2016年成人高考高数二重点笔记(淘宝花钱买的)课件（精编版）

1、. . 1 / 22 第一章极限和连续第一节极限 复习考试要求 1. 了解极限的概念对极限定义等形式的描述不作要求。会求函数在一点处的左极限与右极限, 了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2. 了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。3. 理解无穷小量、无穷大量的概念, 掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4. 熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 主要知识内容 一数列的极限1. 数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列 ,简称数列 , 记作xn, 数列中每一个数称为数列的项,第 n 项 xn为

2、数列的一般项或通项,例如11,3,5, , 2n-1 ,等差数列2 等比数列3 递增数列41,0,1,0, 震荡数列都是数列。它们的一般项分别为2n-1, 。对于每一个正整数n, 都有一个 xn与之对应 , 所以说数列 xn 可看作自变量 n 的函数 xn=f n, 它的定义域是全体正整数, 当自变量 n依次取 1,2,3 一切正整数时 , 对应的函数值就排列成数列。在几何上 , 数列xn可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,.xn, 。2. 数列的极限定义对于数列 xn, 如果当n时 ,xn无限地趋于一个确定的常数a, 则称当 n 趋于无穷大时 ,数列 xn 以常数 a

3、为极限 , 或称数列收敛于 a,记作比如：无限的趋向 0 , 无限的趋向 1 否则 , 对于数列 xn, 如果当 n时 ,xn不是无限地趋于一个确定的常数 , 称数列xn没有极限 , 如果数列没有极限 , 就称数列是发散的。比如： 1,3,5,2n-1, 1,0,1,0,数列极限的几何意义： 将常数 a及数列的项依次用数轴上的点表示,若数列 xn 以 a为极限, 就表示当 n 趋于无穷大时 ,点 xn可以无限靠近点 a,即点 xn与点 a之间的距离 |xn-a| 趋于 0。比如：无限的趋向 0 无限的趋向 1 二数列极限的性质与运算法则1. 数列极限的性质定理 1.1 惟一性若数列 xn 收敛

4、, 则其极限值必定惟一。定理 1.2 有界性若数列 xn 收敛, 则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立,也就是说 ,有界数列不一定收敛。比如：1,0,1,0,有界： 0,1 2. 数列极限的存在准则定理 1.3 两面夹准则若数列xn,yn,zn满足以下条件：1, 2,则定理 1.4 若数列 xn 单调有界 , 则它必有极限。3. 数列极限的四则运算定理。定理 1.5 123当时 , 三函数极限的概念1. 当 xx0时函数 fx的极限1当 xx0时 f x的极限定义对于函数y=f x, 如果当 x 无限地趋于x0时, 函数 f x无限地趋于一个常数a,则称当 xx0时, 函数 fx的极限是

5、a,记作或 f x a当 xx0时例 y=f x=2x+1 x1,f x ? x1x1 2左极限当 xx0时 f x的左极限定义对于函数y=f x, 如果当 x 从 x0的左边无限地趋于x0时, 函数 f x无限地趋于一个常数a,则称当 xx0时, 函数 fx的左极限是 a,记作或 f x0-0=a 3右极限当 xx0时,f x的右极限定义对于函数y=f x, 如果当 x 从 x0的右边无限地趋于x0时, 函数 f x无限地趋于一个常数a,则称当 xx0时, 函数 fx的右极限是 a,记作或 f x0+0=a 例子：分段函数, 求, 解：当 x 从 0 的左边无限地趋于0 时 fx无限地趋于一

6、个常数1。我们称当 x0 时,f x的左极限是1, 即有当 x 从 0 的右边无限地趋于0 时,f x无限地趋于一个常数-1 。我们称当 x0 时,f x的右极限是 -1, 即有显然, 函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：定理 1.6 当 xx0时, 函数 f x的极限等于a的必要充分条件是反之, 如果左、右极限都等于a,则必有。x1 时 f ? x1 x1f2 对于函数 , 当 x1 时,f x的左极限是 2, 右极限也是 2。2. 当 x时 , 函数 f x的极限1当 x时 , 函数 f x的极限y=fx f ? y=f=1+ xf=1+1 定义对于函数y=f x,如果当 x时

7、,f x无限地趋于一个常数 a,则称当 x时 ,函数 f x的极限是 a,记作或 f x a当 x时2当 x+时, 函数 f x的极限定义对于函数y=f x, 如果当 x+时,f x无限地趋于一个常数 a,则称当 x+时 , 函数 fx的极限是 a,记作这个定义与数列极限的定义基本上一样,数列极限的定义中n+的 n 是正整数； 而在这个定义中 , 则要明确写出x+, 且其中的 x不一定是正整数 ,而为任意实数。y=fx +fx ？x+,f=2+ 2 例：函数 f x=2+e-x,当 x+时 ,f x？解：f x=2+e-x=2+, x+,f x=2+2 所以3当 x- 时, 函数 f x的极限

8、定义对于函数y=f x, 如果当 x- 时,f x无限地趋于一个常数 a,则称当 x-时 ,f x的极限是 a,记作x-f ？则 f=2+ . . 2 / 22 x- ,-x +f=2+ 2 例：函数 , 当 x- 时,f x？解：当 x- 时,-x +2, 即有由上述 x,x +,x - 时, 函数 fx 极限的定义 , 不难看出：x时 f x 的极限是 a充分必要条件是当x+以及 x-时,函数 f x有相同的极限a。例如函数 , 当 x- 时,fx 无限地趋于常数1, 当 x+时 ,f x也无限地趋于同一个常数1, 因此称当 x时的极限是1,记作其几何意义如图3 所示。f=1+ y=arc

9、tanx 不存在。但是对函数 y=arctanx来讲, 因为有即虽然当 x- 时 ,f x的极限存在 , 当 x+时 ,f x的极限也存在 , 但这两个极限不相同, 我们只能说 , 当 x时 ,y=arctanx的极限不存在。x=1+ y=arctanx 不存在。但是对函数 y=arctanx来讲, 因为有即虽然当 x- 时 ,f x的极限存在 , 当 x+时 ,f x的极限也存在 , 但这两个极限不相同 , 我们只能说 , 当 x时,y=arctanx的极限不存在。四函数极限的定理定理 1.7 惟一性定理如果存在, 则极限值必定惟一。定理 1.8 两面夹定理设函数在点的某个邻域内可除外满足条

10、件：1,2则有。注意：上述定理1.7 及定理 1.8 对也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理定理 1.9 如果则123当时 , 时, 上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形, 有以下推论：123用极限的运算法则求极限时, 必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在, 且求商的极限时 , 还要求分母的极限不能为零。另外 , 上述极限的运算法则对于的情形也都成立。五无穷小量和无穷大量1. 无穷小量简称无穷小定义对于函数 ,如果自变量 x 在某个变化过程中 , 函数的极限为零 ,则称在该变化过程中, 为无穷小量 , 一般记作常用希腊字母 ,来表示无穷小量。定理 1.10

11、函数以 a为极限的必要充分条件是：可表示为 a与一个无穷小量之和。注意： 1无穷小量是变量 , 它不是表示量的大小 , 而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。2要把无穷小量与很小的数严格区分开, 一个很小的数 , 无论它多么小也不是无穷小量。3 一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中,同一个变量可以有不同的变化趋势,因此结论也不尽相同。例如：振荡型发散4越变越小的变量也不一定是无穷小量, 例如当 x 越变越大时 ,就越变越小 , 但它不是无穷小量。5 无穷小量不是一个常数,但数 0 是无穷小量中惟一的一个数,这是因为。2. 无穷大量简称无穷大定义；如果当自变量或

12、时,的绝对值可以变得充分大也即无限地增大 , 则称在该变化过程中,为无穷大量。记作。注意：无穷大不是一个数值 , 是一个记号 , 绝不能写成或。3. 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系, 见以下的定理。定理 1.11 在同一变化过程中 , 如果为无穷大量 , 则为无穷小量；反之, 如果为无穷小量 , 且, 则为无穷大量。当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4. 无穷小量的基本性质性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质 2 有界函数变量与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地,常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质 3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质 4 无穷小量

13、除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5. 无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量, 即。1如果则称是比较高阶的无穷小量, 记作；2如果则称与为同阶的无穷小量；3如果则称与为等价无穷小量, 记为；4如果则称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理：如果当时 ,均为无穷小量 , 又有且存在 , 则。均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中,它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当时, sinx x;tan x;arctanxx;arcsinxx; 六两个重要极限1. 重要极限重要极限是指下面的求极限公式令这个公

14、式很重要 ,应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其结构式为：. . 3 / 22 2. 重要极限重要极限是指下面的公式：其中 e 是个常数银行家常数, 叫自然对数的底 , 它的值为e=2.718281828495045其结构式为：重要极限是属于型的未定型式, 重要极限是属于 型的未定式时, 这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用, 熟练掌握它们是非常必要的。七求极限的方法：1. 利用极限的四则运算法则求极限；2. 利用两个重要极限求极限；3. 利用无穷小量的性质求极限；4. 利用函数的连续性求极限；5. 利用洛必达法则求未定式的极限；6. 利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式234例

15、 1. 无穷小量的有关概念19601 下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是a.b. c.d. 答c a. 发散d. 20202 当时 , 与 x 比较是a. 高阶的无穷小量b.等价的无穷小量c.非等价的同阶无穷小量d.低阶的无穷小量 答b 解: 当,与 x 是极限的运算：0611 解： 答案 -1 例 2. 型因式分解约分求极限10208 答 解: 20621 计算 答 解: 例 3. 型有理化约分求极限10316 计算 答 解: 29516 答 解:例 4. 当时求型的极限 答 10308 一般地 , 有例 5. 用重要极限求极限19603 下列极限中 , 成立的是a.b. c.d. 答b

16、 20006 答 解:例 6. 用重要极限求极限10416 计算 答 解析 解一：令解二：0306 0601 20118 计算 答 解: 例 7. 用函数的连续性求极限0407 答 0 解: , 例 8. 用等价无穷小代换定理求极限0317 答 0 解: 当例 9. 求分段函数在分段点处的极限10307 设则在的左极限 答1 解析 20406 设, 则答1 解析 例 10. 求极限的反问题1已知则常数 解析 解法一： ,即, 得. 解法二：令 , 得, 解得. 解法三：洛必达法则即, 得. 2若求 a,b 的值. 解析 型未定式 . 当时,. 令于是, 得. 即, 所以. 0402 0017,

17、 则 k=_. 答:ln2 解析前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。. . 4 / 22 第二节函数的连续性 复习考试要求 1. 理解函数在一点处连续与间断的概念,理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系, 掌握判断函数含分段函数在一点处连续性的方法。2. 会求函数的间断点。3. 掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4. 理解初等函数在其定义区间上的连续性, 会利用函数连续性求极限。 主要知识内容 一函数连续的概念1. 函数在点 x0处连续定义 1 设函数 y=f x在点 x0的

18、某个邻域内有定义, 如果当自变量的改变量 x初值为 x0趋近于 0 时, 相应的函数的改变量y 也趋近于 0, 即则称函数 y=f x在点 x0处连续。函数 y=f x在点 x0连续也可作如下定义：定义 2 设函数 y=f x在点 x0的某个邻域内有定义,如果当 xx0时, 函数 y=f x的极限值存在 , 且等于 x0处的函数值 f x0, 即定义 3 设函数 y=f x,如果 , 则称函数 fx在点 x0处左连续；如果 , 则称函数 fx在点 x0处右连续。由上述定义2 可知如果函数 y=f x在点 x0处连续 , 则 fx在点 x0处左连续也右连续。2. 函数在区间 a,b 上连续定义如

19、果函数f x在闭区间 a,b 上的每一点x处都连续 , 则称 fx在闭区间 a,b上连续 , 并称 f x为a,b上的连续函数。这里 ,f x在左端点 a 连续, 是指满足关系： , 在右端点 b 连续 , 是指满足关系： ,即 fx在左端点 a 处是右连续 ,在右端点 b 处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。3. 函数的间断点定义如果函数f x在点 x0处不连续则称点x0为 f x一个间断点。由函数在某点连续的定义可知, 若 f x在点 x0处有下列三种情况之一：1在点 x0处,f x没有定义；2在点 x0处,f x的极限不存在；3虽然在点 x0处 fx有定义 , 且存在

20、, 但, 则点 x0是 f x一个间断点。, 则 fx在a.x=0,x=1 处都间断 b.x=0,x=1 处都连续c.x=0 处间断 ,x=1 处连续d.x=0 处连续 ,x=1 处间断解： x=0 处,f 0=0 f 0-0 f0+0 x=0 为 f x的间断点x=1 处,f 1=1 f 1-0=f 1+0=f 1f x在 x=1 处连续答案 c 9703 设, 在 x=0 处连续 , 则 k 等于a.0b.c.d.2 分析： f 0=k 答案 b 例 30209 设在 x=0 处连续 , 则 a= 解： f 0=e0=1 f 0=f 0-0=f 0+0a=1答案 1 二函数在一点处连续的性

21、质由于函数的连续性是通过极限来定义的, 因而由极限的运算法则,可以得到下列连续函数的性质。定理 1.12 四则运算设函数f x,g x在 x0处均连续 , 则1fxgx在 x0处连续2fx gx在 x0处连续3若 gx00, 则在 x0处连续。定理 1.13复合函数的连续性 设函数 u=g x在 x=x0处连续 ,y=fu在 u0=gx0处连续 ,则复合函数 y=fg x在 x=x0处连续。在求复合函数的极限时, 如果 u=g x,在 x0处极限存在 , 又 y=fu在对应的处连续 ,则极限符号可以与函数符号交换。即定理 1.14反函数的连续性设函数y=fx在某区间上连续 , 且严格单调增加

22、或严格单调减少 , 则它的反函数x=f-1y也在对应区间上连续 , 且严格单调增加或严格单调减少。三闭区间上连续函数的性质在闭区间 a,b 上连续的函数f x, 有以下几个基本性质 , 这些性质以后都要用到。定理 1.15 有界性定理如果函数f x在闭区间 a,b 上连续 ,则 f x必在 a,b上有界。定理 1.16最大值和最小值定理如果函数fx在闭区间 a,b上连续 ,则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理 1.17 介值定理如果函数f x在闭区间 a,b 上连续 , 且其最大值和最小值分别为m和 m,则对于介于 m和 m之间的任何实数c,在a,b 上至少存在一个 , 使得推论零点定理

23、如果函数fx在闭区间 a,b 上连续 , 且 f a与 f b异号 , 则在 a,b 内至少存在一个点,使得f =0 四初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知, 连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的,可以得到下列重要结论。定理 1.18 初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知：如果fx是初等函数 , 且 x0是定义区间内的点 ,则f x在 x0处连续也就是说 , 求初等函数在定义区间内某点处的极限值, 只要算出函数在该点的函数值即可。04070611 例 1. 证明三次代数方程x3-5x+1=

24、0 在区间 0,1 内至少有一个实根. 证：设 f x=x3-5x+1 f x在 0,1 上连续f 0=1f1=-3 由零点定理可知 ,至少存在一点0,1 使得 f =0,3-5+1=0 即方程在 0,1 内至少有一个实根。本章小结函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一, 而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一, 必须熟练掌握 ,这会为以后的学习打下良好的基础。这一章的内容在考试中约占15%,约为 22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下：一、概念部分重点：极限概念 ,无穷小量与等价无穷小量的概念, 连续的概念。极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态,

25、极限值是一个确定的常数。函数在一点连续性的三个基本要素：1f x在点 x0有定义。2存在。3 。常用的是 f x0-0=f x0+0=f x0 。. . 5 / 22 二、运算部分重点：求极限 ,函数的点连续性的判定。1. 求函数极限的常用方法主要有：1利用极限的四则运算法则求极限；对于 型不定式 ,可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。2利用两个重要极限求极限；3利用无穷小量的性质求极限；4利用函数的连续性求极限；若 f x在 x0处连续 , 则。5利用等价无穷小代换定理求极限；6会求分段函数在分段点处的极限；7利用洛必达法则求未定式的极限。2. 判定函数的连续性 , 利用闭区间上连续函数的

26、零点定理证明方程的根的存在性。第二章一元函数微分学第一节导数与微分 复习考试要求 1. 理解导数的概念及其几何意义, 了解可导性与连续性的关系, 会用定义求函数在一点处的导数。2. 会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3. 熟练掌握导数的基本公式、 四则运算法则以及复合函数的求导方法。4. 掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5. 了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6. 理解微分的概念 , 掌握微分法则 , 了解可微和可导的关系, 会求函数的一阶微分。 主要知识内容 一导数的概念1. 导数的定义：定义设函数y=fx在点 x0的某邻域内有定义 , 当自变量 x 在 x

27、0处取得改变量 x 时, 函数 y=f x取得相应的改变量 y=fx0+x-f x0, 如果当 x0 时, 函数的改变量 y 与自变量的改变量 x 之比的极限存在 , 则称此极限值为函数y=fx在点 x0处的导数 ,并称函数 y=fx在点 x0处可导, 记作利用导数定义求导数的解题步骤：1求增量 y=f x0+x-f x02算比值3取极限左导数如果当 x0-时,的极限存在 , 则称此极限值为函数f x在 x0处的左导数 ,记为 f-x0,即右导数如果当 x0+时,的极限存在 , 则称此极限值为函数f x在 x0处的右导数 ,记为 f+x0,即如果函数 fx在 x0处可导 , 显然要求在此点左导

28、数和右导数都存在且相等 , 反之也成立。导函数一般地说 , 设对于开区间 a,b 内的每一点x, 函数 y=fx都有导数 , 那么称 fx在a,b 可导 ,于是对应于 a,b 内的每一个x 值,就有一个导数值f x, 因此导数是 x 的函数 , 此函数叫做导函数。以后为了简便起见, 将导函数简称为导数 , 记作2. 导数的几何意义设曲线的方程为y=f x, 则由导数的定义可知 , 函数 y=fx在某点 x0处的导数 f x0就是曲线上的点m x0,y0处切线的斜率见图 , 即由曲线的点斜式方程, 易知曲线y=f x上的点m x0,y0处的切线方程为yy0=f 3. 可导与连续的关系定理 2.1

29、 如果函数 y=f x在点 x0处可导 , 则它在 x0处必定连续。由这个定理可知： 若函数 fx在 x0不连续 ,则 fx在 x0处必定不可导。例：f x在 x=0 处连续。f-f+ f x=x在 x=0 处不可导二曲线的切线方程及法线方程若函数 y=f x在点 x0处可导 , 由导数的几何意义 , 知 f x0表示过曲线上点m x0,y0的切线斜率。所以 , 过曲线上点 m x0,y0的切线方程为y-y0=f 若 f存在且不等于零 , 则过点 m x0,y0的法线方程为例 19704 设函数 fx满足 ,则 f= 。解： 答 例 20303 己知函数 f 在点 x0处可导 , 且 f=2,

30、则等于a.0b.1c.2d.4 解：f 在点 x0处可导 ,f=2 答d 导数的几何意义例 30410 曲线 y=e-x在点 0,1 处的切线的斜率k 为_. 解析 本小题主要考查利用导数的几何意义, 满分 4 分。例 20616曲线 y=x3-x 在点 1,0 处的切线方程为 . 解：y=3x2-1 y x=1=2 y-0=2 切线方程为 y=2 答y=2 例 39920 在曲线上求一点m0, 使过点m0的切线平行于直线x-2y+5=0, 并求过点 m0的切线方程和法线方程。 解析 本小题主要考查利用导数几何意义求曲线的切线方程和法线方程 ,满分 6 分。设 m0 x0,y0故切线方程为 ,

31、 即 x-2y+1=0 法线方程为 y-1=-2 x-1 , 即 2x+y-3=0 三导数的计算1. 基本初等函数的导数公式1 c =0 2 x= x -13 45 ax=axlna a0,a 1 6 ex=ex7 89 sinx =cosx 10 cosx=-sinx 111213 secx=secx tanx 14 cscx =-cscx cotx 15 1617 182. 导数的四则运算法则设 u=ux,v=v x均为 x的可导函数 , 则有1 u v=u v 2 u v=u v+uv 3 cu=c u 456 u vw =u vw+u v w+uvw 3. 复合函数求导法则如果 u=x

32、在点 x 处可导 , 而 y=fu在相应的点 u=x处可导, 则复合函数 y=f x在点 x 处可导 , 且其导数为同理, 如果 y=fu,u= v,v= x, 则复合函数 y=f x 的导数为4. 反函数求导法则如果 x= y为单调可导函数 , 则其反函数 y=f x的导数. . 6 / 22 例 10008 设函数 f x=sin2+x2+2x,求 y 。 解析 本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分4 分。f x=sin2+x2+2x=2x+2xln2 例 20602 设函数 y=e2x+5,则 y= y=e2x+5 =e2x 2x =2e2x例 39419 设函数 解析

33、本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5 分。例 49712 设函数 f x=1+x2arctanx,求 f 。 解析 本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5 分。f= 1+x2arctanx+ 1+x2 arctanx =2xarctanx+1 f 0=1 例 50122 设函数 , 求 y 解析 本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分6 分。例 69809 设函数 y=sinln x3,则 y=_ 解析 本小题主要考查复合函数求导。满分4 分。解法一：解法二：例 70010 设函数 , 则 y=_. 解析 本小题主要考查复合函数求导。满分4 分。

34、例 80223 设函数 f x=ex,g x=sinx, 且 y=fgx, 求 解析 本小题主要考查复合函数求导。满分7 分。因为 g x=cosx, 所以 y=f cosx=ecosx, 则例 9 样题 23 设函数 y=ef sin2x ,其中 f u可导 , 求 y 。 解析 本小题主要考查复合函数求导。满分8 分。例 100318 设函数 , 求 y 解析 本小题主要考查复合函数求导。满分6 分。例 110420 设函数 f cosx=1+cos3x, 求 f x 解析 本小题主要考查复合函数求导。满分6 分。设 cosx=t, 则 ft =1+t3, 即 f x=1+x3, 所以 f

35、 x=3x2例 12 设 f cosx=sin2x, 求 f xf cosx=1-cos2x 令 cosx=t f t =1-t2f x=1-x2f x=-2x 例 13 设 f ex=1+ex+e2x, 求 f xf ex=1+ex+ex2f x=1+x+x2f x=1+2x 5. 分段函数的导数例 14 讨论在 x=0 处的导数。解： f 0=0 四求导方法1. 隐函数求导例 19919 设 y=yx由方程 y3=x+arccos xy确定 , 求。 解析 本小题主要考查隐函数求导。满分6 分。方程两边同时对x 求导, 得例 29520 设 y=yx由方程 exey=sinxy所确定 ,

36、求 y 的导数及 y 在 x=0 处的导数值。 解析 本小题主要考查隐函数求导。满分7 分。方程两边同时对x 求导, 得当 x=0 时,代入所给方程 , 即 e0-ey=sin0, 得 y=0 2. 对数求导法例 19621 设函数 y=lnx x, 求 y 解析 本小题主要考查对数求导法。满分5 分。等式两边同时取自然对数, 得lny=xln lnx 等式两边同时对x 求导, 得例 20123 设函数。 解析 本小题主要考查对数求导法。满分7 分。五高阶导数定义如果函数y=f x的导数 fx在 x 可导, 就称 fx的导数为函数 y=f x的二阶导数 ,记作按照导数的定义 ,函数 fx在点

37、x 处的二阶导数就是下列极限f x的二阶导数 y=f x的导数 ,就称作函数 y=f x的三阶导数 ,记作一般地我们定义f x的 n 阶导数为其 n-1 阶导数的导数 , 即如果f x的 n-1 阶导数的导数存在 , 就称这个导数为原来的函数y=fx的 n阶导数 , 记作即有 y n-1 =yn, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。例 10615 设 y=sin2x 则 y =_ 解：y=cos2x=2cos2x y=2 =-4sin2x 例 29910 函数的二阶导数y_。 解析 本小题主要考查简单函数求二阶导数。满分4 分。例 39613 设函数 解析 例 49810 设 yn-2 =a

38、x+xa+aa,求 yn=_ 解析y n-1 =axlna+axa-1yn=axln2a+aa-1xa-2例 50311 设函数 y=x2+e2x, 则 y的 50阶导数 y50=_. 解析 本小题主要考查简单函数求高阶导数。满分4 分。六微分1. 微分的定义定义如果函数y=f x在点 x 处的某个邻域内有定义, 如果对于自变量在点x 处的改变量 x, 函数的改变量 y 可以表示为两项之和：y=axx+ox x0. . 7 / 22 其中 a x与 x无关 ,ox与x 比较是较高阶的无穷小量时,则称函数 y=f x在点 x 处可微 ,并称 ax x 为函数在点 x 处的微分 , 记为 dy 或

39、 df x, 即dy=df x=ax x 2. 微分的几何意义：设函数y=f 的图像如图所示 ,m 为曲线上的定点 ,m为与 m相邻的点 , 过点 m做曲线的切线mt其倾角为 , 则 mt的斜率为 tan=f 从下图可知：mn= x,nm=y nt=mn tan=f x=dy 由此可见 , 当自变量在点 x 处有一改变量 x 时,y 是曲线 y=f上点的纵坐标改变量nt,而 tm 是 y 与 dy 之差, 当x0 时, 它是 x 的高阶无穷小量。3. 可微与可导的等价关系定理 2.2 函数 y=f 在点 x 可微的必要充分条件是f 在 x 处可导, 而且 a=f, 即 dy=adx=fdx 4

40、. 微分的计算 dy=f dx 求微分 dy 只要求出导数 f 再乘以 dx, 所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：1dc=0c 为常数2为任意实数6dex=exdx 7dsinx =cosxdx8dcosx=-sinxdx 17dcu=cdu 5. 微分形式不变性设函数 y=f, 则不论 u是自变量还是中间变量, 函数的微分 dy 总可表示为dy=f du 例 10622 设函数 y=x4sinx, 求 dy 解法一： y=4x3sinx+x4cosx dy=ydx=4x3sinx+x4cosxdx 解法二： dy=dx4sinx =

41、dx4sinx+x4dsinx =4x3dxsinx+x4cosxdx =4x3sinx+x4cosxdx 例 20319 设函数 y=arctanx2, 求 dy. 解析 本小题主要考查求函数微分。满分6分。解法一：解法二：求导歌初等函数一式表 ,复合四则连环套。分清四则与复合 ,关系明确再求导。常幂指对三反三 ,导数公式要记牢。加减关系逐项导 ,积商导数最重要。积的导数共两项 ,u 导乘 v 加 u 乘 v 导。商的导数为分式 ,母方分之子导乘母减子乘母导。复合函数层层导 ,不能重复不漏掉。隐函数两边同时导 , 解方程 y 便得到。高阶导数阶阶导 ,归纳规律很重要。增量比值求极限 ,定义三

42、步会求导 , 分段函数分段点 ,左导是否等右导。导数微分互等价 ,微分加尾别忘掉。背公式 , 勿浮燥, 多练习 ,熟生巧 , 寻规律 , 多请教, 勤思考 ,必开窍。今日唱起求导歌 ,求导感觉真美妙。第二节导数的应用 复习考试要求 1. 熟练掌握用洛必达法则求0、- 型未定式的极限的方法。2. 掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。3. 理解函数极值的概念, 掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法 ,会解简单的应用题。4. 会判断曲线的凹凸性, 会求曲线的拐点。5. 会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 主要知识内容 一洛必达

43、法则求极限1. 型定理 2.3 洛必达法则 1如果fx,gx在 x0的某邻域内 点 x0可以除外 可导, 且 g0 a为有限常数或为则或把 xx0改为 x例 1 计算：例 29517 求 解析 本小题主要考查用洛必达法则求型未定式极限。满分5 分。例 30417 解析 本小题主要考查用洛必达法则求型未定式极限。满分6 分。2. 型定理 2.4 洛必达法则 2如果fx,gx在 x0的某邻域内点 x0可以除外 可导 ,且 gx0 a为有限常数或为或把 xx0改为 x例 1. 求 解析 本小题主要考查用洛必达法则求极限。例 2. 求 解析 本小题主要考查用洛必达法则求极限。3.0 型对于 0型未定式

44、 ,可以将乘积形式化为商的形式,即可化为型或型未定式 , 然后再使用洛必达法则求极限。例 解析 本小题主要考查用洛必达法则求极限。4. 型对于型未定式,可利用通分将其化为型未定式, 然后再使用洛必达法则求极限。例 解析 本小题主要考查用洛必达法则求极限。例 解析 型用洛必达法则：因为不存在 , 不能使用洛必达法则。正确的解法应是：二利用导数研究函数的图形与性质. . 8 / 22 1. 函数的单调性定理 2.5 设函数 f x在区间 a,b 内可导 , 则1如果在a,b 内的任一点 x 处,恒有 fx0,则函数 fx在 a,b 内严格单调增加；2如果在a,b 内的任一点 x 处,恒有 fx0,

45、则函数 fx在 a,b 内严格单调减少。例：证明函数f x=xarctanx 在其定义域上是单调增加的。注意：函数 f 在其定义域上的个别点处f=0或 f 不存在但连续 ,不影响其单调性。利用导数判定函数单调性的一般步骤：1确定函数的定义域；2求出函数的导数y=f ；3令 f =0,求出函数在其定义域内的所有驻点,驻点将定义域划分成若干子区间, 在每个子区间内讨论f 的正负符号 ,从而确定函数的单调增减区间。2. 函数的极值1函数极值的定义定义设函数 f 在a,b 内有定义 ,x0是a,b 内的某一点 , 若存在点 x0的一个邻域 ,使得对此邻域内任一点xxx0, 恒有 ff,则称 f x0是

46、函数 f的一个极大值 , 称 x0是函数 f 的一个极大值点；恒有 ff,则称 f是函数 f 的一个极小值 ,称 x0是函数 f 的一个极小值点。极大值和极小值统称为函数的极值。极大值点和极小值点统称函数的极值点。2极值存在的必要条件定理 2.6 设函数 f 在点 x0处具有导数 ,且在点 x0取得极值 , 则必有 f =0。一般地 , 称 f =0的点为函数 f 的驻点。注意：极值点的导数存在 , 则极值点必定是驻点,反之驻点不一定是极值点。f x=x3f =3x2令 f =0,得驻点 x=0 设 f=x2f 2x 令 f =0,得驻点 x=0 当 x0 时,f 0时,f 0 x=0 为 f

47、 的极小值点3极值存在的充分条件定理 2.7 第一充分条件设函数f 在点 x0连续 ,且在点 x0的某一空心邻域内可导f 可以等于 0 或不存在 , 则如果在内任一点x 处,有 f0, 而在内任一点x 处, 有,则 fx0是极大值 ,x0是极大值点；如果在内任一点x 处, 有 f 0,而在内任一点x 处,有 f 0, 则 f x0是极小值 ,x0是极小值点；如果在内与内任一点x 处,f 正负符号相同 ,那么 f x0不是极值 ,x0不是极值点。定理 2.8第二充分条件 设函数 f 在点 x0处有二阶导数 , 且 f =0,f 0, 则当 f 0 时, 则 f x0为极大值；当 f 0时, 则

48、fx0为极小值；当 f =0 时, 则不能判定 x0是否为极值点。利用导数求函数极值的步骤：1先求出函数的导数y x=f x, 令 f x0=0, 求出函数在其定义域内的所有驻点及导数不存在的点xii=1,2 ,k ；2若函数 f 在点 xi的去心邻域内可导 , 则利用极值的第一充分条件判定。即当f 在点 xi的两侧异号时 ,f 为极值 ,xi为极值点 , 若 f 在点 xi的两侧同号时 ,f不是极值 ,xi不是极值点。3如果函数的二阶导数f 容易求 , 且 f 存在 , 则可以极值的第二充分条件判定。 即当 f 0时, 则 fxi 为极小值 ,xi为极小值点；当f 0 时,则 f为极大值 ,

49、xi为极大值点 , 若f =0,则应改用极值的第一充分条件判定f是否为极值 ,xi是否为极值点。例 19803 函数 y=ln 1+x2在 - ,+ 内 a.单调增加 b.单调减少 c.不单调 d.不连续 解析 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性。满分4 分, 令 y=0, 得 x=0, 当 x0 时,y 0 时,y 0,函数 y=ln 1+x2单调增加 , 故选 c。例 29903 以下结论正确的是a.函数 f x的导数不存在的点, 一定不是 f x的极值点b.若 x0为 f x的驻点 , 则 x0必为 f x的极值点c.若 f x在点 x0处有极值 , 且 f x0存在 , 则必有 f

50、 x0=0 d.若 f x在点 x0处连续 , 则 f x0一定存在 解析 本小题主要考查函数极值点的有关概念。满分4 分。根据函数极值存在的必要条件,应选 c。例 30426 求函数 y=xex的单调增减区间和极值。 解析 本小题主要考查求函数的单调增减区间和极值。满分 10 分。解：函数的定义域为- ,- 。y=e-x+x-e-x=1-xe-x令 y=0,得驻点 x=1 又当 x0；当 x1 时,y 0。所以, 函数 y 的单调增加区间为- ,1 函数 y 的单调减少区间为1,+函数 y 的极大值为 y1=e-1例 40614 函数的极值点为x=_ y=2x 令 y=0,得驻点 x=0 当

51、 x0 时,y 0 时,y 0, x=0 为的极小值点例 50626 求函数 fx=x33x+1 的单调区间与极值解：d= f =3x2-3=3 令 f x=0,得驻点 x=-1,x=1 f x的单调增区间为- ,-1 1,+单调减区间为 -1,1 f x的极大值 f -1=3 极小值 f 1=-1 3. 曲线的凹向和拐点1曲线的凹向定义如果在 a,b 内 , 曲线弧总位于其上任一点处的切线的上方,则称曲线弧在 a,b内是向上凹的简称上凹,也称凹；如果在 a,b 内 , 曲线弧总位于其上任一点处的切线的下方, 则称曲线弧在 a,b 内是向下凹的简称下凹, 也称凸。2曲线凹向的判别法定理 2.9

52、 设函数 y=f x在开区间 a,b内具有二阶导数 , 如果在 a,b内的每一点 x, 恒有 f x0,则曲线 y=fx在a,b 内是向上凹凹的如果在a,b 内的每一点 x, 恒有f x0,则曲线 y=f x在 a,b 内是向下凹凸的。例1判断曲线 y=lnx 的凹凸性；2判断曲线 y=sinx 在区间 0,2 上的凹凸性。. . 9 / 22 3曲线的拐点定义若连续曲线y=f x上的点 p是曲线上凹与下凹的分界点, 则称 p点是曲线 y=f x的拐点。求曲线 y=f x的拐点的步骤：求出二阶导数f x ；求出使二阶导数等于0 或二阶导数不存在的点xii=1,2, ,k ；对于以上的连续点,

53、检验各点的两侧二阶导数是否异号, 如是, 则该点就是拐点的横坐标；求出拐点的纵坐标。例 19505 曲线 y=6x-24x2+x4的上凸下凹区间是a. -2,2 b.-,0 c.0,+ d. ,+ 解析 本小题主要考查利用导数求曲线的凹凸区间。满分4 分。df =,+ y=6-48x+4x3,y =-48+12x2=12x+2 x-2令 y =0, 得 x=2,x=2 当-2x2 时,y 0, 所以曲线 y=6x-24x2+x4的上凸下凹区间是-2,2 。故选 a。例 29909 曲线 y=x33x+1 的拐点是 _. 解析 本小题主要考查利用导数求曲线的拐点。满分4分。df =- ,+ y=

54、3x23,y =6x 令 y=6x, 得 x=0 当 x0 时,y 0 时,y 0, 所以曲线 y=y33x+1 的拐点是 0,1 。例 30226 求函数 y=x33x21 的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点 解析 本小题主要考查求函数的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点。满分8 分。df =, y=3x2-6x,y =6x6 令 y=0,得 x=0,x=2, 令 y=0,得 x=1 x 1 2 y + 0 0 + y 0 + + y 极大值拐点极小值f=-1 f=-5 所以函数的单调增加区间为,0 u2,+ ,单调减少区间为 0,2 , 极大值为 f 0=1, 极小值为

55、f 2=5。其曲线的凸区间为 ,1 , 凹区间为1,+ , 拐点为1, 3 。4. 曲线的渐近线定义如果曲线c上的动点 p沿着曲线无限地远离原点时, 点 p 与某一固定直线 l 的距离趋于零 , 则称直线 l 为曲线 c的渐近线。1水平渐近线若当 x时 ,f x cc 为常数 , 即若, 则称 y=f x有水平渐近线 y=c。2铅直渐近线若 xa有时仅当 xa+或 xa, 有 fx ,即若则称 x=a为曲线 y=fx的铅直渐近线 也称垂直渐近线其中 a 为常数。例 1 曲线的水平渐近线为_, 铅直渐近线为 _. 解析 本小题主要考查求曲线的水平、铅直渐近线。三函数的最大小值及实际应用问题1.

56、函数的最值1设 f x在a,b 上是连续的 , 则 fx在 a,b 上一定存在着最大值 m和最小值 m 。且 fx在a,b上的最值只能在 a,b内的极值点和区间端点中求得。注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值和最小值。2求连续函数 f x在区间 a,b上的最大值的解题步骤：求出函数f x在 a,b 内的所有驻点以及导数不存在点xii=1,2 k计算以上各点的函数值fx1,f x2,fxk以及区间的两个端点的函数值f a,f b ；比较以上的k+2 个函数值 ,其中最大的函数值就是最大值m,最小的函数值就是最小值m 。注意：如果 fx在区间a,b内只有一个极大值而没有极小值, 则这个极大值就

57、是f x在区间 a,b 内的最大值；同理如果f x在区间a,b 内只有一个极小值而没有极大值,则这个极小值就是f x在区间 a,b内的最小值。如果 fx在区间 a,b 上为单调连续函数 ,则最大小值在区间端点取得。例 10019 求函数 y=xex在区间 0,2上的最大值与最小值 解析 本小题主要考查求函数的最值。满分6 分。y=1 xex, 令 y=0, 得驻点 x=1, 因为 y0=0, 所以函数 y=xex在区间 0,2 上的最大值 , 最小值 y0=0. 2. 最大小值的应用问题求解最大小值的应用问题的步骤：1认真审题 , 弄清题意 , 列出函数解析式；2对这个函数求极值；3判定最大小

58、值；4答题。例 2. 将边长为 a 的一块正方形铁皮 , 四角各截去一个大小相同的小正方形 , 然后将四边折起做一个无盖的方盒, 问截去的小正方形的边长为多少时 , 所得方盒的容积最大？最大容积为多少？ 解析 本小题主要考查求解函数的最值实际应用问题。设小正方形的边长为x, 则方盒底面的边长为a2x, 又设方盒的容积为 v,则令, 得驻点 ,其中不合题意 , 应舍去 , 当时 ,当时 ,。所以为惟一的极大值点, 即是最大值点 , 亦即当小正方形的边长为时, 所得方盒的容积最大 , 容积。. . 10 / 22 四利用函数的单调性证明不等式欲证当 xx0 时, 有 fg 作辅助函数 f=fgx_

59、 f满足以下条件：1f=0； 2当 xx0 时,f0,ff,f0 当 xx0时,f0,f减函数ffx0f0 f-g0 fg 例 10026 证明： 解析 本小题主要考查利用函数的单调性证明不等式。满分8 分。证：f=0 则当 x0 时, 为单调增加 ,f xf 0例 20328 证明：当 x0 时, 解析 本小题主要考查利用函数的单调性证明不等式。满分 10分。证：所以当 x0 时,g=x ln均单调增加 , 因为 f=0,g=0.ff,gg=0,即,ln0 时, 。本章小结一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置, 在考试中约占 30%,约为 45 分左右。主要内容总结归纳如下：一、概念部分

60、重点：导数和微分的定义、函数的可导性与连续性的关系、导数与微分的关系。二、运算部分重点：基本初等函数的导数、微分公式, 四则运算的求导公式、复合函数求导法、对数求导法等。求导歌初等函数一式表 ,复合四则连环套。分清四则与复合 ,关系明确再求导。常幂指对三反三 ,导数公式要记牢。加减关系逐项导 ,积商导数最重要。积的导数共两项 ,u 导乘 v 加 u 乘 v 导。商的导数为分式 ,母方分之子导乘母减子乘母导。复合函数层层导 ,不能重复不漏掉。隐函数两边同时导 , 解方程 y 便得到。高阶导数阶阶导 ,归纳规律很重要。增量比值求极限 ,定义三步会求导 , 分段函数分段点 ,左导是否等右导。导数微分