空间点、直线、平面之间的位置关系（精编版）

1、第八章立体几何初步第 1 课时空间点、直线、平面之间的位置关系对应学生用书（文）9799页（理） 99101页考情分析考点新知理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关系了解公理1、2、3 及公理 3 的推论 1、2、3， 并能正确判定； 了解平行公理和等角定理理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成角 .1. ( 原创 ) 已知点 p、q，平面 ，将命题“ p， qpq”改成文字叙述是_答案：若点p在平面 内，点 q不在平面 内，则直线pq不在平面 内解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语

2、言、图形语言和符号语言的相互转化2. (原创 ) 有下列命题：空间四点共面，则其中必有三点共线；空间四点不共面，则其中任何三点不共线；空间四点中有三点共线，则此四点共面； 空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面其中正确的命题是_( 填序号 )答案：解析：只须四点共面，任何三点不必共线；正确；错误3. ( 必修 2p28习题 1 改编 ) 在正方体abcda1b1c1d1中，与 ad1平行的对角线有_条. 答案： 1解析：与 ad1平行的对角线仅有1 条，即 bc1.4. (必修 2p31练习 12 改编 ) 如图所示，在三棱锥a bcd中， e， f，g，h分别是棱ab ，bc ， cd ，

3、da的中点，则(1) 当 ac ， bd满足条件 _时，四边形efgh为菱形；(2) 当 ac ， bd满足条件 _时，四边形efgh是正方形答案： ac bd ac bd且 ac bd解析：易知 eh bd fg ，且eh 12bd fg ，同理 ef ac hg ，且 ef12ac hg ，显然四边形 efgh 为平行四边形要使平行四边形efgh 为菱形需满足ef eh ，即 ac bd ；要使四边形 efgh 为正方形需满足ef eh且 ef eh ，即 ac bd且 ac bd.5. ( 必修 2p24练习 3 改编 ) 设 p表示一个点， a，b 表示两条直线， 、 表示两个平面，给

4、出下列四个命题，其中正确的命题是_( 填序号 ) pa，pa； a bp， ba； a b，a， p b，pb； b，p， p pb.答案：解析：当 a p时， p， p，但a，错； a p时，错；如图， a b，pb， pa，由直线 a 与点 p确定唯一平面. 又 ab，由 a 与 b确定唯一平面，但 经过直线a与点 p，与 重合， b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确1. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只

5、有一个平面推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内1平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有3. 平行直线的公理及定理(1) 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 备课札记 题型 1 平面的基本性质例 1 画一个正方体abcda1b1c1d1，再画出平面acd1与平面 bdc1的交线， 并且说明理由解：fcd1、f

6、平面acd1、eac 、e平面acd1、ebd 、e平面bdc1、fdc1、f平面 dc1b，则 ef为所求备选变式（教师专享）在长方体 abcda1b1c1d1的 a1c1面上有一点p(如图所示，其中p点不在对角线b1d1) 上(1) 过 p点在空间作一直线l ，使 l 直线 bd ，应该如何作图并说明理由；(2) 过 p点在平面a1c1内作一直线m ，使 m与直线 bd成 角，其中 0，2，这样的直线有几条，应该如何作图解： (1) 连结 b1d1，bd ，在平面a1c1内过 p作直线 l ，使 l b1d1，则 l 即为所求作的直线，如图 (a) b1d1bd ，l b1d1， l 直线

7、 bd.图(a)(2) bd b1d1， 直线 m与直线 bd也成 角， 即直线 m为所求作的直线， 如图 (b) 由图知 m与 bd是异面直线，且m与 bd所成的角 0，2.当 2时，这样的直线m有且只有一条，当2时，这样的直线m有两条图(b)题型 2 共点、共线、共面问题, 例 2) 如图， 四边形 abef和 abcd 都是直角梯形，bad fab 90，bc =12ad ， be =12fa，g、h分别为 fa 、fd的中点(1) 证明：四边形bchg 是平行四边形(2) c 、 d、f、e四点是否共面为什么(1) 证明：由已知 fg ga ，fh hd ，可得 gh =12ad.又

8、bc =12ad ， gh=bc.四边形 bchg 为平行四边形(2) 解： ( 解法 1) 由 be =12af，g为 fa中点知， be =fg ，四边形 befg为平行四边形ef bg.由 (1) 知 bg ch ， ef ch ， ef 与 ch共面 又 dfh ， c 、d、f、e四点共面( 解法 2) 如图，延长fe、dc分别与 ab交于点 m 、m ， be =12af， b 为 ma中点 bc =12ad， b 为 m a 中点 m 与 m 重合，即fe与 dc交于点 m(m ) c、d、f、e四点共面变式训练如图，在正方体abcd a1b1c1d1中，对角线a1c与平面 bd

9、c1交于点 o，ac 、bd交于点 m ，e为 ab的中点， f 为 aa1的中点求证： (1) c1、o、m三点共线；(2) e 、 c、d1、f 四点共面证明： (1) c1、 o 、m 平面bdc1，又 c1、o、m 平面 a1acc1，由公理2 知，点 c1、o 、m在平面 bdc1与平面 a1acc1的交线上， c1、 o 、m三点共线(2) 连结 ef，a 、 b、c、d， e 、f 分别是 ab，a1a 的中点， ef a1b. a1bcd1， ef cd1. e 、 c、d1、f 四点共面题型 3 空间直线位置关系问题例 3 已知 a是bcd平面外的一点，e，f 分别是 bc

10、，ad的中点(1) 求证：直线ef与 bd是异面直线；(2) 若 ac bd ， ac bd ，求 ef与 bd所成的角(1) 证明：假设ef与 bd不是异面直线，则ef与 bd共面，从而df与 be共面，即ad与 bc共面，所以a、b、 c 、d在同一平面内，这与a是bcd平面外的一点相矛盾故直线ef与 bd是异面直线(2) 解：取 cd的中点 g ，连结 eg 、fg，则 eg bd ，所以相交直线ef与 eg所成的角，即为异面直线ef与 bd所成的角在rt egf中，由 eg fg 12ac ，求得 feg 45，即异面直线ef与 bd所成的角为45.备选变式（教师专享）已知四棱锥pab

11、cd 的顶点 p在底面的射影恰好是底面菱形abcd 的两条对角线的交点，若 ab 3，pb 4，则 pa长度的取值范围为_答案： (7，5)解析：由题意知po 平面abcd ，ab 3，pb4，设 po h，ob x，则 pa2h29x216x2x29 252x2，因为 0 x3，所以 7252x225，所以7pa5.1. (2013福州检测 ) 给出下列四个命题： 没有公共点的两条直线平行； 互相垂直的两条直线是相交直线； 既不平行也不相交的直线是异面直线； 不同在任一平面内的两条直线是异面直线其中正确命题是_( 填序号 )答案：解析： 没有公共点的两条直线平行或异面，故命题错； 互相垂直的

12、两条直线相交或异面，故命题错； 既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题、正确2. 下列命题错误的是_( 填序号 ) 如果平面平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面； 如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面； 如果平面平面，平面平面， l ，那么直线l 平面 ； 如果平面平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面.答案：解析：根据长方体模型可知，是错的3. 如图是正四面体的平面展开图，g，h，m ， n 分别为 de ， be ，ef，ec的中点，在这个正四面体中： gh与 ef平行； bd 与 mn为异面直线； gh与 mn成 60角；

13、 de 与 mn垂直以上四个命题中，正确命题的是_( 填序号 )答案：解析：还原成正四面体知gh与 ef为异面直线， bd与 mn为异面直线， gh与 mn 成 60角，de mn.4. 若直线 l 不平行于平面，且 l，则下列命题正确的是_( 填序号 ) 内的所有直线与l 异面； 内不存在与l 平行的直线； 内存在唯一的直线与l 平行； 内的直线与l 都相交答案：5. 从正方体abcd a1b1c1d1的 8 个顶点中任意取4 个不同的顶点，这4 个顶点可能是：(1) 矩形的 4 个顶点；(2) 每个面都是等边三角形的四面体的4 个顶点；(3) 每个面都是直角三角形的四面体的4 个顶点；(4

14、) 有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4 个顶点其中正确的结论有_个答案： 4解析：四边形abcd 适合 (1) ，四面体acb1d1适合 (2) ，db1c1d1适合 (3) ，da1c1d1适合 (4) ，因此正确的结论有4 个1. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_条件 ( 填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” )答案：充分不必要解析： 若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点2. ( 2013南昌模拟 ) 若 p是两条异面直线l 、m外的任意一

15、点，则下列命题中假命题的是_( 填序号 ) 过点 p有且仅有一条直线与l 、m都平行； 过点 p有且仅有一条直线与l 、m都垂直； 过点 p有且仅有一条直线与l 、m都相交； 过点 p有且仅有一条直线与l 、m都异面答案：解析：是假命题，因为过点p不存在一条直线与l 、m都平行；是真命题，因为过点 p有且仅有一条直线与l 、m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；是假命题，因为过点p也可能没有一条直线与l 、m都相交；是假命题，因为过点p可以作出无数条直线与l 、m都异面，这无数条直线在过点p且与 l 、 m都平行的平面上3. 如图，在四面体abcd 中作截面pqr ，若 pq 、c

16、b的延长线交于m ，rq 、db的延长线交于 n， rp 、dc的延长线交于k.求证： m、n、k三点共线证明： m pq ，直线pq平面 pqr ，m bc ，直线 bc平面 bcd ， m 是平面 pqr与平面 bcd的一个公共点，即m在平面 pqr 与平面 bcd的交线 l 上同理可证： n、k也在 l 上 m、n、k三点共线4. 已知： a、 b、c、d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d 共面证明：证法 1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a、b、 c 相交于一点a， 直线 d 和 a确定一个平面. 又设直线d与 a、 b、c 分别相交于e、f、g ，则 a、e、f、g . a、e， a、ea， a.同理可证 b，c . a 、b、c、d 在同一平面 内证法2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图这四条直线两两相交，则设相交直线 a、b确定一个平面. 设直线 c 与 a、b 分别交于点h 、k，则 h、k. 又 h、kc， c. 同理可证 d. a 、b、 c、d 四条直线在同一平面 内1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；