信息光学透镜的位相调制和傅里叶变换性质学习教案

1、会计学1信息光学透镜的位相调制信息光学透镜的位相调制(tiozh)和傅里和傅里叶变换性质叶变换性质第一页，共29页。透镜(tujng)是一种非常重要的光学元件，其主要功能包括：成像和傅里叶变换。1）透镜(tujng)的成像功能ff2）透镜的傅里叶变换(binhun)功能 （夫琅和费衍射）f Question: Question: 透镜为什么具有这样透镜为什么具有这样(zhyng)(zhyng)的功能？的功能？第1页/共28页第二页，共29页。1.1 1.1 透镜透镜(tujng)(tujng)对入射波前的作用对入射波前的作用透镜(tujng)的复振幅透过率：,llUx ytx yU x y在旁

2、轴近似下，忽略透镜对光波振幅的影响，紧靠透镜前后的平面上产生的复振幅分布为2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxyd第2页/共28页第三页，共29页。则透镜复振幅透过则透镜复振幅透过(tu u)(tu u)率表示为：率表示为：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxyd( (常数常数(chngsh)(chngsh)项项) )( (调制项调制项) )对于常数项，它改变的是光波整体的位相分布，并不影响平面上位相的相对空

3、间分布，分析时可忽略掉。对于调制项，它改变了平面上位相的相对空间分布，能把发散球面波变换为会聚球面波。根据几何光学中介绍的透镜成像公式0111iddf( ( 为透镜的焦距为透镜的焦距) )2222011expexp22ikkjxyjxyddf第3页/共28页第四页，共29页。因此，透镜因此，透镜(tujng)的位相调制因子：的位相调制因子：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yfAnswer: Answer: 透镜透镜(tujng)(tujng)本身的厚度变化，使本身的厚度变化，使得入射光波在通过透镜得入射光波在通过透镜(tujng)(tujng)的的不同部

4、位时，经过的光程差不同不同部位时，经过的光程差不同，即所受时间延迟不同，从而使，即所受时间延迟不同，从而使得光波的等相位面发生弯曲。得光波的等相位面发生弯曲。等相位面结论结论：通过上面的分析可知，透镜对透射的光波具有位相调制的功能。但是，透镜为什么会具有这种能力呢？第4页/共28页第五页，共29页。1.2 1.2 透镜透镜(tujng)(tujng)的厚度函数的厚度函数主要考虑薄透镜的情况主要考虑薄透镜的情况 ( (忽略了折射忽略了折射(zhsh)(zhsh)效应效应) )如果进一步忽略光在透镜表面的反射以及透镜内部吸收造成的损耗，认为通过透镜的光波振幅分布不发生变化，只是产生一个大小正比于透

5、镜各点厚度的位相变化，于是透镜的位相调制可以表示为：,exp,exp,ltx yjkx yjkL x yL(x,y)L(x,y) 00,1,L x ynx yx ynx y L(x,y)是Q到Q之间的光程：则则 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数上式具有普遍意义，对于任意面形的薄位相物体，一旦知道其厚度函数(x,y)(x,y)，就可以根据该式得到其位相调制。，就可以根据该式得到其位相调制。第5页/共28页第六页，共29页。下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构(jigu)参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1

6、和R2)之间的关系。2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR 222221011101121222222022202222,11,11xyx yRRxyRRxyx yRRxyRR 仅考虑仅考虑(kol)(kol)旁轴光旁轴光2201211,2xyx yRR 将透镜一剖为二将透镜一剖为二12,x yx yx y 第6页/共28页第七页，共29页。1.3 1.3 透镜的复振幅透镜的复振幅(zhnf)(zhnf)透过率透过率根据厚度(hud)函数的表达式，可得到在旁轴近似下，光波通过透镜时在(x,y)点发生的位相延迟 0,expexp1,ltx yjkjk nx y220

7、1211,expexp12lxytx yjknjk nRR2201211,2xyx yRR 121111nfRR220,expexp2lktx yjknjxyf常数项常数项透镜位相因子透镜位相因子(n(n为透镜材料的折射率为透镜材料的折射率) )第7页/共28页第八页，共29页。以上推导的关系适用(shyng)于各种形式的薄透镜，而且是在旁轴近似条件下推导出来的。透镜的作用： 将入射平面波变换为会聚（发散）球面波 ，如下图所示。入射平面波变换为球面波，这正是(zhn sh)由于透镜具有 的位 相因子，能够对入射波前施加位相调制的结果。22exp2kjxyf第8页/共28页第九页，共29页。22

8、exp2kjxyf1）若在非旁轴近似条件下，即使透镜表面是理想球面，透射光波也将偏离理想球面波，即透镜产生(chnshng)波像差。2）实际透镜总是有大小的，即存在一个有限大小的孔径。引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限孔径，即1,0P x y透镜孔径内其他于是透镜的复振幅(zhnf)透过率可以完整的表示为：22,exp,2lktx yjxyP x yf,P x y其中，表示透镜对入射波前的位相调制；表示透镜对于入射波前大小范围的限制。第9页/共28页第十页，共29页。 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到(d do)入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。f 透

9、镜为什么具有这种功能呢？* 根本原因在于(ziy)它具有能对入射波前施加位相调制的功能，或者说是透镜的二次位相因子在起作用。 下面将具体分析一下这种作用发生的具体过程，并深入讨论透镜实现傅里叶变换的一些性质。第10页/共28页第十一页，共29页。U0UlU2dft(x0,y0)Uf 透镜后焦面上的场是透镜前端场U1(x,y)的傅立叶变换(空间频谱) 根据透镜的位相调制(tiozh)功能，透镜后端场U2(x,y)为:2221,exp2kUx yUx yjxyf从透镜后端到后焦面光(min un)的传播属于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的场U(x,y)为：221,expexp2fffff

10、kUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff ?2.1 2.1 物体放置在透镜前物体放置在透镜前d d处处第11页/共28页第十二页，共29页。后焦面上(min shn)的场分布为22112,expexp,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffxxxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面场是透镜焦面场是透镜(tujng)(tujng)前端场的傅里叶变换前端场的傅里叶变换( (空间频谱空间频谱) )。如上图所示，距离透镜如上图所示，距离透镜(tujng)(tujng)前

11、端有一物体，其透过率为前端有一物体，其透过率为t(x0,y0)t(x0,y0)。若用振幅为。若用振幅为A A的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：的平面波垂直照明物体，则物体的透射光场为：00000,UxyA t xy根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：根据角谱理论，透镜前端场的角谱为：1000,xyUx yUxyHffFF22,expxyxyHffjd ff则有：则有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyt xyHffjffF第12页/共28页第十三页，共29页。 上式具有普遍意义，它证明在物体透射场的菲涅耳衍射区内放置一透镜，在透镜的后焦面上就可以得到该透射场的

12、傅里叶变换(空间频谱)。 如果d0，物体在透镜前方，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱产生一个(y )位相弯曲。2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjd ffUxyjffF22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffff其中，T( )为透过率函数t( )的频谱。对应的强度(qingd)分布为22,fffffxyAIxyTfff（二次位相弯曲因子）（二次位相弯曲因子）第13页/共28页第十四页，共29页。 如果(rgu)d=f，物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。 如果(rgu)d=0，物体在透镜前端面，由

13、于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱也产生一个位相弯曲。第14页/共28页第十五页，共29页。222,exp,2fffffffxyAfkUxyjxyTj dddd2.2 2.2 物体放置物体放置(fngzh)(fngzh)在透镜后方在透镜后方沿光波(gungb)传播方向逐面进行计算，最终可获得透镜后焦面上的场分布为222,fffffxyAfIxyTddd对应的强度分布为第15页/共28页第十六页，共29页。总结一下： 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间(kngjin)）

14、频谱面。 如果采用球面波照明时，透镜还能进行傅里叶变化吗？那频谱面还是焦平面吗? Answer: Answer: 透镜还能其傅里叶变换作用，但是透镜还能其傅里叶变换作用，但是(dnsh)(dnsh)频谱面不再是焦平面，而是点光源的像面位置。具体推导过程可参考有关参考书，这里不再赘述。频谱面不再是焦平面，而是点光源的像面位置。具体推导过程可参考有关参考书，这里不再赘述。第16页/共28页第十七页，共29页。Pxx=f tan() x=f sin()= x=f fxffx=cos() /=sin()/ 焦平面(pngmin)上的空间位置坐标对应的频率信息第17页/共28页第十八页，共29页。2.3

15、 2.3 透镜透镜(tujng)(tujng)孔径的影响孔径的影响引入光瞳函数P(x,y)来表示透镜的有限(yuxin)孔径，1,0P x y透镜孔径内其他透镜的复振幅透过率可以表示为：22,exp,2lktx yjxyP x yf则后焦面上的光场分布为：22,exp,*,2fffffffffxyxyAkUxyjxyTPjffffff,ffxyP x yPffF其中，第18页/共28页第十九页，共29页。,xP x yrectl卷积的效果是使物体频谱图象产生某种程度的模糊，或者说失真。透镜(tujng)孔径越小，这种模糊越严重。假定透镜孔径(kngjng)是宽度为的矩形函数，即下图是物体频谱与

16、光瞳函数傅里叶变换卷积的结果。第19页/共28页第二十页，共29页。222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd220000000,exp,2ffAfkffUxyjxyt xyP xydddd 物体放置物体放置(fngzh)在透镜后方时在透镜后方时物体(wt)的透射光场为00,ffxyffPP xyddddF焦平面上的复振幅分布为其中，* 若物体被完全照明，则投影光瞳函数可从式中略去；否则，后焦面上的场分布只是部分物体的傅里叶变换，此时频谱图像产生模糊。（投影光瞳函数）（投影光瞳函数）第20页/共28页第二十一页，共29页。 物体物体(wt)放置在透镜

17、前方时放置在透镜前方时以 波矢量在y0z平面内传播的平面波分量受透镜孔径限制的情况(qngkung)来说明对于谱面光场的影响。（1）002lLd0部分的空间频率将全部成像在焦平面上第21页/共28页第二十二页，共29页。0M部分(b fen)的空间频率将部分(b fen)成像在焦平面上（2）02MlLd第22页/共28页第二十三页，共29页。02MlLdM部分(b fen)的空间频率都不能成像在焦平面上。（3）第23页/共28页第二十四页，共29页。总结一下：总结一下：（1）有限大小的透镜孔径可能会造成物体频谱的失真，原因就在于透镜实际上）有限大小的透镜孔径可能会造成物体频谱的失真，原因就在于

18、透镜实际上 是一个低通滤波器：低频成分可以通过，稍高频率是一个低通滤波器：低频成分可以通过，稍高频率(pnl)成分可以部分通过，成分可以部分通过，高高 频部分则完全被滤出。频部分则完全被滤出。（2）因此由于透镜有限孔径的影响，后焦面上不能得到准确的物体频谱，给傅）因此由于透镜有限孔径的影响，后焦面上不能得到准确的物体频谱，给傅 里叶变换结果带来误差，频率里叶变换结果带来误差，频率(pnl)越高，误差越大。我们把这种现象称为渐越高，误差越大。我们把这种现象称为渐晕晕 效应。效应。（3）采用尽可能大的透镜孔径，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。）采用尽可能大的透镜孔径，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。第24页/共28页第二十五页，共29页。光学频谱分析的基本原理就是利用透镜的傅里叶变换(binhun)性质来产生物体的空间频谱，然后对它进行测量、分析来研究物体的空间结构。上图所示为二维光学频谱分析系统的光路。S为相干点光源，L1为准直透镜，L2为傅里叶变换透镜。P1平面（L2前焦面）放置输入物体，其复振幅透过(tu u)率为t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，输出光场分布正比于物体的空间频谱，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xy