高数D函数的极限学习教案

1、会计学1高数高数D函数的极限函数的极限第一页，编辑于星期三：七点 十八分。从函数的观点看，数列是下标变量的函数它有极限也可以这样叙述：若在自变量时，相应的函数则称当n时，函数有极限。这种定义数列极限的思维方法也适合于一般的函数，由于)(xf的自变量 x变化方式的不同，)(xf的极限定义就有不同的形式，需分类定义。自变量变化过程的六种形式:第1页/共23页第二页，编辑于星期三：七点 十八分。1. 时函数极限的定义问题:如何用数学语言描述下述过程:在0 xx 的过程中,函数)(xf无限趋近于确定值.A要点:(1)过程:0 xx 体现x与0 x的接近程度.(2)函数)(xf与A无限接近:有第2页/共

2、23页第三页，编辑于星期三：七点 十八分。在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即,0,0当时, 有若记作Axfxx)(lim0极限存在函数局部有界(P36定理2) 这表明: AA几何解释几何解释:Ax0 xy)(xfy 第3页/共23页第四页，编辑于星期三：七点 十八分。一般说来一般说来, ,应从不等式应从不等式出发出发,这个正数就是要找的与这个正数就是要找的与 相对应的相对应的 , 这个推导常常是困难的这个推导常常是困难的. 但是但是, , 注意到我们不需要找最大的注意到我们不需要找最大的所以所以适当放大些适当放大些,的式子的式子,变成易于解出变成易于解出

3、. 找到一个需要的找到一个需要的 找到找到就证明完毕就证明完毕.可把可把推导推导 小于怎样的正数小于怎样的正数, ,0 xx 第4页/共23页第五页，编辑于星期三：七点 十八分。证证:故对任意的当时 , 因此总有第5页/共23页第六页，编辑于星期三：七点 十八分。证证例例2.2.第6页/共23页第七页，编辑于星期三：七点 十八分。证证:欲使取则当时, 必有因此只要1)12(lim1xx第7页/共23页第八页，编辑于星期三：七点 十八分。证证:Axf)(故,0取当时, 必有因此第8页/共23页第九页，编辑于星期三：七点 十八分。证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有Ox0 xx第9

4、页/共23页第十页，编辑于星期三：七点 十八分。定理定理1 . 若且 A 0 ,证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0当时, 有当 A 0 时, 取正数则在对应的邻域上( 0)则存在( A 0 )(P37定理3)AA0 x0 xAx0 xy)(xfy 第10页/共23页第十一页，编辑于星期三：七点 十八分。若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有(P37定理3)分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O第11页/共23页第十二页，编辑于星期三：七点 十八分。的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 ,使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证

5、的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故第12页/共23页第十三页，编辑于星期三：七点 十八分。左极限 :当时, 有右极限 :,0,0当时, 有.)( Axf定理定理 3 .( P39 题*11 )第13页/共23页第十四页，编辑于星期三：七点 十八分。讨论 时)(xf的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因为显然所以不存在 .xyO第14页/共23页第十五页，编辑于星期三：七点 十八分。验证验证xxx0lim不存在不存在. .证证左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等. .)(lim0 xfx不存在不存在. .第15页/共23

6、页第十六页，编辑于星期三：七点 十八分。XXAAOxyA定义定义2 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0A 为函数第16页/共23页第十七页，编辑于星期三：七点 十八分。证证:取因此注注:就有故,0欲使只要Oxy第17页/共23页第十八页，编辑于星期三：七点 十八分。Oxy直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,0当时, 有,0,0X当时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，Oxy第18页/共23页第十九页，编辑于星期三：七点 十八分。解解

7、显然有显然有可见可见和和虽然都存在虽然都存在, ,但它们不相等但它们不相等. .xxarctanlim 故故不存在不存在. . 讨论极限讨论极限 是否存在是否存在? ?xxarctanlim 22yxyarctanx第19页/共23页第二十页，编辑于星期三：七点 十八分。三、函数极限的性质三、函数极限的性质与收敛数列的性质相比较与收敛数列的性质相比较, ,可得函数极限的一些相可得函数极限的一些相应性质应性质. .下面仅以下面仅以0 xx 的极限形式为代表给出这的极限形式为代表给出这些性质些性质, ,至于其他形式的极限的性质至于其他形式的极限的性质, ,只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得

8、到. .唯一性唯一性若若)(lim0 xfxx存在存在, ,则极限唯一则极限唯一. .局部有界性局部有界性若若,)(lim0Axfxx 则存在常数则存在常数0 M和和, 0 使得当使得当 |00 xx时时, ,有有.| )(|Mxf 第20页/共23页第二十一页，编辑于星期三：七点 十八分。函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系如果极限如果极限存在存在,为函数为函数的定义域内任一收敛于的定义域内任一收敛于x0的数列的数列,那么相应的函数值数列那么相应的函数值数列且满足且满足:必收敛必收敛,且且证证设设则则有有故对故对有有,时时当当Nn 有有即即)(lim0 xfxx).(lim)(lim0 xfxfxxnn )(limnnxfA,)(lim0Axfxx 第21页/共23页第二十二页，编辑于星期三：七点 十八分。1. 函数极限的或定义及应用2