的相对误差为8081. 50241. 0 %.4 . 0 小小 结结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增

22、量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 dxxfdy)( 导数与微分的区别导数与微分的区别:.)(),()(. 100000的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数xxxxxfdyxfxxf .)(,()()()(,)(,()()(,. 20000000的纵坐标增量的纵坐标增量切线切线处的处的在点在点是曲线是曲线而微分而微分

23、处切线的斜率处切线的斜率点点在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看xfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。程度，即：函数的变化率。 微分指明微分指明, , 当自变量有微小变化时，函数大体上当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。改变了多少。近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,1时时当当 x,00时时当当 x 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的

24、可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？ 思考题思考题思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 一、一、填空题：填空题： 1 1、 已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为0.20.2，对应的函

25、数增量的线性全部是，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8=0.8，那么，那么自变量自变量x的始值为的始值为_._. 2 2、 微分的几何意义是微分的几何意义是_._. 3 3、 若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时， dyy 是关于是关于x 的的_无穷小无穷小. . 4 4、 xdxd sin_ . . 5 5、 dxedx2_ . . 6 6、 xdxd3sec_2 . . 7 7、 xexy22 , ,_22dxdedyx . . 8 8、 _)2(arctan2 xeddxdex_ . . 练练 习习 题题二、二、求下列函数的微分：求下列函数的微分： 1 1、

26、12 xxy； 2 2、 2)1ln(xy ； 3 3、 21arcsinxy ； 4 4、2211arctanxxy ； 5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy； 6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所确定的所确定的 y微分微分. . 一、一、1 1、- -2 2； 2 2、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量； 3 3、高阶；、高阶； 4 4、Cx cos1； 5 5、Cex 221； 6 6、Cx 3tan31； 7 7、xex22,； 8 8、xxxxeeee424222,222 . . 二、二、1 1、dxx232)1( ； 2 2、dxxx1)1ln(2 ； 练习题答案练习题答案3 3、 10 ,101,122xxdxxxdxdy；4 4、dxxx412 ；5 5、dx3；6 6、dxxy. .一、一、填空题：填空题： 1 1、 利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 计算计算)(xf时，要求时，要求_很小很小. . 2 2、 当当0 x时 ， 由 公 式时 ， 由 公 式dyy 可 近 似 计 算可 近 似 计 算_)1ln( x； _tan x，由此得，由此得_45tan ；_002. 1ln . . 二二、 利利用用