高数总复习下学习教案

1、会计学1高数总复习下高数总复习下第一页，编辑于星期三：七点 二十四分。Leibniz判别法判别法: 若,01nnuu且,0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛 ,且余项.1nnur1nnu绝对收敛的判别 利用正项级数审敛法2、求幂级数收敛域的方法、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .第1页/共101页第二页，编辑于星期三：七点 二十四分。(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数性质及已知展开式的函数 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx

2、1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn2、函数展开成幂级数、函数展开成幂级数! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77x),(x求导第2页/共101页第三页，编辑于星期三：七点 二十四分。mx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x) 1, 1(xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnn),(x) 11(1112xxxxxnxx 第3页/共101页第四页，编辑于星期三：七点 二十四分。 求部分和式极限求和 映射变

3、换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0第4页/共101页第五页，编辑于星期三：七点 二十四分。主要考点：主要考点：1、概念和意义：数量积、向量积、混合积、概念和意义：数量积、向量积、混合积2、求平面方程、直线方程、线和面关系、求平面方程、直线方程、线和面关系3、空间曲线方程、切线方程、法平面方程、空间曲线方程、切线方程、法平面方程4、旋转曲面方程、旋转曲面方程 第5页/共101页第六页，编辑于星期三：七点 二十四分。1.

4、 数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积ab|cosxxyyzza ba ba ba ba b 0prj|aabba aba b （右手法则）sina ba bS ba bac() a ba bcca bVa b 坐标公式P18第6页/共101页第七页，编辑于星期三：七点 二十四分。一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm2、求平面方程、直线方程、线和面关系求平面方程、直线方程、线和面关系第7页/共101页第八页，编辑于星期三：七点 二十四分。,1111111pzznyymxxL：直线021

5、2121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss 第8页/共101页第九页，编辑于星期三：七点 二十四分。, 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L第9页/共101页第十页，编辑于星期三：七点 二十四分。1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式013131

6、3121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc3、空间曲线方程、切线方程、法平面方程空间曲线方程、切线方程、法平面方程第10页/共101页第十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 第11页/共101页第十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 空间曲面三元方程0),(zyxF

7、球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .4、旋转曲面方程旋转曲面方程（了解） 第12页/共101页第十三页，编辑于星期三：七点 二十四分。三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax第13页/共101页第十四页，编辑于

8、星期三：七点 二十四分。复习复习 7、多元函数的微分、多元函数的微分主要考点：主要考点：1、二元函数极限的概念、主要求法；、二元函数极限的概念、主要求法；2、复合、隐含、高阶等多元函数（组）的偏导、全微；、复合、隐含、高阶等多元函数（组）的偏导、全微；3、空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线；、空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线；4、梯度、方向导数；、梯度、方向导数；5、多元函数极值、条件最值、多元函数极值、条件最值 ；第14页/共101页第十五页，编辑于星期三：七点 二十四分。APfPP)(lim0,0 ,0 时，当00 PP有)( APf2. 多元函数的连续性1) 函数连续在

9、0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续1、二元函数极限的概念、主要求法；二元函数极限的概念、主要求法；第15页/共101页第十六页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d2、复合、隐含、高阶等多元函数（组）的偏导、

10、全微分复合、隐含、高阶等多元函数（组）的偏导、全微分第16页/共101页第十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 隐函数( 组) 存在定理（了解）2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式2. 隐函数的偏导数第17页/共101页第十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(

11、000tttT3、空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线空间曲线的切线、法平面和曲面的切平面、法线第18页/共101页第十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT第19页/共101页第二十页，编辑于星期三：七点 二十四分。空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方

12、程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第20页/共101页第二十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1co

13、s,1cos2222yxyyxxffffff法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn第21页/共101页第二十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin4、梯度、方向导数；梯度、方向导数；第22页/共101页第二十三页，编辑于星期三：七点 二十四分。2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP

14、处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.第23页/共101页第二十四页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 ., ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数5、多元函数极值、条件极值、最值多元函数极值、条件极值、最值定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).),(),(00yx

15、fyxf),(),(00yxfyxf或),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有2. 极值求解极值求解第24页/共101页第二十五页，编辑于星期三：七点 二十四分。时, 具有极值假设以上方程组的解 满足 令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC00(,)xy第25页/共101页第二十六页，编辑于星期三：七点 二十四分。2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法(

16、2) 一般问题用拉格朗日乘数法方法方法(1) 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz第26页/共101页第二十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.第27页/共101页第

17、二十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。主要考点：主要考点：1、二重积分的直角、极坐标下的计算、交、二重积分的直角、极坐标下的计算、交 换积分次序；换积分次序；2、三重积分的直角、柱坐标、球坐标下的、三重积分的直角、柱坐标、球坐标下的 计算；计算；3、立体体积、曲面面积、重心坐标、立体体积、曲面面积、重心坐标第28页/共101页第二十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyx

18、dycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD1、二重积分的直角、极坐标下的计算二重积分的直角、极坐标下的计算第29页/共101页第三十页，编辑于星期三：七点 二十四分。)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(JddrrDo)(1r)(2r在变换下第30页/共101

19、页第三十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性第31页/共101页第三十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成 ;2、三重积分的直角、柱坐标、球坐标下的三重积分的直角、柱坐标、球坐标下的 计算；计算；第32页/共101页第三十三页，编辑于星期三：七点 二十四分

20、。 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd3、立体体积、曲面面积、重心坐标立体体积、曲面面积、重心坐标第33页/共101页第三十四页，编辑于星期三：七点 二十四分。MAdzdnxyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd第34页/共101页第三

21、十五页，编辑于星期三：七点 二十四分。故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即第35页/共101页第三十六页，编辑于星期三：七点 二十四分。xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd第36页/共101页第三十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。zyxzyxzyxzy

22、xxxddd),(ddd),(3、重心坐标、重心坐标zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(第37页/共101页第三十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd第38页/共101页第三十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。主要考点：主要考点：1、第一类、第二类曲线积分、第一类、第二类曲线积分2、格林公式、曲线积分路径无关、原函数、格林公式、曲线积分路径无关、原函数3、第一类、第二类曲面积分、第一类、第二类曲面积分第39页/

23、共101页第四十页，编辑于星期三：七点 二十四分。 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf第40页/共101页第四十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQx

24、yxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!2. 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）第41页/共101页第四十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(第42页/共101页第四十三页，编辑于星期三：七点 二十四分。1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在 D 内

25、与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有2、格林公式、曲线积分路径无关、原函数格林公式、曲线积分路径无关、原函数第43页/共101页第四十四页，编辑于星期三：七点 二十四分。yx若在某区域内,xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),

26、(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;第44页/共101页第四十五页，编辑于星期三：七点 二十四分。oxyz设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122则曲面积分yxD),(kkkyxk)( 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 第45页/共101页第四十六页，

27、编辑于星期三：七点 二十四分。定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 3、对坐标的曲面积分的计算法、对坐标的曲面积分的计算法 第46页/共101页第四十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 第47页/共

28、101页第四十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化第48页/共101页第四十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。yxDyxyxzz),( , ),(:时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yoz 面及 zox

29、 面上的二重积分转化公式 .第49页/共101页第五十页，编辑于星期三：七点 二十四分。主要考点：主要考点：1、可分离变量、齐次方程、可分离变量、齐次方程 、全微分方程、全微分方程、 一阶线性方程一阶线性方程 ； 2、可降阶高阶方程；、可降阶高阶方程；3、高阶线性方程解的结构；、高阶线性方程解的结构；4、常系数线性微分方程；、常系数线性微分方程；第50页/共101页第五十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。1、可分离变量、齐次方程可分离变量、齐次方程 、全微分方程、全微分方程、 一阶线性方程一阶线性方程1、可分离变量1122( )( )( )( )0f x g y dxfx gx dy解法要点

30、与通项表达式分离变量，两边同除 ，再分别积分方程类型12( )( )g y fx1221( )( )( )( )f xgxdxdyCfxg y2、齐次方程dyyFdxx令yux，即yuxu，代入原方程得新函数 u 关于 x 的方程 ( )xduF uu dx再按照1的方法分离变量lnln , ( )duyxcuF uux第51页/共101页第五十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。3、一阶线性方程( )( )yp x yq x当( )0,q x 称为齐次线性方程当( )0,q x 称非齐次线性方程先求出对应齐次方程( )0yp x y的通解( )p x dxyCe再利用常数变易法( )( )p

31、 x dxyC x e代入原非齐次方程，可得( )( )( )p x dxp x dxyeq x edxc4、伯努利方程( )( )nyp x yq x y0,1n 两边同除1 nzy，令ny，代入原方程得新函数 z 关于 x 的方程 (1) ( )(1) ( )zn p x zn q x再利用3求解；(1)( )(1)( )(1) ( )np x dxnp x dxzen q x edxc第52页/共101页第五十三页，编辑于星期三：七点 二十四分。5、全微分（恰当）方程( , )( , )0M x y dxN x y dy式中满足MNyx方程可写为( , )( , )d ( , )0M x

32、 y dxN x y dyu x y即求原函数( , )u x y000( , )( , )(, )xyxyu x yM x y dxM xy dy6、含积分因子的方程( , )( , )0M x y dxN x y dy式中MNyx但MNyx称为原方程的积分因子( , )x y找出积分因子，再按照5求解第53页/共101页第五十四页，编辑于星期三：七点 二十四分。2、可降阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则第54页/共101页第五十五页，编辑于星期三：七点 二十四分

33、。)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn3、高阶线性微分方程 对应的n 阶齐次线性微分方程为( )(1)(2)12( )( )( )0nnnnya x yax yax y112233( )nny xC yC yC yC y解得常数变易法112233*( )( )( )( )( )nnyxC x yCx yC x yCx y代入解得*( )yyyx第55页/共101页第五十六页，编辑于星期三：七点 二十四分。1、二阶非齐次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: )()(2211xyCxyCy的特解为 )()(21xyxyy1( )C

34、x2( )Cx 由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:11220y Cy C1122( )y Cy Cf x第56页/共101页第五十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。故系数行列式02121yyyyW,21线性无关因yy122111( ),( )C xy fCxy fWW 于是得 情形情形2.).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(111(一阶线性方程)第57页/共101页第五十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1)

35、 当时, 通解为xrxreCeCy212121rr (2) 当时, 通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .4、常系数齐次线性微分方程 第58页/共101页第五十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar代入 ， 解得 xrey 因式分解203() () ()()0kmprrrprqrrrr其中 是实数，而 是复数03, ,prrr1 2ri、得 k 个线性无关解0112()r xkkCC xC x

36、e第59页/共101页第六十页，编辑于星期三：七点 二十四分。若特征方程含 m 重复根,ir112()cosxmmeCC xC xx112()sinmmDD xD xxm个线性无关解),(均为任意常数以上iiDC203() () ()()0kmprrrprqrrrr原方程的通解形式为031121112123()+()cos()sin pr xkkxmmkkr xr xpyAA xA xeeBB xB xxCC xC xxD eD e第60页/共101页第六十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设

37、特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.5、常系数非齐次线性微分方程 第61页/共101页第六十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。222xzy1.求曲面 在点（2, -1, 1）处的切平面方程。思路：1）曲面的法向量( , , )0F x y z (,)xyznF F F2）平面方程（点法线形式）000()()()0 xyzxx Fyy FzzF思考： 证明曲面 上任一点的切平 面在三个坐标轴上的截距之和为一常数。,

38、0 xyza a第62页/共101页第六十三页，编辑于星期三：七点 二十四分。( 1,1,2)2. 一平面过点M 与z轴，求该平面方程。思路：MxyzO方法2：设平面的法向量为0AxByCzD代入条件：过z轴，即过原点(0,0,0);过z轴，即过(0,0,z);过M(-1,1,1).D = 0C = 0A = B0 xy方法1：平面的一般方程001112ijknkOM 再利用点法式，求平面方程。k第63页/共101页第六十四页，编辑于星期三：七点 二十四分。310:, :26141210.2430 xyzlxyzxyz 3. 判断以下直线l 与平面的位置关系。思路：1）平面相交的直线的方向向量

39、：l1n2n 12lnn 2）平面的法向为平面方程x,y,z 前的系数：n 310 xyz 1(1, 1,3)n 2430 xyz26141210 xyz 2n 3）判断 和 的关系：利用点积，叉积或对应系数成比例等判断。nlln第64页/共101页第六十五页，编辑于星期三：七点 二十四分。0,0,10 xyxy 4. 在平面xoy上点M, 使它到三条直线 的距离的平方和最小xyMN10 xy 00(,)xy思路：1）点到直线的距离求直线 NM, 其斜率为1tan()cot2tan 过点M的直线方程，001()tanyyxx 联立直线方程，求得交点N;2）点到三直线的距离平方和为22200dx

40、yNM3）二元函数求极值问题；第65页/共101页第六十六页，编辑于星期三：七点 二十四分。5. 求在 的极值点，并求出极大 或极小值22( , )4()f x yxyxy步骤：1）先求驻点：420420 xyfxfy 得驻点( 2,2);2）判断( 2,2)204002xxxyyxyyffff 3）20 xxf为极小值点，极小值为( 2,2) ( 2,2)?f 第66页/共101页第六十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。6. 在曲面 上求一点，使它到平面 的距离最短。2224zxy231xyzdp0p( , , )x y z(1,0,0)思路：在平面上任取一定点 ，0p和曲面上一动点 ，则

41、点 Pp到平面的距离 d 为 到平面法线上的投影。0pp0(1, 2,3) (1, , )dn ppxy z 1 23xyz 221 23 24xyxy 利用极值的判断条件.第67页/共101页第六十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。7xxyyzz思路：设矩形底为2x，高为y，等腰三角形的腰为z，则根据周长条件得 x + y + z = p（x0 ,y0,z 0）窗户面积 S : 222Sxyx zx依据条件极值：辅助函数222()Fxyx zxxyzp求方程组22222222/020/00 xyzFyzxxzxFxFxzzxxyzp(23)3(1)34(32) .3xpypzp第68页/共

42、101页第六十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。8. 交换 的积分次序。2120( , )yydyf x y dx思路：二重积分，根据积分区域可分为X型和Y型；先对x求积分再对y求积分，为Y型，交换积分次序的问题，先绘图。先对x求积分，积分上下线为x关于y的函数 1( )xf yy22( )2xfyy2yx22yx2yx22yxo2(1,1)112转换成Y型，先对y求积分，再对x求积分，该题可以分成（0，1），（1，2）两个区域求解第69页/共101页第七十页，编辑于星期三：七点 二十四分。9. 计算二重积分 ，其中D 是由直线 x=2, y=x 及曲线 xy =1 组成。2d dDxx y

43、yxyo122思路：方法一，选择采用X型积分。先对y求积分，再对x求积分： 则21221d d.xxDxxx ydxdyyy方法二，选择采用Y型积分。先对x求积分，再对y求积分： 则12221122212d d.yyDxxxx ydydxdydxyyy12第70页/共101页第七十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。10. 确定的 值（ 为整数），使曲线积分22()(sin)lxydxxy dy与路径无关，并求该曲线积分，其中l 为圆周上由 O(0,0) 到 A(1,1) 的一段弧。222xyx思路：曲线积分与路径无关的等价条件：PQyx112xy1AO沿题目的路径 l 积分较困难，因此选择容

44、易的路径如图示，先沿着x轴从（0,0）到（1,0）此时y=0 dy=0120.x dx 再从（1,0）朝y轴方向到（1,1）,此时x=1,dx=0.112001 cos2(1 sin)(1).2yy dydy 第71页/共101页第七十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。(ln(1)(2)ylxy dxxedy11. 计算从点 O(0,0) 到 点 A(1,1) ，再到点 B(0,2) 的折线段。其中l 为OAB思路：做辅助线BO,则原积分=0lBOB格林公式0DBQPdxdyxy022 1().yDdxdyedy注意：边界的走向第72页/共101页第七十三页，编辑于星期三：七点 二十四分。(

45、,)xyxzf ey12. 求 ， 具有一阶连续偏导数，求( , )f u vd . z思路：利用微分形式不变性dd ( , )dduvzf u vfufvddddxyxyxyueyexxey21ddddxxvxyyyy代入代入第73页/共101页第七十四页，编辑于星期三：七点 二十四分。13. 化三重积分 为三次积分，其中( , , )If x y z dxdydz积分区域 分别为(1) 由双曲抛物面 及平面 ， 围成；xyz10 xy 0z (2) 由曲面 及平面 围成的闭区域；22zxy1z (3) 由曲面 及平面 围成的闭区域；222zxy22zx(4) 由曲面 围成的第2222(0)

46、, 1, 0 xyczxy czab一象限的闭区域。详细解答过程，见同济习题全解指南（下习题103）。第74页/共101页第七十五页，编辑于星期三：七点 二十四分。13. 化三重积分 为三次积分，其中( , , )If x y z dxdydz积分区域 分别为思路：1.判断闭区域是哪上下两个曲面围成，zxyD),(2yxzz ),(1yxzz yxddDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd即12( , ),( , )z x y zx y2.确定投影区域，利用上下曲面的交线即12( , )( , )z x yzx yD3. 先对z积分（类似将立体压扁），再对D上积分，具体看D是

47、X型还是Y型。(1) 由双曲抛物面 及平面 ， 围成；xyz10 xy 0z 第75页/共101页第七十六页，编辑于星期三：七点 二十四分。(1) 由双曲抛物面 及平面 ， 围成；xyz10 xy 0z 思路：1.判断闭区域是哪上下两个曲面围成，其中 ， 比较容易画出，如图10 xy 0z xyz11容易判断出上下曲面为21 0 0zxyzxyzz2.确定投影区域，利用上下曲面的交线即12( , )( , )z x yzx y0, 0 xy或分别为y轴，x轴。加上 ，形成 D10 xy D3. 先对z积分, 再对y积分，然后对x积分。11000( , , )xxyIdxdyf x y z dz

48、第76页/共101页第七十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。abxyzzzDbzaDyxz),(:方法方法. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)baZDyxzyxfdd),(zdI(2) 由曲面 及平面 围成的闭区域；22zxy1z o oxyz1z 思路：1.判断闭区域若由旋转面围成，则截面法更简单。2，给定z，求截面上的二重积分，对旋转体常用极坐标，表示，再确定z的范围。12000( cos , sin , )zIdzdf rrz rdr第77页/共101页第七十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。13. 计算 ，其中D 是由锥面与平面 所围成的闭区域。Dzdxdydz22hzxyR

49、 (0,0)zhRh详细解答过程，见同济习题全解指南（下) P118。第78页/共101页第七十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。14. 利用适当坐标系求下列三重积分：1）. 计算 ，其中D 是由曲面及 所围成的闭区域。（提示采用柱坐标）DzdV222zxy22zxy2）. 计算 ，其中 是由不等式及 所围成的闭区域。（提示采用球坐标）zdV2222()xyzaa222xyz详细解答过程，见同济习题全解指南P119详细解答过程，见同济习题全解指南P120第79页/共101页第八十页，编辑于星期三：七点 二十四分。15. 计算曲面积分 ，其中 为抛物面在xoy面上方的部分。222zxy3zdS

50、详细解答过程，见同济习题全解指南P174ndSdxdycosdxdydS22233cos|xyzznnndxdyzzdxdyn222|coscos( , )zxyznn knnn ( , , )0F x y z 的法向量(,)xyznF F F第80页/共101页第八十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。16. 计算 ，其中 是锥面 22()xydS及平面 所围成的区域的整个边界曲面.22zxy1z 详细解答过程，见同济习题全解指南P175第81页/共101页第八十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。 有向曲面上的积分cos ds,0时当0cos时当0cos时当0cosxyzon d d ,x

51、 ydxdy d d ,x ydsn上侧下侧0(cos ,cos,cos )v dSv n dSvdS xyzDv dydzv dzdxv dxdy曲面分别在三个坐标面上的投影区域第82页/共101页第八十三页，编辑于星期三：七点 二十四分。,ddyxxyz其中 为球面2x外侧在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD122zyxyzDv dydzv dzdxv dxdy比较格式说明 为0.,xyv v2）: 把 分为上下两部分2211:yxz 思路: 1）判断曲面的法向与 z 轴相反还是一致。0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz3）:第一象限、第八象限分别为yxzyxdd

52、2ddyxzyx1ddyxzyxDxyzdxdyDxyzdxdy第83页/共101页第八十四页，编辑于星期三：七点 二十四分。其中oyxz2,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. 思路：若直接在yoz面和xoy面求积分则为2()ddd d ,zxyzzxy比较麻烦，所以把它转换到同一个投影坐标面上求。22()ddd d()coszxyzzxyzxdSzdxdy2cos()coszxdxdyzdxdy2cos()coszxzdxdycosdxdydS221cosyxx2211cosyx 第84页/共101页第八十五页，编辑于

53、星期三：七点 二十四分。)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz 原式 =)( x )(2xzyxzdd第85页/共101页第八十六页，编辑于星期三：七点 二十四分。级数部分： 考点： 1.判断绝对收敛还是条件收敛2. 幂级数的收敛区间3. （幂）级数的和函数微分方程： 考点： 具体见表格第86页/共101页第八十七页，编辑于星期三：七点 二十四分。1、 在点M(5,1,2)沿点(5,1,2) 到点（9,4,14)方向的方向导数是_. uxyz2、求曲

54、线 在 处的切线方程_和法平面方程_. cos ,sin ,2xt yt zt2t3、把 作麦克劳林级数展开_.21xx4、求 的收敛区间_.211( 1)21nnnxn注意缺项级数以下选自历年考试：第87页/共101页第八十八页，编辑于星期三：七点 二十四分。4、设向量 则(1,2,3),(3,2,4), 5、过点 且垂直于平面 的直线 方程是35760 xyz(2,3,4)7、 交换二重积分的积分次序( , )(0,2)sinlimx yxyx620111( , )xxf x y dy 8、微分方程 的通解为23yxdyedxy （48）0910年考卷A9、函数 的定义域是2224ln(1

55、)xyzxy第88页/共101页第八十九页，编辑于星期三：七点 二十四分。10、xoz 面上的双曲线 绕 x 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程是 22221xzac11、平面 与平面 的位置关系是210 xyz 20 xyz 12、00sinlimxyxyx13、设 则(),xyzexydz 14、微分方程 的通解为2dyxdx（914）1011年考卷c15、已知向量 则同时与 和 垂直的单位向量是(1, 2, 3),(0, 1, 1)ab ab第89页/共101页第九十页，编辑于星期三：七点 二十四分。16、曲线 绕 z 轴旋转一周生成的旋转曲面的方程是 0 (01)xzeyx 17、曲线 在

56、 M (1,3,4) 的梯度为22( , , )ln()u x y zxyz18、已知 确定 ，则lnxzzy( , )zz x yzy19、已知 中D 由 所围成，则将 I 化为极坐标下的累次积分为( , )DIf x y dxdy22xyxy20、函数 在点 取极值。23( , )612f x yxyxy21、若D是以（0,0),(1,1),(0,1)为顶点的三角形区域，则二重积分2yDedxdy第90页/共101页第九十一页，编辑于星期三：七点 二十四分。22、已知某二阶常系数线性齐次微分方程有2个线性无关解 ，该微分方程为12,xxyeye（1522）0910年考卷B23、将函数 展开成x的幂级数，并指出收敛域。2ln(12)yxx24、设 ，且 ，判别级数 0,(1,2,3,.)nunlim1nnnu11111( 1)()nnnnuu是否收敛，若是，判断条件还是绝对收敛（23，24）0910年考卷C25、设 ，求ln()zxxy2,zzyx y 第91页/共101页第九十二页，编辑于星期三：七点 二十四分。26、设 ，其中f 具有一阶连续偏导数,求22(,)xyzf xye,.zzyx27、设 ，求0,1xuyvyuxv,.uvxy（2527）0910年考卷B28、设 ， 有连续二阶偏导数, 求2.uy z ( ,)u