二阶线性微分方程解的结构PPT课件

1、二阶线性微分方程解的结构 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第十二章 一、概念的引入一、概念的引入例例: :设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解解: : 受力分析受力分析弹性恢复力弹性恢复力. 1阻力阻力. 2xxo,maF ,22dtdxcxdtxdm ;

2、cxf ;dtdxR 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若受到铅直干扰力若受到铅直干扰力pthxkdtdxndtxdsin2222 强迫振动的微分方程强迫振动的微分方程,2mck ,2mn 令令，令令mhH ,22dtdxcxdtxdm . 022 cxdtdxdtxdm 即即上式化为上式化为tLCEudtdudtudmccc sin22022 串联电路的振荡方程串联电路的振荡方程LERKCqqi称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程.)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf称为二阶线性称为二阶线

3、性齐次齐次微分方程微分方程.时，时，当当0)( xf称为二阶线性称为二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程.n阶线性微分方程：阶线性微分方程：).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶线性齐次方程的通解结构二阶线性齐次方程的通解结构: :)1(0)()( yxQyxPy的线性组合的线性组合称为称为21, yy问题问题: :的的形形式式吗吗？表表示示为为的的所所有有解解都都可可以以二二阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程2211yCyC 证明：证明：(1) 0)()(111 yxQyxPy(2) 0)()(22

4、2 yxQyxPy，得，得21)2(1)CC 0)( )( )()(221122112211 yCyCxQyCyCxPyCyC.2211也也是是方方程程的的解解yCyC 特别地特别地: :.)()( )()( 2121之之比比为为（非非）常常数数与与上上充充要要条条件件是是在在上上线线性性相相（无无）关关的的在在与与两两个个函函数数xyxyIIxyxy例如例如, 0 yy. sin,cos21是其解是其解xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos 21xCxCy 通解通解即二阶线性齐次方程的通解等于其两个线性即二阶线性齐次方程的通解等于其两个线性无关的特解的线性组合无关的特解的线

5、性组合. .2.2.二阶线性非齐次微分方程的通解结构二阶线性非齐次微分方程的通解结构: :证明思路：证明思路：.* )1(是是非非齐齐次次方方程程的的解解yY . * )2(的的形形式式都都可可表表示示为为非非齐齐次次方方程程的的任任一一个个解解yYy 即二阶线性非齐次方程的通解等于对应齐次即二阶线性非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与原非齐次方程的一个特解之和方程的通解与原非齐次方程的一个特解之和.2*)1()2()2()()()(* 3 ）的的通通解解微微分分方方程程（是是二二阶阶线线性性非非齐齐次次的的通通解解，那那么么对对应应的的齐齐次次方方程程是是与与的的一一个个特特解解，方方程

6、程是是二二阶阶线线性性非非齐齐次次微微分分设设定定理理yYYxfyxQyxPyy 证证(1)：(2) )(*)()*( )()*(xfyxQyxPy (1) 0)()( YxQYxPY.*)2(1)是是非非齐齐次次方方程程的的解解即即得得yY 证证(2)：(1) )()()(xfyxQyxPy ,*)2(1)Yyy是是对对应应齐齐次次方方程程的的解解即即得得 (2) )(*)()*( )()*(xfyxQyxPy .*的的形形式式都都可可表表示示为为程程的的任任一一个个解解所所以以二二阶阶线线性性非非齐齐次次方方yYy 解，则解，则是非齐次方程的任一个是非齐次方程的任一个设设 y求二阶线性非齐

7、次方程的通解步骤求二阶线性非齐次方程的通解步骤: :(1) 求对应齐次方程的通解；求对应齐次方程的通解；(2) 求非齐次方程的一个特解；求非齐次方程的一个特解；(3) 相加即得非齐次方程的通解。相加即得非齐次方程的通解。定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .解的叠加原理解的叠加原理要点要点:二阶线性微分方程解的结构 第七节二阶线性微分方程二阶线性微分方程:)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当0)( xf称为二阶线性称为二阶线性齐次齐次微分方程微分方程. .时，时，当当0)( xf称为二阶线性称为二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程. .二阶线性齐次微分方程的通解结构二阶线性齐次微分方程的通解结构:二阶线性齐次方程的通解等于其两个线性无关二阶线性齐次方程的通解等于其两个线性无关的特解的线性组