专题1数形结合思想【高考文科数学】数学思想方法含答案

1、第二讲数形结合思想1 数形结合思想， 就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1) “以形助数” ，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2) “以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确2 数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点： 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条

2、件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围3 实现数形结合，常与以下内容有关：(1) 实数与数轴上的点的对应关系；(2) 函数与图象的对应关系；(3) 以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4) 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义如等式(x2)2(y1)24，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2 为半径的圆1(2013 重庆 ) 已知圆c1：(x2)2 (y3)21，圆c2： (x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm

3、| |pn| 的最小值为( ) a52 4 b.171 c622 d.17 答案a 解析设p(x,0) ，设c1(2,3) 关于x轴的对称点为c1(2， 3) ，那么 |pc1| |pc2| |pc1| |pc2| |c1c2| 232 342 52. 而|pm| |pc1| 1， |pn| |pc2| 3，|pm| |pn| |pc1| |pc2| 4524. 2 (2011 大纲全国 ) 已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 (ac) (bc) 0，则 |c| 的最大值是( ) a1 b 2 c.2 d.22答案c 解析如图，设oaa，obb，occ，则caac，cbbc

4、. 由题意知cacb，o、a、c、b四点共圆当oc为圆的直径时，|c| 最大，此时，|oc| 2. 3 (2013 山东 ) 在平面直角坐标系xoy中，m为不等式组2xy20，x 2y10，3xy80所表示的区域上一动点，则直线om斜率的最小值为( ) a2 b 1 c13d12答案c 解析如图，由x2y10，3xy80得a(3 ， 1)此时直线om的斜率最小，且为13. 4 (2013 课标全国) 已知函数f(x) x22x，x0，lnx1，x0.若|f(x)| ax，则a的取值范围是( ) a( ， 0 b( ， 1 c 2,1 d 2,0 答案d 解析函数y|f(x)| 的图象如图当a0

5、 时，|f(x)| ax显然成立当a0 时，只需在x0时，ln(x1) ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0 使 ln(x1) ax在x0 上恒成立当a0 时，只需在x1或x1，x11x1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示根据图象可知，当0k1或 1kb.设f(x) (2x1)*(x 1)，且关于x的方程f(x) m(mr) 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 _审题破题本题以新定义为背景，要先写出f(x) 的解析式，然后将方程f(x) m根的个数转化为函数yf(x) 的图象和直线ym的交点个数答案1316，0解析由定义可

6、知，f(x)2x1x，x0，x1x，x0.作出函数f(x) 的图象，如图所示由图可知，当0m14时，f(x) m(mr) 恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3. 不妨设x1x20，且x2x3212 1，x2x314. 令2x1x14，x0，解得x134. 134x10，1316x1x2x30. 反思归纳研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法一般地，方程f(x) 0 的根，就是函数f(x)的零点，方程f(x) g(x) 的根，就是函数f(x)和g(x) 的图象的交点的横坐标变式训练1 已知：函数f(x) 满足下面关系：f(x1) f(x 1) ；当x 1,1 时，f(x

7、) x2，则方程f(x) lg x解的个数是( ) a5 b 7 c9 d10 答案c 解析由题意可知，f(x)是以 2 为周期，值域为0,1的函数又f(x) lg x，则x(0,10 ，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数由图象可知共9 个交点题型二数形结合解不等式问题例 2设有函数f(x)ax24x和g(x) 43x1， 已知x4,0 时恒有f(x) g(x) ，求实数a的取值范围审题破题x 4,0 时恒有f(x)g(x) ，可以转化为x 4,0 时，函数f(x)的图象都在函数g(x) 的图象下方或者两图象有交点解f(x) g(x) ，即ax24x43x1，变形得x24x43x1a，令y

8、x24x，y43x 1a. 变形得 (x 2)2y24(y0) ，即表示以 ( 2,0) 为圆心， 2 为半径的圆的上半圆；表示斜率为43，纵截距为1a的平行直线系设与圆相切的直线为at，at的直线方程为：y43xb(b 0)，则圆心 ( 2,0) 到at的距离为d| 83b|5，由| 83b|52 得，b6 或23( 舍去 ) 当 1a 6 即a 5 时，f(x)g(x) 反思归纳解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围变式训练2 已知不等式x2ax2a20 的解集为p，不等式 |x1|3 的解集为q，

9、若p?q，求实数a的取值范围解x2ax2a2(x2a)(xa)0. |x1|3 ?qx| 4x2当 2a0 时，px| 2ax0.解得 0a，即a0 时，px|ax2a ，p?q，a 4，2a2，a0，解得 1a0)有两个零点， 其中一个零点在区间(1,2)内，则ba1的取值范围为( ) a( ， 1) b( ， 1 c( 2,1 d( 2,1) 审题破题先根据图象确定a，b满足的条件，然后利用ba 1的几何意义两点(a，b) ，( 1,0) 连线斜率求范围答案d 解析因为a0，所以二次函数f(x) 的图象开口向上又f(0) 1， 所以要使函数f(x) 的一个零点在区间(1,2) 内， 则有a

10、0，f10，即a0，ab10.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子ba1表示平面区域内的点p(a，b) 与点q( 1,0) 连线的斜率而直线qa的斜率k1 0011，直线 4a 2b1 0的斜率为 2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以p，q连线的斜率的取值范围为( 2,1) 故选 d. 反思归纳如果等式、 代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：(1)bnam?(a，b) 、(m，n)连线的斜率；(2)am2bn2?(a，b)、(m，n) 之间的距离；(3)a2b2c2?a、b、c为直角三角形的三

11、边；(4)f(ax) f(bx) ?f(x) 图象的对称轴为xab2. 只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法变式训练3 已知点p(x，y) 的坐标x，y满足x2y1 0，|x| y10，则x2y26x9 的取值范围是( ) a2,4 b 2,16 c4,10 d4,16 答案b 解析画出可行域如图，所求的x2y26x9(x3)2y2是点q(3,0) 到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为q到射线xy10(x0) 的距离d的平方，最大值为|qa|216. d2|3 01|12 122(2)2 2. 取值范围是2,16题型四数形结合解

12、几何问题例 4已知点p在抛物线y2 4x上，那么点p到点q(2， 1) 的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为( ) a(14， 1) b(14，1) c(1,2) d(1， 2) 审题破题本题可以结合图形将抛物线上的点p到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值答案a 解析定点q(2 ， 1) 在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点p到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点p到点q的距离和点p到抛物线的准线距离之和最小时，求点p的坐标，显然点p是直线y 1 和抛物线y2 4x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(14， 1)反思归纳在几何中的一些最值

13、问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值变式训练4 已知p是直线l：3x4y80 上的动点，pa、pb是圆x2y22x2y10的两条切线，a、b是切点，c是圆心，求四边形pacb面积的最小值解从运动的观点看问题， 当动点p沿直线 3x4y80 向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形pac的面积srtpac12|pa| |ac| 12|pa| 越来越大，从而s四边形pacb也越来越大；当点p从左上、右下两个方向向中间运动时，s四边形 pacb变小，显然，当点p到达一个最特殊的位置，即cp垂直直线l时，s四边形 pacb应有唯一的最小值，此时 |pc| |3 1418

14、|32423，从而 |pa| |pc|2|ac|222. (s四边形 pacb)min 212|pa| |ac| 22. 典例(12 分) 已知函数f(x) x33ax1，a 0. (1) 求f(x) 的单调区间；(2) 若f(x) 在x 1 处取得极值，直线ym与yf(x) 的图象有三个不同的交点，求m的取值范围规范解答解(1)f(x)3x23a3(x2a) ，当a0，当a0时，由f(x)0，解得xa，由f(x)0 ，解得ax0 时，f(x) 的单调增区间为(，a) ，(a， ) ；单调减区间为(a，a) 4 分 (2) f(x) 在x 1 处取得极值，f( 1) 3( 1)23a0，a1.

15、 6分 f(x) x33x1，f(x) 3x23，由f(x) 0，解得x1 1，x21. 由(1) 中f(x) 的单调性可知，f(x)在x 1 处取得极大值f( 1) 1，在x1 处取得极小值f(1) 3. 因为直线ym与函数yf(x) 的图象有三个不同的交点，结合如图所示f(x) 的图象可知：m的取值范围是 ( 3,1) 12 分 评分细则(1) 求出f(x) 给 1 分，不写出单调区间扣1 分； (2) 只画图象没有说明极值扣 2 分； (3) 没有结论扣1 分，结论中范围写成不等式形式不扣分阅卷老师提醒(1) 解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象；(2) 解答中一定

16、要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m的取值范围1设函数f(x) 定义在实数集上，f(2 x) f(x) ，且当x 1 时，f(x) ln x，则有( ) af(13)f(2)f(12) bf(12)f(2)f(13) cf(12)f(13)f(2) df(2)f(12)|131|121| ，f(12)f(13)0.若f( 4) f(0) ，f( 2) 2，则函数yg(x) f(x) x的零点个数为( )a1 b 2 c3 d4 答案c 解析由f( 4)f(0) 得 164bcc. 由f(2) 2，得 42bc 2. 联立两方程解得：b 4，c2. 于

17、是，f(x) x24x2，x0，2，x0.在同一直角坐标系内，作出函数yf(x) 与函数yx的图象，知它们有3 个交点，进而函数亦有3 个零点3 若方程xk1x2有且只有一个解，则k的取值范围是( ) a 1,1) bk2 c 1,1 dk2或k 1,1) 答案d 解析令yxk，令y1x2，则x2y21(y0) 作出图象如图：而yxk中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解? 直线与上述半圆只有一个公共点?k2或 1k1. 4 设a，b，c是单位向量，且ab0，则 (ac) (bc) 的最小值为( ) a 2 b.22 c 1 d12 答案d 解析由于 (ac) (bc) (ab) c1，因

18、此等价于求(ab) c的最大值，这个最大值只有当向量ab与向量c同向共线时取得由于ab0，故ab，如图所示， |ab| 2， |c| 1，当0 时， (ab) c取最大值2，故所求的最小值为12. 5 当 0 x12时， 4xlogax，则a的取值范围是( ) a. 0，22b.22，1c(1，2) d(2，2) 答案b 解析由 04x0，可得 0a1，12由 4 loga12可得a22. 令f(x) 4x，g(x) logax，若 4xlogax，则说明当 022. 综上可得a的取值范围是22，1 . 6 已知p为抛物线y14x2上的动点，点p在x轴上的射影为m，点a的坐标是 (2,0) ，

19、则|pa| |pm| 的最小值是 _答案51 解析如图，抛物线y14x2，即x24y的焦点f(0,1) ，记点p在抛物线的准线l：y 1 上的射影为p，根据抛物线的定义知，|pp| |pf| ，则 |pp | |pa| |pf| |pa| |af| 22125. 所以 (|pa| |pm|)min(|pa| |pp| 1)min51. 专题限时规范训练一、选择题1 已知f(x)是定义在 ( 3,3) 上的奇函数，当0 x3 时，f(x) 的图象如图所示，那么不等式f(x) cos x0 的解集是( ) a. 3，2(0,1)2，3b. 2， 1 (0,1)2，3c( 3， 1)(0,1)(1,

20、3) d. 3，2(0,1)(1,3) 答案b 解析根据对称性画出f(x) 在( 3， 0) 上的图象如图， 结合ycos x在( 3,0) ， (0,3)上函数值的正负， 易知不等式f(x)cos x0的解集是2， 1 (0,1) 2，3. 2 已知函数f(x) |lg x| ，010，若a、b、c互不相等， 且f(a) f(b) f(c) ，则abc的取值范围是( ) a(1,10) b(5,6) c(10,12) d(20,24) 答案c 解析a，b，c互不相等，不妨设abc，f(a) f(b) f(c) ，由图象可知，0a1,1b10,10c12. f(a) f(b) ，|lg a|

21、|lg b| ，即 lg alg 1b，a1b. 则ab1，所以abcc(10,12) 3 用 mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值设f(x)min2x，x2,10 x (x0) ，则f(x) 的最大值为( ) a4 b 5 c6 d7 答案c 解析画出y2x，yx2，y10 x的图象，如图所示，观察图象， 可知当 0 x2，f(x) 2x，当 24时，f(x) 10 x，f(x) 的最大值在x4 时取得，为6. 4 函数f(x) (12)xsin x在区间 0,2 上的零点个数为( ) a1 b2 c3 d4 答案b 解析函数f(x) (12)xsin x在区间 0,2 上的零点个

22、数即为方程 (12)xsin x0 在区间 0,2 上解的个数因此可以转化为两函数y(12)x与ysin x交点的个数根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2. 5 已知双曲线x2a2y2b21 (a0，b0)的右焦点为f，若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) a(1,2 b(1,2) c2 ， ) d(2， ) 答案c 解析渐近线ybax与过焦点f的直线l平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l与双曲线的右支有一个交点，ba3，即c2a2b24a2，e 2. 6 设asin 57，b cos 27，ctan 27，则( )

23、aabcbacbcbcadbac答案d 解析asin 57sin27sin 27，又4272，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示， cos 27oa，sin 27ab，tan 27mn，cos 27sin 27tan 27，即bac. 7 不等式x2logax0在x (0 ，12) 时恒成立，则a的取值范围是( ) a0a1 b.116a1 d0a116答案b 解析不等式x2logax0 转化为x2logax，由图形知 0a0，y 2，则yx的最小值是 _答案2 解析可行域如图所示又yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. 由图知，过点a的直线oa的斜率最小联立xy1 0

24、，y2，得a(1,2) ，koa2010 2. yx的最小值为2. 10设a(x，y)|x2(y1)21 ，b(x，y)|xym0，则使a?b成立的实数m的取值范围是_答案m21 解析集合a是一个圆x2(y1)21 上的点的集合， 集合b是一个不等式xym 0 表示的平面区域内的点的集合，要使a?b，则应使圆被平面区域所包含( 如图 ) ，即直线xym0 应与圆相切或相离(在圆的下方 ) ，而当直线与圆相切时有|m 1|21，又m0，m21，故m的取值范围是m2 1. 11若函数f(x) axxa(a0 且a1) 有两个零点，则实数a的取值范围是 _答案a1 解析设函数yax(a 0且a1)

25、和函数yxa. 则函数f(x) axxa(a0 且a1) 有两个零点，就是函数yax(a0 且a1) 的图象与函数yxa的图象有两个交点由图象可知，当0a1 时，两函数只有一个交点，不符合；当a1 时，因为函数yax(a1) 的图象过点 (0,1) ，而直线yxa的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是a1. 12已知函数f(x) ex，x02x，x0 ，又ff(x) 依据yff(x) 的大致图象( 如图 ) 知，存在实数k，使得方程ff(x) k 0 恰有 1 个实根；存在实数k，使得方程ff(x) k0 恰有 2 个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有3 个不相等的实根；不存在实数k，使得方程恰有4 个不相等的实根综上所述，其中正确命题的序号是. 三、解答题13已知函数f(x) x3ax2bx. (1) 若函数yf(x) 在x2 处有极值 6，求yf(x) 的单调递减区间；(2) 若yf(x) 的导数f(x)