巩固练习空间向量在立体几何中的应用二——夹角的计算

1、空间向量在立体几何中的应用夹角的计算【稳固练习】一一、选择题1. 设平面内两个向量的坐标分别为 的法向量的是2. 如图体，,Bcd A1B1C1D1 是正方 1，151),( -1 , 1 , 2),那么以下向量中是平面BCA 901,贝U BD1B.) =D .F.11 1 11 1 1 1 ,4与AF1所成角的余弦值是(A30110B.23015C.D.15103.如图，A1B1C1 ABC是直三棱柱,D .2 或 2555.在三棱P ABC 中，AB BC1AB=BC= PA锥72与平PBC所成角的正弦)面值2183AB634.假设向量a (1 , ? 2) 与 b (2, 1 , 2)

2、的夹角的余弦8，那么 值为9B.2C.2 或 525点0、D分别是AC、PC的中点，OP丄底面ABC , OD 那么直线210210c.D60306.在正四面体 ABCD中, E是棱AD的中点，贝2A=30 °Bsin3CE与面BCD所成角满足C =60 °D cos7.在三棱锥 P ABC 中，AB BC ,与平面PBC所成角的正弦值是 21 8 3 A .B .63二、填空题_5日術 CCH B另才 -Levrp XBF、 AADC 1P A2$底宜万pre-PKBOAC.21060D.210308 假设平面 的一个法向量为n 3 , 3，直线I的一个方向向量为b= 1

3、 , 1 , 1，那么I与 所成角的 0余弦值为ODI求DP与C1C所成角的大小;9 正方体 ABCD A 1B1C1D1中，E、F分别为 AB、CCi的中点，那么异面直线 EF与AC 所成角的大小是10. 三棱锥S ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC , SA =3，那么直 线AB与平面SBC所成角的正弦值为.11. 如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形，AB AE,FA FE, AEF 45 ，那么平面BDF和平面ABD的夹角余弦值是三、解答题12.如图，点P在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角

4、线 DiB上，/ PDA2 , BD3，如聲，四棱锥与平面BCDCd垂底面ABCD是菱形，其对角线ACU求DP与平面A1 ADD1所成角的大小AE 1 , CF 2 ,求平面 ABF与平面 ADF的夹角大小14.如图(1)，在 Rt ABC 中，/ C = 90 ° , BC = 3, AC = 6, D, E 分别是 AC , AB 上的点， II BC , 将厶ADE沿DE折起到 Ai DE的位置，使 AiC CD，如图(2).(1)求证：AiC丄平面BCDE ; 假设M是AiD的中点，求CM与平面AiBE所成角的大小； 线段BC上是否存在点P，使平面AiDP与平面AiBE垂直？

5、说明理由.DE DE = 2,3EBi.i5.如图，直三棱柱 ABC AiBiCi中，AC BC , AAi AB , D为BBi的中点，E为ABi上的一点，AE(I )证明：DE为异面直线ABi与CD的公垂线;n )设异面直线ABi与CD的夹角为45 °,求平面AAiCi与平面ABiCi的夹角的余弦值.【答案与解析】1. 【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.排除A , C ,选项为B.2. 【答案】A【解析】设正方体的棱长为i，以D为原点建立如下图的空间直角坐标系D-xyz，那么3i B(1,1,0), E i (i, ,i),

6、D(0,0,0), F i(0, ,i).44 uuur 3 i 所以，BEi (1, ,1) (1,1,0) (0, ,1),44uuu1(0,设AB a，贝U4,1)1),0) (0, 1 ,1)ur(0,0ADFuuu17uuu17r7ur4BE1DF1uuuruuu14 14) 1BE1urDF1所以,uuurcosuuuruuuur BE 1uuuurDF1 uuur1BE1, DF1uuu'ur BE1 DF11516174456 V15因此，BE1与DF1所成的角的余弦值是11753.答案】A【解析】如下图，以C为原点建立的空间直角坐标系，11 1由中点公式可D1， 2

7、， F1， 0，知，1uuuur1 11BD1 12, 12, 112 J，1解析】由agb= a b cos a ，b可得，551084 0，即2 55 2答案】 【解析】255Q OP平面ABC，OAABBC，OA以OC， OB，OA OP，OP.4.答案】那么 A 1,0,0 ,B 0,1,0 ,C1 0,0,1 ,A 1 1,0,1 ,B 1 0,1,1 ,O为原xyz如图142 2 2 14 A 2 a,0,0 ,B 0, 2 a,0 ,C 2 a,0,0 P 0'0 2 .,D 42 a,0, 4 auuurAFuuuurcos BD 13010可求得平面向量uuur r

8、cosOD,nPBC的法n 1,1, 17uuur r OD n uuur r OD n21030设OD与平面为，nPBC所成的角uuur r cosOD,n21030OD与平面32021PBC所成角的余弦值为F心/ Iuuur所以2cos CE, n26 2 353212 66【答案】B解析以 BCD的中心O为原点，OC、 OA分别x轴、z轴，平面BCD内垂直于OC的直线为y轴建立间直角为空坐标系，设正四面体的棱1 ,那么长为C 3 ,0,0,A0,0, 3631 3 ,1,0，所以 E3 16, :33艇12 46uuur 所531 6以CE12,6,平面BCD的一个法向量 n =(0,

9、0,1)为124uuur r cos即 sinCE,n7.【答案】DQ OPOA平面 ABC , OA OC ,AB BC , OB , OA OP , OB OP.解析】以O为原点，射线 OP为非负z轴，建立空问直角 xyz如图坐标系 O 设 AB a，贝U A 22 a,0,0 ,B 0, 22a,0 ,C 22 a,0,0 .设 OP h，贝U P 0,0,h .Q PA 2a,uuu42a,0,14a4OD可求得平面PBC的法向量rn 1,1, 1 ,uuur r cosOD,nuuurODnuuur rOD nPBC所成的21030设OD与平面角为uuur r cos贝U sinOD

10、, n21030解析】由cos n,b8.【答案】(3,3,0) (1,1,)6，知l与31药V.39.【答案】30所成角的余弦6解析】 以A为原点建立直角坐标系如图，设 B 2，0，0，所示那么 E 1，0，0,F (2 , 2 ,1),C1 (2, 2 , 2),A 1 ( 0 ,uuuuuuurr (1,2,1)，A1C1 (2,2,0),EFuuur uuuur二 cos uuurEF A1C1 uuur u1uu 'ur(1,2,1) (2,2,0)3uuuur|EF | IA1C1 |6222uuur uuuurcos EF , A 1C1 30BC 丄 AF , AF 丄

11、 SE，二 AF 丄面 SBC ,I / ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长 3,3 AF=AE 3 , AS=3，二 SE=2 3 ,2 ,sin ABF11.【答案】3 1111【解析】因为 ABE为等腰直角三角形，AB=AE ,所以AE丄AB.又因为平面 ABEF丄平面 ABCD , AE平面 ABEF ,平面 ABEF A 平面 ABCD=AB ,所以 AE丄平面 ABCD.所以AE丄AD.因此，AD，AB， AE两两垂直，以A为坐标原点0建立，如下图的直角坐标系 0 ).设 AB=1，那么 b(因为FA=FE ,从而，F(0,0 , 1 , Z AEF0)，D (1，0

12、，0)，所以afe=90 °451,1).22所以，urur设平面bdf的一个法向量为m，并设m =( x，-A-xyz.uuur uuur 3 1BD=1 , 1 ,0 ,BF= 0 ,Ar uuur n gBD由由 r uuur0,x y 0,uuurAE= 00/b1j得0.311 ，n gBF22y z 0.£uuv/取 y=1 ,x=1 ,z=3从而帀 n1(1, 1,A7厶6从'而设平面BDF和平面ABD的由AE丄平面 ABCD可知，平面 ABD的一个法向量为 夹角为，那么cosur uuur cos n1 AE0 0 3= 3 1111 = 1112.

13、 【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系 D xyz，设DA为单位长，那么由条件知< ,> =60由 =1 II Icosv ,> ,可得2m =解得m =I因为 cos< ,连结 BD , BiDi,在平面 BB 1D iD内，延长 DP，交 BiDi于点 H,的一个法向量所以<，>=U因为平 面，即DP与CCi所成的角的大小是45又 cos< ,>=,所以 <, >=.即DP与平面AiADDi所成角的大小为60 °注意：由于点P在正方体ABCD -AiBiCiD i的对角线DiB上且/ PDA=60。，直接设点P的坐标那么会 出现多个 变量，因为所求的两问都是求与 DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，.所此出现上面解法.显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论 证的要求并没有降低，表达了对学生全面的几何方法的考查.i3.【解析】如图，以 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系那么由令，得J2得同理，可求得平面ADF的法向量因为，所以平面ABF与平面ADF垂直 所以平面ABF与平面ADF的夹