小学奥数─工程问题分类讲解

1、小学奥数工程问题分类讲解工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申及补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下

2、几方面：具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；学会画线段示意图线段示意图能直观地揭示“量”及“百分率”之间的对应关系，发现量及百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件及问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；学会多角度、多侧面思考问题的方法分数、百分数应用题的条件及问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方

3、程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出及所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案一般情况下，工程问题求的是时间熟练掌握工程问题的基本数量关系及一般解法；（1） 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；（2） 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（3） 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用例题精讲一、 周期性工程问题【例 1】 一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？【考点

4、】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】 甲小时完成整个工程的，乙小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的，甲、乙各干小时后完成整个工程的，还剩下，甲再干小时完成整个工程的，还剩下，乙花小时即分钟即可完成所以需要小时分钟来完成整个工程【答案】小时分钟【巩固】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，甲、乙如此交替下去，则完成该工程共用_小时。【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2019年，希望杯，第六届，五年级，一试【解析】 甲乙合做1小时后，还剩下：，甲乙单独做2小时，共做，还需要做2×

5、;5=10小时，还剩下，需要甲做1小时，还有，乙还需要做小时，一共需要1+10+1+ 0.25=12.25小时【答案】天【例 2】 一项工程，乙单独做要天完成如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工问：甲单独做需要几天？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流做的天数，及题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的如果设甲、乙工作效率分

6、别为和，那么，所以，乙单独做要用天，甲的工作效率是乙的倍，所以甲单独做需要天【答案】天【巩固】 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】 根据题意，有：，可知，甲做小时及乙做小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量所以，乙单独工作需要小时【答案】小时【例 3】 蓄水池有一条进水管和一条排水管要灌满一池水，单开进水管需小时；排

7、光一池水，单开排水管需小时现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水的顺序轮流各开小时问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答【解析】 法一：小时排水比小时进水多，说明排水开了小时后（实际加上进水3小时，已经过去小时了），水池还剩一池子水的，再过小时，水池里的水为一池子水的，把这些水排完需要小时，不到1小时，所以共需要小时小时分法二：小时排水比小时进水多，说明小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，排一池子需要小时，排一池子水的需要小时，所以实际需要小时小时分【答案】小时分【巩固】 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一

8、池水，单开甲管需小时，单开丙管需要小时，要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丁管需要小时，现在池内有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的顺序轮流打开小时，问多少时间后水开始溢出水池？【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开小时可进水：，循环次后水池还空：，的工作量由甲管注水需要：(小时)，所以经过小时后水开始溢出水池【答案】二、 水管问题【例 4】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满乙单独开几小时可以灌满？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于甲、乙和

9、乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水可以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为：，所以整池水由乙管单独灌水，需要（小时）【答案】小时【巩固】 某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放小时【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】

10、解答 【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小所以，乙开放的时间为(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时【答案】4小时【例 5】 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5

11、15; 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水及新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出

12、池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【答案】54分钟【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空如果打开7个出水口，18小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空【考点】牛吃草问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】对比思想方法【解析】 本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：，半池水的量为：，所以一池水的量为72如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为小时，即7小时12分钟【答案】小时分钟【例 6】 一个水箱，用甲、乙、丙三

13、个水管往里注水若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍则该水箱最多可容纳多少吨水？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间及乙管注入27吨水的时间比是那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水吨所以该水箱最多可容纳水吨【答案】吨【巩固】 一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入吨

14、水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入吨水时，水箱才满已知乙管每分钟注水量是甲管的倍，则该水箱注满时可容纳吨水【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 方法一：乙注入40吨水的时间相当于甲注入吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为，那么，乙注40吨水丙可注水量为，所以，解得，（吨）为水箱容量。方法二：如果只打开甲、丙两管，注满水时甲管注入了30吨水；如果只打开乙、丙两管，注满水时乙管注入了40吨水由于乙管每分钟注水量是甲管的倍，所以在甲管注入30吨水的时间内，乙管可以注入吨水，而在只打开乙、丙两管的情况下乙管共注入了40吨水，可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、

15、丙两管所用时间的倍可以假设打开乙、丙两管的情况下丙管注了吨水，则打开甲、丙两管的情况下丙管注了吨水，所以有，得到，所以水箱注满时可容纳吨水在得到第一种情况所用时间是第二种情况所用时间的倍之后，可以假设第二种情况此时乙、丙两管继续注水，总时间为注满水所需时间的倍，也就是及第一种情况所用时间相同此时，注入的水量也是水箱容积的倍，即比第一种情况多了倍然而此时注水时间相同，所以丙管注入的水量相同，乙管则注入吨水，比甲管多注了吨，所以这15吨就是水箱容积的，那么水箱容积为吨【答案】吨【例 7】 放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时打开1，3号阀门，则15分钟可以完成；如果

16、单独打开1号阀门，则20分钟可以完成；那么，如果同时打开1，2，3号阀门，分钟可以完成。【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2009年，学而思杯，6年级【解析】 单独打开1号门，20分钟可以完成，说明1号门每分钟完成，而同时打开1、2号闸门12分钟可以完成，说明2号闸门每分钟完成，而现在同时打开1、3号闸门，15分钟可以完成，说明3号闸门每分钟完成，则同时打开1、2、3号闸门，需要分钟。【答案】分钟【巩固】 放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同

17、时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据条件，列表如下（画表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：1号2号3号4号工作效率××××从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：，那么同时打开这4个阀门，需要（分钟）【答案】分钟三、 比例法及工资分配问题【例 8】 有一项工程，有三个工程队来争夺施工权利，已知甲乙丙三个工程队都是工作时间长短来付费的，甲、乙两队合作，天可以全部完工，共需要支付元，由乙、丙两队合

18、作，天可以完工，共需要支付元，由甲、丙两队合作，天可以完成，共需要支付，如果该工程只需要一个工程队承建，如果只能一个队伍单独施工，那么最快的比最慢的会早完工_天.需要支付速度最快的队伍_元. 【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2019年，学而思杯，5年级【解析】 甲乙丙的工效和为，所以甲的工效为，乙的工效为，丙的工效为，所以从时间上考虑，应该选择甲，会比丙早完工天，同样的道理，甲乙丙的每日工资之和是 （元），所以甲的每日费用为（元），乙的费用为（元），丙的费用为（元），所以需要支付速度最快的队伍（元）【巩固】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资按两队原计

19、划的工作效率，乙队应获5040元实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元那么两队原计划完成修路任务要多少天？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 开始时甲队拿到元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天才能完成任务有，化简为，解得工程总量为，所以原计划天完成【答案】天【例 9】 一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数

20、之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天? 【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：；且易知甲的工作效率为又乙、丙工作的天数之比为(+)：=2：1，所以有阶段和阶段所需的时间相等即甲、乙合作完成的的工程及甲、乙、丙合作完成的工程所需的时间相等所以对于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=又有乙、丙的工作效率的比为3：5易知乙的工作效率为丙的工作效率为：那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：天.方法二：显然甲的工作效率为设乙的工作效率为，那么丙的工作效率为所以有乙工作的天数为丙工作的天数为且有即解

21、得所以乙的工作效率为丙的工作效率为高那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：天.【答案】天【巩固】 某工地用种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方的路程之比为，三种车的辆数之比为工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务那么，甲种车完成的工作量及总工作量之比是多少？【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2019年，二中【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为，速度之比为，所以它们运送次所需的时间之比为，相同时间内它们运送的次数比为：在前天，甲车只有一半投入使用

22、，因此甲、乙、丙的数量之比为由于三种卡车载重量之比为，所以三种卡车的总载重量之比为那么三种卡车在前天内的工作量之比为：在后天，由于甲车全部投入使用，所以在后天里的工作量之比为所以在这天内，甲的工作量及总工作量之比为：【答案】【例 10】 一项工程，甲、乙两队合干需天，需支付工程款元；乙、丙两队合干需天，需支付工程款元；甲、丙两队合干需天，需支付工程款元如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙一天完成工程的；乙、丙一天完成工程的；甲、丙一天完成工程的所以，甲的工效为；乙的工效为；丙的工效为甲、乙一天需工程款(元)；乙、丙一天需工程款

23、(元)；甲、丙一天需工程款(元)所以，甲一天的工程款为(元)；乙一天的工程款为(元)丙一天的工程款为(元)单独完成整个工程，甲队需工程款(元)；乙队需工程款(元)；丙队需工程款(元)所以应该选择乙队【答案】乙队【巩固】 甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2019年，清华附中【解析】 根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为；乙、丙两人的

24、工作效率之和为；甲、乙、丙三人的工作效率之和为分别可求得甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，则甲完成的工程量为：，乙完成的工程量为：，丙完成的工程量为：，三人所完成的工作量之比为所以，甲应得元，乙应得元，丙应得元【答案】甲应得元，乙应得元，丙应得元【随练1】 为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注满。则当池水注满，并且关闭进水管及出水管时，经过小时池水就会漏完。【考点】工程问题 【难度】4星 【

25、题型】解答【关键词】希望杯 【解析】 设满水池水位单位“1”，水池漏水相当于一个工作效率为的出水管，因此关闭进水管及出水管，经过84小时池水就会漏完【答案】84小时【随练2】 公园水池每周需换一次水水池有甲、乙、丙三根进水管第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用_小时【考点】工程问题 【难度

26、】4星 【题型】解答 【关键词】2019年，迎春杯，高年级，初赛【解析】 考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌满，按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起灌用20分钟所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满甲灌1个小时的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水所以灌水速度甲乙丙，也就是甲刚好是平均数所以只用甲管灌满需要7小时【答案】7小时【随练3】 一项工程，若请甲工程队单独做需个月完成，每月要耗资万元；若请乙工程队单独做此项工程需个月完成，每月耗资万元请问甲、乙两工程

27、队合作需几个月完成？耗资多少万元？现要求最迟个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的、，那么甲、乙合作所需时间为：个月；甲、乙合作个月所耗资金为：(万元)甲工程队完成全部工作要耗资万元，乙工程队完成全部工作要耗资万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程做个月，甲工程队做个月，即：甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独

28、做个月【答案】万元 甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月【作业1】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 若甲、乙两人合作共需多少小时？（小时）甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？余下的由甲独做需要多少小时？（小时）共用了多少小时？ （小时）在工程问题中，转换条件是常用手法本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时这样先算一下一共进行了多少个这样的2小

29、时，余下部分问题就好解决了【答案】小时【作业2】 一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙用的时间应及第一种做法相同，不会多小时，及题意不符所以第一种做法的最后一小时是甲做的，第二种做法中最后小时是甲做的，而这小时之前的一小时是乙做的，所以乙甲甲，得乙甲甲、乙工作效率之和为：，甲的工作效率为：， 所以甲单独做的时间为(小时)【答案】小时【作业3】 一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需_天。【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2019年，希望杯，第六届，六年级，