初中数学第11章三角形教案及试题

1、等腰三角形第十一章三角形基础知识通关11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边1. 三角形 ：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2. 三角形按边分类 ：三边都不相等的三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形3. 三边关系 ：三角形任意两边的和第三边，任意两边的差第三边。11.1.2 三角形的高、中线与角平分线4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。5. 中线 ：在三角形中，连接一个顶点和它的的线段叫做三角形的中线。6. 角平分线 ：三角形的一个内角的与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角

2、形的角平分线。7. 三角形的重心 ：三角形三条的交点。11.1.3 三角形的稳定性8. 三角形的稳定性 ：三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，当三角形三条边的长度均确定时，三角形的面积、形状完全被确定。11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。10. 三角形内角和定理推论：（1）直角三角形的两个锐角互余。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。11.2.2 三角形的外角11. 三角形的外角 ：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角和等于。12. 三角形外角的性质：三角形的外角等于与它的两个内角的和

3、。11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形13. 多边形中的相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。凸多边形：画出多边形的任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形。凹多边形：画出多边形的任意一条边所在直线，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形。14. 正多边形 ：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边

4、形。11.3.2 多边形的内角和15. 多边形内角和公式：n 边形的内角和等于。16. 多边形的外角和：多边形的外角和为。本章重点： 三角形的内角和定理、外角和定理本章难点： 三边关系、多边形的内角和单元检测一选择题（共 10 小题）1图中三角形的个数是（）a3 个b4 个c5 个d6 个第 1 题图第 3 题图第 6 题图2下列长度的三条线段：3，8，4 4，9，6 15，20，89， 15，8，其中不能构成三角形的是（）abcd3.三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的a 表示（）a直角三角形b锐角三角形c钝角三角形d等边三角形4三角形的高线、中线、角平分线都是（）a直

5、线b线段c射线d以上情况都有5下列说法：由三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形；三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形；直角三角形只有一条高；三角形三条中线交于一点，叫做三角形的重心其中正确的个数是（）a1 b2 c3 d4 6在abc，a，c 与b 的外角度数如图所示，则x 的值是（）a80 b70 c65 d60 7如图，在abc 中，acb70， 1 2则bpc 的度数为（）a70 b108 c110 d125 8已知在abc 中，acb90，a60，则b 的度数是（）a30b35c40d50 9.下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）a bcd10.若一个正多边形的一个内

6、角是 135 ，则这个正多边形的边数是（）a10 b9 c8 d6 二填空题（共 10 小题）11.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是第 11 题图第 12 题图第 13 题图12如图， 1， 2， 3 是abc 的不同的三个外角，则1+2+ 3度13.如图ad 是abc 的角平分线，则，ae 是abc 的中线，则，af 是abc 的高线，则 9014.若三角形三条边长分别是1、a、3（其中a 为整数），则a15.如图，abc 中，cd 是高，ce 是角平分线，且a60，b 38，则dce 的度数是第 15 题图第 16 题图第 17 题图16.如图，在

7、abc 中，efbc，acg 是abc 的外角，bac 的平分线交bc 于点d，若 1150， 2110，则 317.正八边形的每个外角都等于度18.如图，图形中x 的值为第 18 题图第 20 题图19.如果正多边形的一个外角为40，那么它是正边形20.如图，从abc 纸片中剪去cde，得到四边形abde如果 1+2230，那么c三解答题（共 5 小题）21.已知a，b，c 是abc 的三边长，a 4，b6，设三角形的周长是x（1）直接写出c 及x 的取值范围；（2）若x 是小于 18 的偶数求c 的长；判断abc 的形状22.如图，在bcd 中，bc4，bd5，（1）若设cd 的长为奇数，

8、则cd 的取值是；（2）若aebd，a55，bde125，求c 的度数23.已知：如图，在abc 中，acb90，ae 是角平分线，cd 是高，cd 和ae 交于点f（1）若b 40，则cfe，cef；（2）结合（ 1）中的结果，探究cfe 和cef 的关系，并说明理由24如图所示，求a+b+c+d+e+f25.用两种方法证明“四边形的外角和等于 360 ”如图，dae、abf、bcg、cdh 是四边形abcd 的四个外角求证：dae+abf+bcg+cdh 360四附加题（共 2 小题）26.已知，如图，ab 与cd 交于点o （1）如图 1 ，若ab，求证：a+cb+d （2）如图 2 ，

9、若ab，（ 1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论（注：不能用三角形内角和定理）（3）如图 3，若b65，c25，ap 平分bac，dp 平分bdc，请你（ 2）中结论求出p 的度数，请直接写出结果p27.阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题（）问题引入：如图，在abc 中，点o 是abc 和acb 平分线的交点 , 若a70, 则boc度；若a，则boc（用含 的代数式表示）；（）类比探究：如图，在abc 中，cboabc，bcoacb，a试探究：boc 与a 的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由（）知识拓展：如图，bo、co 分别是abc 的外角dbc，ecb 的

10、n 等分线，它们交于点o，cbodbc，bcoecb，a，求boc 的度数（用含、n 的代数式表示）3. 大 于小于4. 垂 线5. 对 边中点6. 平 分线7. 中 线9. 18011. 360 12. 不相邻15. （n-2 ） 18016. 360 一选择题（共 10 小题）基础知识通关答案单元检测答案1.【分析】 三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，根据图示得出三角形个数即可【解答】 解：图中三角形有abc，abe，bec，bdc，dec， 故选：c【知识点】 1 2.【分析】 根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各组数据进行判断即可【解答】 解：3+478，不能构成三角形；4

11、+610 9，能构成三角形；15+82320，能构成三角形；9+817 15，能构成三角形故选：a【知识点】 3 3.【分析】 根据三角形的分类可直接得到答案【解答】 解：三角形根据边分类，图中小椭圆圈里的a 表示等边三角形故选：d【知识点】 2 4.【分析】 根据三角形高线、中线、角平分线的定义作出判断【解答】 解：三角形的高线、角平分线和中线都是线段，故选：b【知识点】 4，5，6 5.【分析】 根据三角形的定义、三角形的分类、直角三角形的判定、三角形的高线，三角形重心的定义分别判断后即可确定正确的选项【解答】 解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故错误；三角

12、形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故错误；直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故错误；三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，故正确；故选：a【知识点】 1，2，4，5，7 6.【分析】 根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题【解答】 解：由题意：x+65x+x 5，x 70，故选：b【知识点】 12 7.【分析】 先根据 1 2 得出 2+bcpacb，由三角形内角和定理即得出结论【解答】 解：在abc 中，acb70， 1 2 2+bcpacb70bpc180 2bcp180 70 110故选：c【知识点】 9 8.【分析】 直

13、接根据直角三角形两锐角互余解答即可【解答】 解：在abc 中，acb90，a60b30故选：a 【知识点】 9，10 9.【分析】 根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形否则即是凹多边形【解答】 解：图形不是凸多边形的是a 故选：a 【知识点】 13 10.【分析】 根据正多边形的一个内角是 135 ，则知该正多边形的一个外角为 45 ，再根据多边形的外角之和为 360，即可求出正多边形的边数【解答】 解：正多边形的一个内角是 135 该正多边形的一个外角为 45 多边形的外角之和为 360 边数8 这个正多边形的边数是 8 故选：c【知识点】

14、13，16 二填空题（共 10 小题）11.【分析】 钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性【解答】 解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：三角形具有稳定性【知识点】 8 12.【分析】 利用三角形的外角和等于 360 解答【解答】 解：三角形的外角和为 360 1+2+ 3360【知识点】 11 13.【分析】 根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空【解答】 解：ad 是abc 的角平分线，则baddacbac ae 是abc 的中线，则beecbc af 是abc 的高线，则afbaf

15、c90故答案为：bad；dac；bac；be；ec；bc；afb；afc 【知识点】 4，5，6 14.【分析】 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围【解答】 解：三角形的两边长分别为 1 和 3 第三边长a 的取值范围是：31a3+1 即： 2a4 a 的值为 3 故答案为： 3 【知识点】 3 15.【分析】 在abc 中和 rt bcd 中，利用三角形内角和定理可求出acb 和bcd 的度数，由ce 平分acb 可得出bce 的度数，再结合dcebcdbce 即可求出结论【解答】 解：在abc 中，a 60，b38acb180ab

16、82在 rt bcd 中，b38，bdc90bcd180bbdc52ce 平分acb bceacb41dcebcdbce52 41 11故答案为： 11【知识点】 6，9，10 16.【分析】 利用三角形的外角的性质求出dac，可得bac80，求出b，利用平行线的性质即可解决问题【解答】 解：ad 平分bac dacdab 1 2+dac， 1150， 2110dac40bac80 1bac+b b70efbc 3b 70故答案为 70 【知识点】 6，12 17.【分析】 正八边形每一个内角度数相等，每一个外角度数也相等，利用正八边形的外角和等于360 度即可求出答案【解答】 解： 360

17、845【知识点】 14，16 18.【分析】 根据五边形的内角和等于 540计算即可【解答】 解：x+（x+30） +80 +x+（x10）（ 52） 180，解得x110 故答案为： 110【知识点】 15 19.【分析】 任意凸多边形的外角和均为 360 ，正多边形的每个外角相等即可求出答案【解答】 解： 360 409故它是正九边形故答案为：九【知识点】 16 20.【分析】 根据 1+2 的度数，再利用四边形内角和定理得出a+b 的度数，即可得出c 的度数【解答】 解： 四边形abde 的内角和为 360 ，且 1+2230 a+b360 230 130abd 的内角和为 180 c1

18、80（a+b） 180 130 50故答案为： 50 【知识点】 9,15 三解答题（共 5 小题）21.【分析】 （1）利用三角形三边关系进而得出c 的取值范围，进而得出答案；（2）根据偶数的定义，以及x 的取值范围即可求解；利用等腰三角形的判定方法得出即可【解答】 解：（1）a 4，b6 2c10故周长x 的范围为 12 x20（2）周长为小于 18 的偶数x 16 或x14 当x 为 16 时，c6；当x 为 14 时，c4当c6 时，bc，abc 为等腰三角形；当c4 时，ac，abc 为等腰三角形综上，abc 是等腰三角形【知识点】 2，3 22.【分析】 （1）利用三角形三边关系得

19、出dc 的取值范围即可；（2）利用平行线的性质得出aec 的度数，再利用三角形内角和定理得出答案【解答】 解：（ 1）在bcd 中，bc4，bd5 1dc9 cd 的长为奇数cd 的值为 3 或 5 或 7 故答案为： 3 或 5 或 7；（2）aebd，bde 125aec55又a55c70【知识点】 3，9 23.【分析】 （1）根据acd+bacb+bac90，可得acdb，再根据ae 是角平分线，可得baecaf，再根据cfe 是acf 的外角，cef 是abe 的外角，即可得到cfe 和cef 的度数；（2）根据acd+bacb+bac90，可得acdb，再根据ae 是角平分线，可得

20、baecaf，再根据cfe 是acf 的外角，cef 是abe 的外角，即可得到cfecaf+acd，cefb+bae，进而得出cfecef【解答】 解：（ 1）acb90，cd 是高，b40acd+bacb+bac 90acdb40，bac50又ae 是角平分线baecaf25cfe 是acf 的外角，cef 是abe 的外角cfecaf+acd65，cefb+bae65 故答案为： 65； 65；（2）cfe 和cef 相等，理由如下：acb90，cd 是高acd+bacb+bac 90acdb 又ae 是角平分线baecaf cfe 是acf 的外角，cef 是abe 的外角cfecaf

21、+acd，cefb+bae cfecef 【知识点】 6，7，12 24.【分析】 连接ad，由三角形内角和外角的关系可知e+ffad+eda，由四边形内角和是360，即可求a+b+c+d+e+f 360【解答】 解：如图，连接ad 1e+f， 1fad+eda e+ffad+eda a+b+c+d+e+f bad+adc+b+c 又bad+adc+b+c360a+b+c+d+e+f360【知识点】 12，15 25.【分析】 连接ac,bd, 由三角形外角和性质得eadadb+abd, abfcab+acb，bcgcdb+cbd，cdhdac+dca，代入所求式子，利用三角形内角和是180即

22、可求解【解答】 法一：解：连接ac，bd eadadb+abd abfcab+acb bcgcdb+cbd cdhdac+dca dae+abf+bcg+cdh adb+abd +cab+acb+cdb+cbd+dac+dca ( adb+ abd+ dac+ cab)+( acb+ dca + cdb+ cbd) 180+180 360法二：由平角的度数为 180 度，有：ead+ bad=180 ， ebf+ abc=180 fcg+ bcd=180 ， gdh+ cda=180 四边形 abcd 的内角和为（ 4-2 ） 180 =360 abc+ bcd+ cda+ dab=360 dae+abf+bcg+cdh =180 4 - （ abc+ bcd+ cda+ dab ） =360【知识点】 9，12， 15，16 四、附加题（共 2 小题）26.【分析】 （1）依据平行线的性质，即可得到cd，即可得到a+cb+d；（2）过a 作aebd，即可得出d+boae+oea，再根据aeo 是ace 的外角，即可得出cao+cb+d；（