2018年高考数学二轮复习第一部分专题七系列4选讲第一讲坐标系与参数方程教案选修4-4

1、 考情分析 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极 坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，由于本部分在高考中考查的知识点较 为稳定，在备考时应重点关注极坐标系中直线的方程，或者求解极坐标系中曲线的某个特征值， 及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位置关系，求最值问题等本部分内容在备考中应注 意转化思想的应用，抓住知识，少做难题 年份 卷别 考查角度及命题位置 2017 I卷 直线与椭圆的参数方程及应用T 22 n卷 极坐标方程及应用T 22 川卷 参数方程与极坐标方程的应用T 22 2016 I卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方

2、程与直角坐标方程的互 化及应用T 23 n卷 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关 系，T 23 川卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最 值T 23 2015 I卷 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用T 23 n卷 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质T 23 真题自检 1 （2017 高考全国卷n ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线C的极坐标方程为 p cos 0 = 4. M为曲线C上的动点，点 P在线段OME,且满足|OM 丨OP = 16,求点P的轨迹C2的直角坐 标方程； n 设点A的极坐标为（

3、2 ,亍），点B在曲线C2上，求 OAB面积的最大值. 解：设P的极坐标为（p , 0 ）（ p 0） , M的极坐标为（p i, 0 ）（ p i0） 4 由题设知 | Op = p , | OM = p i= r. cos 0 由 I OM Op = 16 得C2的极坐标方程 p = 4cos 0 ( p 0) 因此C2的直角坐标方程为(x 2)2+ y2= 4(XM 0) 第一讲 坐标系与参数方程（选修 4 4） E 農直 / /岛考体验岛考体验 真题自检真题自检 -2 - 设点 B 的极坐标为(p B, a )( p B0). 由题设知| 0A = 2, p B= 4C0S a，于是

4、OAB面积 当a = 12 时，S取得最大值 2 + 3. 所以 OAB面积的最大值为 2+ 3. x acos t , 2. (2016 高考全国卷I )在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为* 丄 (t为 y = 1 + asin t, 参数，a0).在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： p = 4cos 0 . (1) 说明C是哪一种曲线，并将 C的方程化为极坐标方程； 直线C3的极坐标方程为 0 = a o,其中a 0满足 tan a 0= 2,若曲线 C与C2的公共点都在 C3 上，求a. 解析：(1)消去参数t得到C的普通方程为x2+ (y 1)2=

5、a2,贝U G是以(0,1)为圆心，a为半径的 圆. 将x = p cos 0 , y = p sin 0代入C的普通方程中，得到 C的极坐标方程为 p 2 2 p sin 0 + 1 a2 = 0. r 2 2 p 2 p sin 0 + 1 a = 0, (2) 曲线C, C2的公共点的极坐标满足方程组 p = 4cos 0 . 若 p 工 0,由方程组得 16 cos 0 8sin 0 cos 0 + 1 a = 0, 2 由已知 tan 0 = 2，可得 16cos 0 8sin 0 cos 0 = 0, 2 从而 1 a = 0，解得a= 1(舍去)或a= 1. 当a= 1 时，极点

6、也为 C, C2的公共点，且在 G上所以a= 1. 、 . x = 3cos a , 3. (2016 高考全国卷川)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为， (a为 斜=sin a 参数).以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 p sin i 0 + = 2 2. (1)写出C的普通方程和 C2的直角坐标方程； 设点P在C上，点Q在C2上，求| PQ的最小值及此时 P的直角坐标. 2 X o 解析：(1) C的普通方程为+ y = 1, C2的直角坐标方程为 x + y 4= 0. 3 S= J OA p B sin / AO= 4cos a |

7、sin( 3)| = 2|sin(2 a 3) | w 2 + 3. 由题意，可设点 P的直角坐标为(- 3cos a , sin a ). 因为C2是直线，所以| PQ的最小值即为P到C2的距离d( a )的最小值， 当且仅当a = 2kn+_6(k Z)时，d( a )取得最小值，最小值为 2，此时P的直角坐标为|, 2 . 方法结论 1. 圆的极坐标方程 若圆心为 M p 0, 0 0)，半径为r,则圆的方程为： p - 2 p op cos( 0 - 0 0)+ p o r = 0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r: p = r; 当圆心位于 Ma,0

8、)，半径为a： p = 2acos 0 ; 当圆心位于 Ma,牙，半径为a： p = 2asin 0 . 2. 直线的极坐标方程 若直线过点 M p o, 0 o)，且极轴与此直线所成的角为 a，则它的方程为： p sin( 0 a )= p osin( 0 o a ). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：0 = 0 o和0 = n + 0 o; 直线过点 Ma,o)且垂直于极轴：p cos 0 = a； f n、 一 直线过Mb, 且平行于极轴：p sin 0 = b. 2丿 3极坐标与直角坐标的互化方法 y O X N X 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(p， 0) 互

9、化 x = p cos 0， b0）的参数方程是 2 2 x y 椭圆b2+ ? = 1(ab0)的参数方程是 x = acos 0 , * 其中 0 是参y = bsi n 0 , x = bcos 0 , r . y = asi n 其中 0 是参0 , 直线 经过点P0（Xo, yo），倾斜角为a的直线的参数方程是 x= X+ t cos a , y= y+ t sin a , 其中t是参数. 1. （2016 高考全国卷 题组突破 ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+ 6）2+ y2 = 25. (1) 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程; 直线

10、I 的斜解析： （2）由直线 x = t cos a y = t sin a B , y= p sin x = t cos - a , y = t sin a （t为参数），1与C交于A, B两点，|AB = 10，求I 可得圆C的极坐标方程为 （t为参数），消去参数得 2 p + 12 p cos 0 + 11 = 0. y= x tan a . kx y= 0. 4 的参数方程是 由 x =p cos 加 36k 90 -8 - 整理得k2=|，解得k=5,即卩I的斜率为亠于. 2. （2017 惠州模拟）已知曲线C的极坐标方程是 p = 4cos 0 .以极点为平面直角坐标系的原点, X

11、= 1 + t cos a 极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 (t为参数) |y= t sin a (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 若直线I与曲线C相交于A, B两点，且|AB = 14,求直线l的倾斜角a的值. 2 解析：(1)由 p = 4cos B 得 p = 4 p cos 0 . 2 2 2 小 c x + y = p , x= p cos 0 , y= p sin 0 , 曲线C的直角坐标方程为 x2 + y2 4x = 0，即(x 2)2+ y2= 4. X = 1 + t cos a 2 2 2 将/ 代入曲线C的方程得(tcos a 1

12、) + (tsin a ) = 4，化简得t 2tcos y = tsin a a 3 = 0. 误区警示 |x= xo+ at 对于直线l的参数方程 (t为参数) |y= yo+ bt 易忽视只有满足a2 + b2= 1 时t才有几何意义. 极坐标方程与参数方程的综合应用 x = 4 + 3cos t 典例(2017 贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为 (其中t |y = 5 + 3si n t 为参数)，以坐标原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 G的极坐标方程为 p = 2sin 0 . (1) 求曲线C的普通方程和C2的直角坐标方程； 若A B分别为

13、曲线 C, C上的动点，求当 AB取最小值时 AOB勺面积. x= 4 + 3cos t 2 2 解析：(1)由i 得C的普通方程为(x 4) + (y 5) = 9,由p = 2sin 0得p |y= 5 + 3sin t =2 p sin 0 , 设A, B两点对应的参数分别为 t1, 11+ t2= 2cos t2， I AB = | t 1 t 2| = V 2 4t1t2= 4cos2a + 12= 14, . 2 - 4cos a = 2, cos a =冷， -10 - 将x2+ y2= p 2, y= p sin 0代入上式得C2的直角坐标方程为 x2 + (y 1) 2= 1

14、. (2) 如图，当A, B, C , G四点共线，且 A, B在线段CC2上时，| AB取得最小值， 由(1)得 G(4,5) , C2(0,1) , kCC2= 点 O到直线 GG 的距离 d= J= ，又 l AB| = l CQ| 1 3 = 4 -()2+ j - 4 = 2 4, SA0= 2dl AB = X (4 2 4) = 2 2. 类题通法 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入逍参法、加减消参法、恒 . 等式（三角的或代数的）.消参法；极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好“公式” 一般与 . 极坐标方程和参数方程有关的问题多采用化为直角坐标方程的方法，结合图形，合理转化，加以 . 求解. 演练冲关 X = 1 + cos $ （2017 沈阳模拟）在直角坐标系xOy中，直线l : y= x,圆 C： （ $为参数）, |y = 2 + sin $ 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线I与圆C的极坐标方程； 设直线I与圆C的交点为M汕求厶CMN勺面积. 解析：（1）将C的参数方程化为普通方程，得 （x+ 1）2+ （y+ 2）2= 1, / x= p cos 0 , y = p sin