2010年全国高考理科数学试卷及答案-四川

1、1 2010年普通高等学校招生全国统一考试四川卷（理工农医类 ）本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .共 150 分.考试时间 120 分钟 . 参考公式：如果事件a、b 互斥，那么球的表面积公式p(a+b) =p (a)+p(b)24sr如果事件a、b 相互独立，那么其中 r 表示球的半径p(a b)=p(a) p(b) 球的体积公式如果事件a 在一次试验中发生的概率是p，那么334rvn 次独立重复试验中事件a 恰好发生k 次的概率其中 r 表示球的半径n()(1)(0,1, 2,.)kknknpkcppkn第卷一、选择题 （ 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60

2、分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. i 是虚数单位，计算i+i2+i3=( )a.1 b.1 c-i d.i 2. 下列四个图象所表示的函数，在点0 x处连续的是（）.a b. c. d. 3. 552 log10log0.25（）a.0 b.1 c. 2 d.4 4. 函数2()1fxxmx的图象关于直线1x对称的充要条件是（）2 a.2mb.2mc.1md.1m5. 设点 m 是线段 bc 的中点，点a 在直线 bc 外，216,bcabacabac则am( ) a.8 b.4 c. 2 d.1 6. 将函数sinyx的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再

3、把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变） ，所得图象的函数解析式是（）a. sin(2)10yxb.sin(2)5yxc. 1sin()210yxd.1sin()220yx7. 某加工厂用某原料由甲车间加工出a 产品，由乙车间加工出b 产品 甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时 ,可加工出 7 千克 a 产品，每千克a 产品获利 40 元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时 ,可加工出4 千克 b 产品， 每千克 b 产品获利 50 元 甲、乙两车间每天共能完成至多70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )

4、a.甲车间加工原料10 箱，乙车间加工原料60 箱b.甲车间加工原料15 箱，乙车间加工原料55 箱c.甲车间加工原料18 箱，乙车间加工原料50 箱d.甲车间加工原料40 箱，乙车间加工原料30 箱8. 已知数列na的首项10a，其前 n 项的和为ns，且112nnssa，则l imnnnas( ) a. 0 b. 12c. 1 d. 2 9. 椭圆22221()xyabab的右焦点为f，其右准线与x 轴的交点为a，在椭圆上存在点 p 满足线段 ap 的垂直平分线过点f，则椭圆离心率的取值范围是（）a. 20,2b. 10,2c. 21,1d. 1,1210. 由 1、2、3、4、5、6 组

5、成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( ) a. 72 b. 96 c. 108 d. 144 11. 如图 1，半径为r的球o的直径ab垂直于平面，垂足为b，bcd是平面内3 bcdanmoab边长为r的正三角形，线段ac、ad分别与球面交于点m，n，那么 m、n 两点间的球面距离是 ( ) a. 17arccos25rb. 18arccos25rc. 13rd. 415r图 112. 设0abc，则221121025()aaccaba ab的最小值是 ( ) a. 2 b. 4 c. 25d. 5 第卷二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题4 分，共 16 分把答案

6、填在题中横线上) 13. 631(2)x的展开式中的第四项是_14. .直线250 xy与圆228xy相交于 a、b 两点，则ab_15. 如图 2，二面角l的大小是60，线段abbl，ab与l所成的角为30则ab与平面所成的角的正弦值是_图 216.设 s 为复数集c 的非空子集若对任意x, ys，都有xy ,xy , xys，则称 s为封闭集。下列命题：集合 s=a+bia , b 为整数， i 为虚数单位为封闭集；若 s 为封闭集，则一定有0s；封闭集一定是无限集；若 s 为封闭集，则满足tsc 的任意集合t也是封闭集其中真命题是_ .（写出所有真命题的序号）三、解答题 (本大题共 6

7、小题，共74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12 分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶4 dabcdmoabc盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（2）求中奖人数的分布列及数学期望e18.（本小题满分12 分）如图 3， 已知正方体abcd-abcd的棱长为1， 点m是棱aa的中点， 点o是对角线bd的中点（1）求证：o m为异面直线aa和bd的公垂线；（2）求二面角mbcb的大小；（3）求三棱锥mo bc的体积19.（本小

8、题满分12 分）图 3（1）证明两角和的余弦公式)(c：;sinsincoscos)cos(；由)(c推导两角和的正弦公式.sincoscossin)sin(:)(s（2）已知 abc 的面积,3,21acabs且 cosb=53，求 cosc20.（本小题满分12 分）已知定点a(-1,0),f(2,0),定直线12l : x，不在 x 轴上的动点p与点f的距离是它到直线l的距离的2 倍设点p的轨迹为e，过点f的直线交e于 bc、两点，直线abac、分别交l于点 mn、（1）求e的方程；（2）试判断以线段m n为直径的圆是否过点f，并说明理由21.（本小题满分12 分）已知数列na满足120

9、2a,a，且对任意m,nn*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m- n)2 . （1）求35a ,a；（2）设bn=a2n+1-a2n-1(nn*),证明：数列nb是等差数列；（3）设cn=(an+ 1- an) qn-1( q0, nn*)，求数列nc的前 n 项和ns5 22.（本小题满分14 分）设11xxaf ( x )a（0a且1a） ，g(x)是 f(x)的反函数（1）设关于 x 的方程217atlogg( x )( x)(x )在区间2 6,上有实数解， 求t的取值范围；（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：22221nknng( k )n( n)；（3）当

10、210a时，试比较1nkf ( k )n与 4 的大小，并说明理由参考答案一、选择题16. a d c a c c 712. b b d c a b 二、填空题 。13. x16014. 3215. 4316. 三、解答题17. 解： （ 1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为a、b、c，且相互独立，那么.21625)65(61)()()()(,61)()()(2cpbpapcbapcpbpap答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是21625. （2）的可能取值为0，1， 2，3。的分布列为所以中奖人数.3,2, 1,0,)65()61()(33kckpkkk6 = 0 1 2 3 p 2161257

11、2257252161.21216137252722512161250e. 18. 解法 1： （1）如图 4，连接 ac， bd，交点为k,连接 ok。因为点 m 是棱aa的中点，点o 是db的中点，所以amdd21ok所以 moak,.,都相交和与异面直线又因为所以所以平面所以因为得dbaaomdbmodbakbdbdakbbakbdakaamoakaa的公垂线和为异面直线故dbaaom. 图 4（2）取,bcbcmnmnnbb平面则连接的中点,mhhcbnhn连接于作过点则由三垂线定理得，.mhcb从而，.的平面角为二面角bcbmmhn.22421tan,.42222145sin,1nhm

12、nmhnmnhrtbnnhmn中在故二面角.22arctan的大小为bcbm（3）易知，damoadbcdaoobcssdaoobc到平面点内都在平面和且,.21h的距离.24131hsvvvdamdamodaomobcm= = 7 解法 2： 以点 d 为坐标原点，建立如图5 所示的空间直角坐标系,xyzd则 a(1,0,0),b(1,1,0),c(0,1,0,),),1 ,0,0(),1 ,1 ,0(),1 ,0, 1(dca（1）因为点m 是棱,的中点是点的中点dboaa所以),21,21,21(),21,0, 1(om.,002121,0)1 ,1, 1(),1,0,0(),0,21,

13、21(的公垂线和为异面直线故都相交和与异面直线又因为所以dbaaomdbaaomdbomaaomdbomaaomdbaaom（2）设平面).,(1zyxncbm的一个法向量为图 5),1 ,0, 1(),21, 1, 0(cbbm则,0,011cbnbmn即.0,021zxzy.,.31191cos),0,1 ,0().2,1 ,2(, 1,2,221212121的平面角为锐角二面角画图易知的一个法向量为取平面从而则取bcbmnnnnnnnbcbnyxz故二面角.31arccos的大小为bcbm（3）易知，.42214141adbcobcss四边形)0,0,1(),1 ,1, 1(),(111

14、3bcdbzyxnobc 的一个法向量为设平面8 .0,033bcndbn即. 0, 01111xzyx取).1 ,1 ,0(, 1,1311nyz从而则点 m 到平面 obc 的距离.22122133nnbmd.241221423131dsvobcobcm19. 解 ： （ 1 ） 如 图6 ， 在 直 角 坐 标 系xoy内 作 单 位 圆o ， 并 作 出 角的始边使角与,ox为交 o 于点 p1，终边交 o 于点 p2；角的始边为op2，终边交 o 于点 p3，角的始边为op1，终边交o于点p4。则),sin,(cos),0,1(21pp2222423143sin)sin(cos)co

15、s()(sin1)cos(,).sin(),(cos(),sin(),(cos(得及两点间的距离公式由pppppp展开并整理，得).sinsincos(cos22)cos(22图 6.sinsincoscos)cos(由易得，.cos)2sin(,sin)2cos()()2cos()(2cos)sin(.s i nc o sc o ss i n)s i n ()2s i n ()c o s ()2c o s (.sincoscossin)sin(9 （2）由题意，设babc 的角、c 的对边分别为b、c，则.21sin21abcs.54sin,53cos.10103cos,1010sin,1c

16、ossin.sin3cos),2,0(,03cos22bbaaaaaaaabcacab得由题意又.1010sinsincoscos)cos(bababa.1010)cos()(coscosbabac故20.解 ： （1）设则),(yxp,212)2(22xyx化简得).0( 1322yyx（2）当直线bc 与 x 轴不垂直时，设bc 的方程为).0)(2(kxky与双曲线方程得联立消去yyx13224)(2)2)(2(,33434),(),(.003,0)34(4)3(212122122122212221221122222xxxxkxxkyykkxxkkxxyxcyxbkkxkxk则设且由题意

17、知.39)438334(2222222kkkkkkk因为.1,21xx10 ),)1(23,23().)1(2323(),)1(23,21(),1(122111111xyfnxyfmxymxxyyab同理可得点的坐标为因此的方程为所以直线因此)23()23(fnfm)1)(1(492121xxyy0)134334(438149222222kkkkkk当直线bc 与 x 轴垂直时，其方程为),3,2(),3,2(,2cbx则ab 的方程为点的坐标为因此 mxy,1).23,23(),23,21(fm同理可得fn=(23, 23), 因此,023)23()23()23(fnfm综上，.,0fnfm

18、fnfm即故以线段mn 为直径的圆过点f。21. 解： （ 1）由题意，令.6221,2123aaanm可得再令.20821,3135aaanm可得,8)()(,82)2(,*212121)1(21)1(2121232nnnnnnnaaaaaaamnnn于是可得代替以由已知时当即.81nnbb所以，数列.8的等差数列是公差为nb（3）由（ 1） 、 （2）的解答可知.8,6131的等差数列公差为是首项aabbn11 则,28nbn即.281212naann另由已知（令)1m可得，2112)1(2naaann那么，12212121naaaannnnnnn212228于是，12nnnqc当).1(2642,1nnnsqn时当,2642,11210nnqnqqqsq时两边同乘q可得.2)1(26421321nnnqnqnqqqqs上述两式相减，得nnnnqqqqsq2)1(2)1(121=nnnqqq2112=qnqqnnn1)1(121所以21)1(1)1(2