第十二讲恒等变形乘法公式

1、第十二讲恒等变形（ 2）乘法公式实验班1. (2000 年重庆市初中竞赛题)(1-1) ·(1-1) (1-112 )等于()2219992 )(1-2320001999B20011999D2001A 2000C400020004000解：原式（1 1 ）（1 1 ）（1 1 ）（ 1 1 ） （11 ）（11）（ 11）（ 11）22331999199920002000 1324.199820001999200120012233199919992000200040002.(第 13 届希望杯全国数学邀请赛试题)已知 a+1a41=_ ， a41=-2, 则a4a4 =_ a解：由

2、a+122 a=-141a41=-2，去分母得：a +1+2a=0 ，即 (a+1) =0因此， aa4 =2a4 =0a3. (山东省竞赛题 )若正整数x，y 满足 x2y2 =64，则这样的正整数对(x,y)的个数是 () (A)1(B)2(C)3(D)4解： B。由 x2y2( x y)( x y) 64164 232 416 88x y 64x y 32x y 16x y 8则有方程组x y 1ororor；x y 2x y 4x y 8x17x10解之且由于 x， y为正整数，得到or6y15y4. (2002 年全国初中竞赛题)已知 a=1999x+2000 ，b=1999x+20

3、01 ，c=1999x+2002, 则多项式a2+b 2+c2 -ab-bc-ac的值为（）A.0B.1C.2D.2解： a2+b2+c2-ab-bc-ac=1( 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=1 (a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2 ,22又 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,原式 =1 (2000-2001) 2+(2001-2002)2+(2000-2002) 2 =1×(1+1+4)=322（2003年重庆市初中数学竞赛试题)若 x13 ，则x2的值为()5xx4x21A.10B 8C 1110D 8x

4、4x2 1121x21x1，故原式 =解： Dx2x21 88x6有 10 位乒乓球手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用 xl， yl 顺序表示第一号选手胜与负的场数；用x2， y2 顺序表示第二号选手胜与负的场数；用 x10,y10 顺次表示第十号选手胜与负的场数求证： x2x2.x2y2y2 .y2 .12101210解：由题意知： xi+y i =9(i=1,2,且+x10=y 1+y2+y 10.,10) x1+x2+因（ x12+ x22+ +x102） -( y12+ y22+ + y102)=( x12- y12)+( x22- y22)+ +( x102- y102)=(x

5、l+ yl ) (xl- yl)+(x 2+y2) (x2-y 2)+ (x10+ y10) ·(x10-y10)=9 (x1 +x2+x10)-( y1+y 2+y10) =07（希望杯训练题）已知a-b=4,ab+c 2+4=0，则 a+b=()A4B0C 2D-2解： B. 将 a=b+4 代入 ab+c 2+4=0，得到 (b 2) 2c208 (2001 年天津市选拔赛试题) 已知 x2y2z22x4 y6z140 则 x+y+z=_ 解： 2. 由于 x2y2z22x4y 6z14( x1)2( y2) 2( z3)20 ，得到 x 1, y 2, z 3龙班1.(第 1

6、3 届希望杯全国数学邀请赛试题1=-2, 则 a41=_ ， a41)已知 a+a4a4 =_ a解：由 a+1，去分母得：22 a=-141a41=-2a +1+2a=0 ，即 (a+1) =0因此， aa4 =2a4 =0a2. (2002 年全国初中竞赛题)已知 a=1999x+2000 ，b=1999x+2001 ，c=1999x+2002, 则多项式a2+b 2+c2 -ab-bc-ac的值为（）A.0B.1C.2D.2解： a2+b2+c2-ab-bc-ac=1( 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=1 (a-b)2+(b-c) 2+(a-c) 2 ,22又 a=19

7、99x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,1 (2000-2001)2221原式 =+(2001-2002)+(2000-2002) =×(1+1+4)=3223（ 2003 年重庆市初中数学竞赛试题)若x13，则x2的值为()xxx421A.10B 811C D 108x4x2 1121x21x118 ，故原式=解： Dx2x2x84（ 2002 年全国初中竞赛题）设a b 0 , a2+b2 =2.5ab,则 ab的值为（）abA.1.5B.3.5C.2D.3解： a2+b2=2.5ab, (a+b)2=4.5ab (1), (a-b) 2=0.5ab

8、 (2), a<b<0, ab>0,a+b<0,a-b<0, ab0(1) 得3.ab(2)5有 10 位乒乓球手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用 xl， yl 顺序表示第一号选手胜与负的场数；用x2， y2 顺序表示第二号选手胜与负的场数；用 x10,y10 顺次表示第十号选手胜与负的场数求证： x2x2.x2y2y2 .y2 .12101210解：由题意知： xi+y i =9(i=1,2,且+x10=y 1+y2+y10.,10) x1+x2+因（ x12+ x22+ +x102） -( y12+ y22+ + y102)=( x12- y12)+( x

9、22- y22)+ +( x102- y102)=(x l+ yl ) (xl- yl)+(x 2+y2) (x2-y 2)+ (x10+ y10) ·(x10-y10)=9 (x1 +x2+x10)-( y1+y 2+y10) =06（希望杯训练题）已知a-b=4,ab+c 2+4=0，则 a+b=()A4B0C 2D-2解： B. 将 a=b+4 代入 ab+c 2+4=0，得到 (b 2) 2c207 (2001 年天津市选拔赛试题) 已知 x2y2z22x4 y6z140 则 x+y+z=_ 解： 2. 由于 x2y2z22x4y 6z14( x1)2( y2) 2( z3)

10、20 ，得到 x 1, y 2, z 3(2003年河北省竞赛题)已知a满足等式2，求代数式 a87a 4 的值8a -a-1=0解：由已知得到 a a 11，推出 a2a 23,a4a 47 ，所以 a87a 4a 4 (a4a 4 ) 7a 4 1 =48。竞赛班1.(第 13 届希望杯全国数学邀请赛试题1=-2, 则 a41=_ ， a41)已知 a+a4a4 =_ a解：由 a+1，去分母得：22 a=-141a41=-2a +1+2a=0 ，即 (a+1) =0因此， aa4 =2a4 =0a2. (2002 年全国初中竞赛题)已知 a=1999x+2000 ，b=1999x+200

11、1 ，c=1999x+2002, 则多项式a2+b 2+c2 -ab-bc-ac的值为（）A.0B.1C.2D.2解： a2+b2+c2-ab-bc-ac=1( 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=1 (a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2 ,22又 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,1 (2000-2001)2221原式 =+(2001-2002)+(2000-2002) =×(1+1+4)=3223（ 2003 年重庆市初中数学竞赛试题)若 x13 ，则x2的值为()xx2x41A.10B 8C 1D 1108x4

12、x2 1x2121 8，故原式 = 1解： D1x1x2x2x84（ 2002 年全国初中竞赛题）设22a b 0 , a +b =2.5ab,则ab的值为（）abA.1.5B.3.5C.2D.3解： a2+b2=4ab, (a+b) 2=4.5ab(1) , (a-b) 2=0.5ab(2) , a<b<0, ab>0,a+b<0,a-b<0, ab0(1) 得 3.ab(2)5（希望杯训练题）有10 位乒乓球手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用 xl ，yl 顺序表示第一号选手胜与负的场数；用x2， y2 顺序表示第二号选手胜与负的场数；用 x10,y10

13、顺次表示第十号选手胜与负的场数求证： x12x22.x102y12y22 .y102.解：由题意知： xi +y i =9(i=1,2,且+x10=y 1+y2+y10.,10) x1+x2因（ x12+ x22+ +x102） -( y12+ y22+ + y102)=( x12-y12)+( x22- y22)+ +( x102- y102)=(x l+ yl ) (xl- yl)+(x 2+y2) (x2-y 2)+ (x10+ y10) ·(x10-y10)=9 (x1 +x2+x10)-( y1+y 2+y10) =06（希望杯训练题）已知a-b=4,ab+c 2 +4=0，则 a+b=()A4B0C 2D-2解： B. 将 a=b+4 代入 ab+c 2 +4=0，得到 (b 2) 2c207 (2001 年天津市选拔赛试题