初中数学第4章几何图形初步教案及试题

1、第四章 几何图形初步基础知识通关4.1 几何图形1.几何图形 ：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形. 2.立体图形 ：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在内 ，它们是立体图形 . 3.平面图形 ：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在内，它们是平面图形 . 4.展开图 ：有些立体图形是由一些平面图形围成的, 将它们的表面适当剪开, 可以展开成 . 这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 5. 点、线、面、体：（1）体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、

2、球、棱柱、棱锥几何体.几何体也简称体；（2）面：包围着体的是面；（3）线：面和面相交的地方形成线；（4）点：线和线相交的地方是点. 4.2 直线、射线、线段6.两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单说成：. 7.交点 ：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线，这个叫做它们的交点 . 8.尺规作图 ：在数学中，我们常限定用和 作图，这就是尺规作图. 9.中点 ：点 m 把线段 ab 分成 的两条线段am 与mb ，点 m 叫做线段 ab 的中点. 10.两点的所有连线中，最短 . 简单说成：两点之间，线段最短. 11.距离 ：连接两点间的，叫做这两点的距离.

3、4.3 角12.角：角也是一种基本的几何图形. 13.度、分、秒 ：（1）把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作；（2）把一度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作；（3）把 1 分的角 60 等分，每一份叫做1 秒的角，记作 . 14.角的平分线 ：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个的角的射线，叫做这个角的平分线 . 15.余角 ：一般地，如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角. 16.补角 ：类似地，如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角. 17.余角的性质 ：同角（等角）的余角 . 18.补角的性质 ：同角（等角）的补角 . 19.角

4、的运算 ：如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差. 4.4 课题学习 - 设计制作长方体形状的包装纸盒单元检测一选择题（共 10 小题）1.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的展开图，那么在原正方体中，与“神“字所在面相对的面上的汉字是（）a认b眼c确d过2.下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（）abc.d3.下列说法错误的个数为（）57.18 571048三条直线两两相交，有三个交点x0 是一元一次方程若线段 papb ，则点 p 是线段 ab 的中点连接两点间的线段，叫做两点间的距

5、离a1 个b2 个c3 个d4 个4在平面内有a 、 b、c、d 四点，过其中任意两点画直线，则最多可以画（）a4 条b6 条c8 条d无数条5下列换算中，错误的是（）a0.25 900b16524 16.09 c47.28 471648d80.5 80506.已知互为补角的两个角的差为 35 ，则较大的角是（）a107.5 b108.5 c97.5 d72.5 7.如图，在 a 、b 两处观测到 c 处的方位角分别是（）a北偏东65，北偏西40b北偏东65，北偏西50c北偏东25，北偏西40d. 北偏东 35 ，北偏西 50 8.如图， aob 130，射线 oc 是 aob 内部任意一条射

6、线， od 、oe 分别是 aoc 、 boc 的角平分线，下列叙述正确的是（）a .doe 的度数不能确定b .aod eoc c aod+ boe 65d boe 2cod 9.将长方形纸片按如图所示的方式折叠，bc 、 bd 为折痕，若abc 35，则 dbe 的度数为（）a55b50c45d6010.在图所示的44 的方格表中，记abd ， def ， cgh ，则（）ab.c.d二填空题（共 10 小题）11.下面的几何体中，属于柱体的有个12.已知角 a 的余角比它的补角的还少 10，则 a13已知： a 的余角是 52 38 ，则 a 的补角是14 计 算 ： 4859+6731

7、 211215.如图所示，在一条笔直公路 l 的两侧 , 分别有 a、b 两个小区 , 为了方便居民出行 ,现要在公路 l 上建一个公共自行车存放点, 使存放点到 a、b 小区的距离之和最小 ,你认为存放点应该建在处（填“ c”“ e”或“ d ” ） ，理由是16.已知，在直线 ab 上有一点 c，bc 3cm ，ab 8cm，m 为线段 ab 的中点， n 为线段 bc 的中点，则 mn 17.如图， aob 140，如果点 a 在点 o 的北偏东 20 ，那么点 b 在点 o 的南偏西第 17 题 图 第 18 题 图18如图， aod 135， aoc 75， dob 105，则 bo

8、c 19.正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有条棱20.已知 a、b、c 三点都在直线 l 上，ac 与 bc 的长度之比为 2 ：3， d 是 ab 的中点若 ac 4cm ，则 cd 的 长 为cm三解答题（共 5 小题）21.如图， b 、 c 两点把线段 mn 分成三部分，其比为 mb：bc ：cn 2：3：4，点 p 是 mn 的中点， pc 2cm ，求 mn 的长22.如图，已知od 平分 aob ，oe 在 boc 内，且 boe eoc ， aoc 170（1）若知 aob 70，求 eoc 的度数；（2）若知 doe 70，求 eoc 的度数23.如图，已知四点

9、a 、b、c、d，请用尺规作图完成（保留画图痕迹）（1）画直线 ab；（2）画射线 ac；（3）连接 bc 并延长 bc 到 e，使得 ceab+bc ；（4）在线段 bd 上取点 p，使 pa+pc 的值最小24.已知线段 ab m （m 为常数），点 c 为直线 ab 上一点，点p、q 分别在线段bc 、ac 上，且满足cq 2aq ，cp 2bp （1）如图，当点c 恰好在线段ab 中点时，则pq （用含 m 的代数式表示） ；（2）若点 c 为直线 ab 上任一点，则 pq 长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点 c 在点 a 左侧，同时点p 在线段 ab

10、 上（不与端点重合） ，请判断2ap+cq 2pq 与 1 的大小关系，并说明理由25.如图 1 ，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点 a 处， bac 60， dae 45，保持三角尺 abc 不动，三角尺 aed 绕点 a 顺时针旋转，旋转角度小于 180（1）如图 2 ，ad 是eac 的角平分线，直接写出dab 的度数；（2）在旋转的过程中，当eab 和dac 互余时，求 bad 的值四、附加题26.如果两个锐角的和等于 90 ，就称这两个角互为余角类似可以定义：如果两个角的差的绝对值等于 90 ，就可以称这两个角互为垂角，例如：l 120， 230， | 1 2| 90，则 1 和

11、2 互为垂角（本题中所有角都是指大于0且小于180的角）（1）如图， o 为直线 ab 上一点， oc 丄 ab 于点 o，oe od 于点 o，请写出图中所有互为垂角的角有；（2）如果有一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数27 p 是线段 ab 上一点， ab 12cm，c，d 两点分别从 p，b 同时向 a 点运动，且 c 点的运动速度为2cm/s，d 点的运动速度为 3cm/s ，运动的时间为 ts （1）如图若 ap8cm ，运动 1s 后，求 cd 的长；当 d 在线段 pb 上运动时，试说明线段 ac 和线段 cd 的数量关系；（2）如果 t 2 时，cd 1.5cm，试

12、探索 ap 的值2.同一平面3.同一平面4.平面图形6. 两点确定一条直线7. 相交，公共点8. 无刻度的直尺，圆规9. 相等10. 线段11. 线段的长度13.1 ， 1，114. 相等15.90 16.180 17. 相等18. 相等一选择题（共 10 小题）基础知识通关答案单元检测答案1 .【分析】 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“神”与“确”是相对面故选： c【知识点】 2,4 2 .【分析】 根据特殊几何体的展开图，可得答案【解答】 解： a、圆柱的侧面展开图是矩形，故 a 错误；

13、b、三棱柱的侧面展开图是矩形，故 b 错误；c、圆锥的侧面展开图是扇形，故 c 正确；d、三棱锥的侧面展开图是三角形，故 d 错误故选： c 【知识点】 2,4 3 .【分析】 依据度分秒的换算，相交线，一元一次方程的定义，线段的中点的定义、两点间的距离的概念进行判断即可【解答】 解： 57.18 571048，正确；三条直线两两相交，有一个或三个交点，错误； x0 是一元一次方程，正确；若线段 papb ，则点 p 不一定是线段 ab 的中点，错误；连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离，错误故选： c 【知识点】 7,9,11,13 4 .【分析】 没有明确平面上四点是否在同一直线上，需

14、要运用分类讨论思想. 分四点在同一直线上，当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，当没有三点共线时三种情况讨论即可【解答】 解：分三种情况：1、四点在同一直线上时，只可画 1 条；2、当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画 4 条；3、当没有三点共线时，可画 6 条所以最多可以画 6 条故选： b 【知识点】 6,7 5 .【分析】 直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案【解答】 解： a、0.25 15 900，正确，不合题意；b、16 524 165.4 16.09 ，正确，不合题意；c、47.28 47 1648，正确，不合题意；d、80.5 8030，错误，符合题意故选：d【

15、知识点】 136 .【分析】 设较大的角为 x ，根据互为补角的两个角的和等于 180 表示出较小的角，然后列出方程求解即可【解答】 解：设较大的角为 x ，则较小的角为 180 x 根据题意得， x（ 180 x） 35解得 x 107.5 故选： a【知识点】 16 7 .【分析】 根据方向角的定义即可判断【解答】 解： a 处观测到的 c 处的方向角是：北偏东 65 b 处观测到的 c 处的方向角是：北偏西 50 故选： b【知识点】 12,13 8 .【分析】 依据 od 、oe 分别是 aoc 、 boc 的平分线，即可得出 aod+ boe eoc+ cod doe 65，结合选项

16、得出正确结论【解答】 解： od 、oe 分别是 aoc 、 boc 的平分线 aod cod ， eoc boe 又 aod+ boe+ eoc+ cod aob 130 aod+ boe eoc+ cod doe 65故选： c【知识点】 14 9 .【分析】 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，bc，bd 为折痕，则 cbd 的度数为 90 ，然后根据平角的定义即可得到结论【解答】 解：一张长方形纸片沿 bc、bd 折叠 abc a bc， ebd e bd 而 abc+ abc+ ebd+ ebd 180 abc+ ebd 18090即 abc+ dbe 90 abc 35 dbe

17、55故选： a【知识点】 16 1 0 .【分析】 根据题意和图得出：dgc dcg 45 ,hgf ghf 45, 再根据 dgc+ hgf+ 180，从而得出 90，然后结合图观察出 90， 90，最后比较大小即可【解答】 解：由题意知：dgc dcg 45同理 hgf ghf 45又 dgc+ hgf+ 180 90由图可知 90， 90故选： b【知识点】 16 二填空题（共 10 小题）1 .【分析】 解这类题首先要明确柱体，椎体、球体的概念，然后根据图示进行解答【解答】 解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有第一个图形正方体、第三个图形圆柱、第五个图形六棱柱，第六个图形三棱柱共 4 个

18、故答案为： 4【知识点】 2 1 2 .【分析】 根据题意和余角、补角的概念列出方程，解方程即可【解答】 解：设 a=a 由题意得 90 a（180 a） 10，解得 a60 故答案为： 60【知识点】 15,16 1 3 .【分析】 根据一个角的补角比它的余角多 90 求解即可【解答】 解： a 的余角为： 90 a，的补角为： 180 a a 的补角比 a 的余角大 90 a 的补角为： 5238+90 14238故答案为： 14238【知识点】 15,16 1 4 .【分析】 根据度分秒加减法计算法则进行解答【解答】 解： 48 59+6731 2112 11630 2112 9518

19、故答案为： 9518【知识点】 13 1 5 .【分析】 根据两点之间线段最短可得公共自行车存放点的位置是 e 处【解答】 解：公共自行车存放点应该建在 b 处，理由是两点之间线段最短 故答案为： e，两点之间线段最短【知识点】 10 1 6 .【分析】 根据中点的定义，可分别求出 am、bn 的长度，点 c 存在两种情况，一种在线段 ab 上， 一种在线段 ab 外，分类讨论，即可得出结论【解答】 解：依题意可知，c 点存在两种情况，一种在线段 ab 上，一种在线段 ab 外 c 点在线段 ab 上，如图 1 ：点 m 是线段 ab 的中点，点 n 是线段 bc 的中点，am 4cm ，bn

20、 1.5cm， mn ab am bn 41.5 2.5cm； c 点在线段 ab 外，如图 2 ：点 m 是线段 ab 的中点，点 n 是线段 bc 的中点am 4cm ，bn 1.5cm mn ab am+bn 84+1.5 5.5cm 综上得 mn 得长为 2.5cm 或 5.5cm 故答案为： 2.5cm 或 5.5cm 【知识点】 9 1 7 .【分析】 结合图形，然后求出 ob 与西方的夹角的度数，即可得解【解答】 解：如图，根据题意得，aoc 20， cod 90 bod aob aoc cod 30点 b 在点 o 的南偏西 60故答案为： 60 【知识点】 15,19 1 8

21、 .【分析】 根据图中角与角之间的关系即可求出答案【解答】 解： aod 135， dob 105 aob aod dob 135 105 30 aoc 75 boc aoc aob 75 30 45故答案为： 45【知识点】 19 1 9 .【分析】 通过观察图形即可得到答案【解答】 如图，把正方体截去一个角后得到的几何体有 12 条棱故答案为： 12【知识点】 2,5 2 0 .【分析】 抓住 a、b、c 三点都在直线 l 上，没有给顺序也没有给图，基本确定题目多解；确定两条线段： ac 4，bc 6，画出图，根据题中的中点条件和和差关系即可解决问题【解答】 解： ac 与 bc 的长度之

22、比为 2 ：3，ac 4 bc 6 如图， c 在 ab 之间时， ab ac+bc 10 d 是 ab 的中点， ad db 5 cd ad ac 541 如图， c 在 ab 外面时， ab bcac 2 d 是 ab 的中点， ad db 1 cd ad+ac 1+4 5 故答案： 1 或 5 【知识点】 9 三解答题（共 5 小题）2 1 .【分析】 根据比例设 mb2x， bc 3x，cn 4x，然后表示出 mn，再根据线段中点的定义表示出pn ，再根据 pcpncn 列方程求出 x ，从而得解【解答】 解： mb ：bc ：cn 2：3：4 设 mb2xcm，bc 3xcm， cn

23、 4xcm mn mb+bc+cn2x+3x+4x9xcm 点 p 是 mn 的中点pn mn xcm pc pn cn 即x4x2 解得 x 4 所以， mn 9436cm【知识点】 9,11 2 .【分析】（1）可以设 boe 为 x，根据条件列方程解决，求出boe ；（2）设 boe a，则 eco 3a，根据条件列方程解决，求出boe 【解答】 解： aoc 170， aob 70 boc 100设 boe x，则 eco 3x boc boe+ eoc x+3x100 x25 eoc 25（2）设 boe a，则 eco 3a doe 70， od 平分 aob aod bod do

24、e- boe 70 a aoc 2aod+ boe+ eoc 2（ 70 a）+a+3a170a15 eoc 3a45【知识点】 14,19 2 3 .【分析】 根据直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短画图即可【解答】 解：如图所画：【知识点】 8,10 2 4 .【分析】（ 1）根据已知ab m （m 为常数），cq 2aq ，cp 2bp ，以及线段的中点的定义解答；（2）根据已知 ab m （m 为常数），cq 2aq ，cp 2bp ；（3）根据题意，画出图形，求得 2ap+cq 2pq 0，即可得出 2ap+cq 2pq 与 1 的大小关系【解答】 解 ：（1） cq 2aq

25、，cp 2bp cq ac ，cp bc 点 c 恰好在线段 ab 中点ac bc ab ab m （m 为常数）pq cq+cp ac+ bc ab+ ab ab m；故答案为：m ；（2）cq 2aq ，cp 2bp cq ac ，cp bc ab m （m 为常数）pq cq+cp ac+ bc （ ac+bc ）ab m；故 pq 是一个常数，即是常数m ；（3）如图：cq 2aq ，2ap+cq 2pq 2ap+cq 2（ap+aq ）2ap+cq 2ap 2aq cq 2aq 2aq 2aq 0 2ap+cq 2pq 1【知识点】 9,11 2 5 .【分析】（1）依据 ad 是e

26、ac 的角平分线，即可得出dae cad 45，再根据 bac 60，即可得到 dab 的度数；（ 2）分两种情况讨论，设bad ，依据eab 和 dac 互余，列方程求解即可【解答】 解 ：（1）如图 2， ad 是 eac 的角平分线 dae cad 45 bac 60 dab 60 45 15；（2）分两种情况讨论：如图，当eab 和 dac 互余时，设bad 则 bae 45， cad 60 45 +60 90解得 7.5 ；如图，当eab 和 dac 互余时，设bad 则 bae 45， cad 60 45+ 60 90解得 97.5 ；综上所述，当eab 和 dac 互余时， bad 的值为 7.5 或 97.5 【知识点】 14,