2018年秋高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条

1、 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件 学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. (重点、难 点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. (重点)3.能够利用命题 之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明. (难点) 自主预习探新知 1充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 pq qv 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 思考 1： (1) p是q的充分条件与q是p的必要条件所 斤表示的推出关系是否相冋

2、？ (2)以下五种表述形式： p? q;p是q的充分条件；q的充分条件是p;q是p 的必要条件；p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示相同，都是p? q (2)等价 2充要条件 (1) 一般地，如果既有 p? q,又有q? p,就记作p? q.此时，我们说，p是q的充分必 要条件，简称充要条件. 概括地说，如果p? q,那么p与q互为充要条件. (2) 若p? q,但q-p,则称p是q的充分不必要条件. (3) 若q? p,但pq,则称p是q的必要不充分条件. 若pq,且q- p,则称p是q的既不充分也不必要条件. 思考 2: (1)若p是q的充要条件，则命题 p和q是两个相互等价的命

3、题，这种说法对 吗？ (2) “ p是q的充要条件”与“ p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示正确.若p是q的充要条件，则p? q,即p等价于q. (2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论. p的充要条件是q说明q是条件，p是结论. 基础自测 1. 思考辨析 (1) q是p的必要条件时，p是q的充分条件. ( ) (2) q不是p的必要条件时，“ pD? /q”成立. ( ) (3) 若q是p的必要条件，则q成立，p也成立. ( ) 2 答案V V (3) X 2. “ x2” 是“ x2 3x + 20” 成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D

4、. 既不充分也不必要条件 A 由 x2 3x + 20 得 x2 或 x0, y0, q： xy0; p： ab, q： a+ cb+ c. LI 【导学号： 97792015】 (1)(3) 在中，p? q,所以(3) 中p是q的充要条件，在(2)中， q? p,所以 中p不是q的充要条件. 合作探究攻重难 11 | _ _ 充分条件、必要条件、充要条件的判断 仞 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条 件” “充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答 ). / (1) 在厶 ABC中, p：/ AZ B, q： BCAC (2) 对于实数x, y,

5、 p： x+ y丰8, q： x工2或y丰6; (3) p： (a 2)( a 3) = 0, q： a= 3; a p： av b, q： b/ B? BOAC所以p是q的充分必要条件. (2) 因为x= 2 且y= 6? x+ y = 8,即q? ，但p?q,所以p是q的充分不必要条 件. (3) 由(a 2)( a 3) = 0 可以推出a = 2 或a= 3，不一定有a = 3;由a = 3 可以得出(a 2)( a 3) = 0.因此，p是q的必要不充分条件. a 由于av b,当bv 0 时， 1; 3 a a 当b0 时，v 1,故若av b,不一定有-v 1; b b a 当a

6、0, b0,匸v 1 时，可以推出 av b； b a 当av 0, bv 0, 1 时，可以推出 a b. 因此p是q的既不充分也不必要条件. 规律方法充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 (2) 等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题. (3) 逆否法：这是等价法的一种特殊情况. 若p? q,则p是q的必要条件，q是p的充分条件； 若 p? q,且匚P,则p是q的必要不充分条件； 若 p? q,则p与q互为充要条件； 若 Pq, 且q p,则p是q的既不充分也不必要条件. 跟踪训练 1. (1)设 a, b是实数，则“ ab” 是“ a2b2”的( ) 【导学号：977

7、92016】 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 D 令a= 1, b=- 1,满足ab,但不满足a2b2,即“ ab”不能推出“ a2b2” ；再令 a=- 1, b= 0,满足a2b2，但不满足 ab,即“ a2b2”不能推出“ ab”，所以“ ab”是 “ a2b2 ”的既不充分也不必要条件. (2)对于二次函数f(x) = ax2 + bx+ c(a0)，下列结论正确的是( ) = b - 4ac0是函数f (x)有零点的充要条件； 厶二b 4ac= 0 是函数f (x)有零点的充分条件； 4 2 厶二b 4ac0 是函数f(x)

8、有零点的必要条件； 厶二b2 4ac0 ?方程 ax + bx+ c= 0( a*0)有实根？ f (x) = ax + bx + c( a*0) 故正确. 有零点， 若 = b2 4ac= 0,则方程 ax2 + bx+ c = 0( a*0)有实根，因此函数 f (x) = ax2 + bx + c( a* 0)有零点，故正确. 函数f(x) = ax2 + bx+ c( a*0)有零点时，方程 ax2 + bx+ c = 0(a*0)有实根，未必有 = b2 4ac0,也可能有 = 0,故错误. 2 2 _ 2 厶二b 4ac0?方程 ax + bx+ c = 0(a*0)无实根？函数

9、f (x) = ax + bx+ c( a*0)无 1 %. J 充要条件的探求与证明 零点，故正确. (1) A. 0 x0 - 2 - “ x 4XV0”的一个充分不必要条件为 ( ) B. 0 x2 D. xy，求证： 0. x y (1)先解不等式x2 4x0 得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式 x2 4x0 的解集的子集. (2)充要条件的证明可用其定义，即条件 ？结论且结论？条件.如果每一步的推出都是 等价的(？)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“ ？ ”写出证明. 解析(1)由x2 4x0 得 0 x4,则充分不必要条件是集合 x|0 x0及xy,得xyxy，即-y.

10、 11 11 y x 必要性：由 1y,得x严，即yxyy，所以y x0. 1 1 所以有的充要条件是xy0. 法二：3 1y? y x0，故由 0. xy 6 1 1 所以-0, x y ， 1 1 即-的充要条件是xy0. x y 规律方法1.探求充要条件一般有两种方法: (1) 探求A成立的充要条件时，先将 A视为条件，并由 A推导结论(设为B)，再证明B 是A的充分条件，这样就能说明 A成立的充要条件是 B,即从充分性和必要性两方面说明. (2) 将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是 证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要

11、性分开来说明. 2 充要条件的证明 (1) 证明p是q的充要条件，既要证明命题p? q”为真，又要证明q? p”为真，前 者证明的是充分性，后者证明的是必要性. (2) 证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“ p是q的充要条件”与“ p 的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论. 跟踪训练 2. (1)不等式x(x 2)0 成立的一个必要不充分条件是 ( ) 【导学号：97792017】 A. x (0,2) B. x 1 ,+s) C. x (0,1) D. x (1,3) B 由 x(x 2)0 得 0 x2,因为 1 , ),所以“ x 1, ) ” 是“

12、不 等式x(x 2)0 成立”的一个必要不充分条件. (2)求证：关于x的方程ax2 + bx+ c= 0 有一个根是 1 的充要条件是a+ b+ c= 0. 2 证明 假设p：方程ax + bx+ c = 0 有一个根是 1, q： a+ b+ c= 0. 证明p? q,即证明必要性. 2 / x= 1 是方程ax + bx+ c= 0 的根， 2 a l + b 1+ c= 0, 即卩 a+ b+ c = 0. 证明q? p,即证明充分性. 由 a + b+ c = 0,得 c = a b. 2 T ax + bx+ c= 0, 2 ax + bx a b= 0, 7 即 a(x 1) +

13、 b(x 1) = 0. 故(x 1)( ax+ a+ b) = 0. - x= 1 是方程的一个根. 2 故方程ax + bx+ c= 0 有一个根是 1 的充要条件是 a+ b+ c = 0. 类翌3 充分条件、必要条件、充要条件的应用 探究问题 1 记集合 A=x|p(x) , B=x|q(x)，若p是q的充分不必要条件，则集合 A B的 关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？ 提示：若p是q的充分不必要条件，则 A上B,若p是q的必要不充分条件，B A. 2.记集合 g x|p( x) , N= x| q(x)，若M? N,则p是q的什么条件？若 N? M M N呢？ 提示：若M?

14、N,则p是q的充分条件，若N? M则p是q的必要条件，若M= N,则p 是q的充要条件. 1 刃 已知 p: x2 8x 20W 0, q： x2 2x+ 1 mi0)，且 p 是 q 的充分不必要 + m( m0). 因为p是 q的充分不必要条件，所以Jp? q且q p. 即x| 2w xw 10是x|1 mfCxw 1+ m, m0的真子集， rr0, Zx1 nW 2, 所以 S1 n0, 解得 9. I !1 + n 10 J + n10, 所以实数m的取值范围为nrm 9. 答案nrm9(或9 , +) 母题探究：1.本例中“ p是q的充分不必要条件”改为“ p是q的必要不充分条件”

15、， 其他条件不变，试求 m的取值范围. 解 由 x2 8x 20W0 得一 2w x 10,由 x2 2x + 1 ni0)得 1 nW xw 1 + n( n0) 因为p是q的必要不充分条件，所以 q? p,且p q. 则x|1 nWxw 1 + n, n0厂x| 2wxw 10 r0 所以 ”1 rn 2 ，解得 0nw3. 8 1.1+ nw 10 即m的取值范围是（0,3. 2.若本例题改为：已知 P= x|a 4xa+ 4 , Q= x|1x3 即a的取值范围是1,5. 规律方法 利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围 化简p、q两命题， （2） 根据p与q的关系（充分、必要、

16、充要条件）转化为集合间的关系， （3） 利用集合间的关系建立不等关系， （4） 求解参数范围. 当堂达标固双基 1. “丨 x| = | y| ”是“ x=y的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B 若 x= 1, y= 1,则 |x| = | y|，但 XMy；若 x= y，则 | x| = | y|，故选 B. 2. “ x2 4x 5= 0” 是“ x = 5” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 B 由 x2 4x 5= 0 得 x= 5 或 x= 1,则当 x= 5

17、 时，x2 4x 5 = 0 成立，但 x2 4x 5 = 0 时，x = 5 不一定成立，故选 B. 3. 下列条件中，是 x24 的必要不充分条件是（ ） A. 2 x 2 B. 2x0 C. 0 xw 2 D. 1x3 A 由x24 得一 2x2,必要不充分条件的 x的范围真包含x| 2x0”的充分不必要条件，则m的取值范围是 _ . 9 【导学号：97792018】 (1由(x 1)( x 2) 0 可得 x2 或 x v 1, 由已知条件，知x|x v m lx|x 2 或x v 1,10 mK 1. 5. 求证：关于x的方程x2 + mx+ 1 = 0 有两个负实数根的充要条件是 存 2. 证明 充分性