直接法和二维Toda格方程的周期解

1、学校代码:11517学 号：201311002242fehan ihetitufe cf ensheerins毕业论文题 甘 直接法和二维toda格方程的周期解学生姓名专业班级信息与计算科学1342学 号 201311002242院（部）理学院指导教师（职称） （副教授）完成时间2017年5月26日摘要1第1章绪论2第2章二维toda格方程的双线性形式3第3章一维周期波解和渐进性43.1 一维周期波解43.2单周期波解的渐近性6第4章双周期波解及其渐近性74.1构建双周期波解74.2双周期波解的渐近性9致谢12参考文献13直接法和二维toda格方程的周期解摘要hirota双线性方法被用来直接构

2、造周期波解依照riemann theta函数（2+1） -1 维toda晶格方程。对周期波的渐进性进行详尽的分析，包括单周期解和双周期解。 并绘制解的曲线来分析此解，结果表明可以从周期波解中减少公知的孤子解。 关键词：r i emann theta函数周期波解一种直接方法第1章绪论1.1选题的背景和意义众所周知，有很多成功的方法来构造微分方程的显式解，例如：散射变换、 darboux变换、hirota直接法、algebra-geometrical方法等等。准周期性解或 algebra-geometrical解町以借助于algebra-geometrical方法获得，然而他们解的 形式复朵可以借

3、助丁黎曼曲面和abel-jacobi函数。hirota直接方法提供了一个强 有力的方法來构造非线性方程的精确解，一旦通过因变量变换以双线性形式写入非线 性方程，则可以获得多孤子解和有理解。nakainum在1979年和1980年提出了单周 期波解和基于hiorta的双周期波解,借助riemann theta函数。其中得至！j kdv和 boussinesq方程的周期解，这种方法的重要优势在dai et al首次被证明。对于kp 方程，可以明确地绘制解分布图，并h通过使用合适的渐近极限，可以从准周期解推 导多分散解。这种程序在dai et al中有介绍，并被其他作者用來研究用大量孤了 方程来构造

4、准周期性解。12国内外发展现状关于toda晶格问题已经进行了大量的调查研究。nakamura研究关于（3+1） -维tode方程，此方程的解是一系列的bessell函数的级数展开式的表达式形式。 krichever和vaninsky得到了周期和开放toda晶格之间的关系。此外 algebra-geometrical方法关于开放toda晶格是发展的。对于开放toda格代数几何 方法的开发，基于李超代数方法，这是超级toda品格和超kdv方程有一定关系发 现.baleanu和baskal讨论了个lax方程的张量形式和cartan挠率张量的儿何形式 存在的透明。此外，给出了 toda晶格的lax张量

5、方程的解。baleanu等人提出了 killing张量和lax算子z间的联系，并详细分析了 toda晶格方程的应用，ito和 locke研究了仿射toda场方程，并得出了一些有趣的解。mohmood通过使用darboux 变换得到nc painleve方程的准决定性解，其中toda解在n二1处。klein和roidot 提出了对于双曲线和椭鬪形情况的波长极限（2 + 1）维度toda的数值研究。wu等 人将离散小数演算的工具引入到扩散问题的离散建模屮，并且提出了在caputo方法 小的小数时间离散扩散的模型李构建了一个新的q变形的toda层次的双线性方程和 tau函数的sato理论。此外，详细

6、研究了多组分延伸作者研究了周期性todo链的动 力学的渐近线，其屮具有大量等质量的粒子的初始数据接近平衡。wu等人提出了晶 格分数扩散方程，并且作为应用，讨论了各种差分阶数。1. 3课题理论基础介绍对丁二维toda品格方程：u （t, y, n） + i% （x, y, n） + 八（"曲）+ 昇（“门）_ 2昇（"“）=0（1.1）nakamura 31发现新的类型精确解（rippion解，新的解反映了系统的基本多维度 的影响事实上，方程（11）是修止拉普拉斯方程的离散化形式。（参考【31】）% + 叫-仏二 0（1-2）在本文屮，我们釆用了戴等人捉出的方法，【13】在方

7、程（1.1）的riemann（）函 数中直接构造周期波解通过进行合适的渐近分析，获得并导出单周期和双周期解。此 外，我们绘制一些解的曲线來详细分析解。1.4本文结构木论文的结构如下，在第二章中，我们得出了 2dtoda格方程的双线性形式。在 第三章中给出了一阶周期波解和渐近性。在第四章中，我们得到双周期波解及其渐近 性。类似于第三章，虚部的一些解曲线将被丢弃。第2章二维toda格方程的双线性形式我们考虑方程u (丸，y, n) + iu,. y, n) +心“】)+ &一心儿门)_ 2不咻'以)=0 (2.1) xx )“)通过作如下变换：e一心y,) _ =(逝 + in f

8、 (% y,刀),(2.2)方程(2.1)具有双线性形式：gj = k .x + co t + /z /?, j = 1, 2g 电,dy, cosh d ) f (x, y,n-f (xy y, /?)(2.3)三 d； + idy 一 2conshd, + 2 + c f (x, y, n) f (x, y, /?) = 0其中c = q (/?) / + q (刃)y + c：< (刀)，这是由于积分的结果。在文献4中对hi rota双线 性微分算子做了如下定义：(x, y) b (x, y)三(久一 da (x, y) x 6 (”, y) x = x, y' = y,差

9、分运算符被定义为：化-=碍+/+1；臼a bn = %少屮,conshda bn = £ 呼 + 严、a bn = * (备如 + vi+i)从hirota算了的定义我们可知关系：d：d；e« 戾=(占一 k$ (5 - co2)f eg其屮.=k.x + cot + p n, j = 1,2此外，我们很容易推导出关系：conshd 占' 决 二 consh (一 /z2) e2,(2.4)g g, dt, conshd j 訥 e盒=g (k、+ kv co _ 0,-/2) e,(2.5)第3章一维周期波解和渐进性3.1 一维周期波解我们假设2d-toda格方程

10、的双线性形式的riemann theta函数解为：f =乞严(3.1)k=-g其中&二(a,k v), § 十,，c) 是一个对称矩阵，him r > 0, . = pjx + ly + 严 + & j = 1,，“我们考虑n“的情况，则(3.1)变为：龙)+2/r,(g,&) e,(3.2)为了使上述形式可以成为一个解，p, i, “可以不是独立的，我们继续找到他们的关系 将(3.2)代入(2,3)再用(2,4)(2.5)我们可以得到：8df f =,conshdn） exp q兀ikgk隈8= 工 gdr, conshd、exp fjrikg + 兀

11、ik% exp aam=-<x>8 .=2 g 2ki（2k 一 /） p, +2ttj（2k 一 /）厶 conshw=-8g =2 c exp（2龙加“）=0,w=-<»a.r=-«>+ 7tikt exp q兀ik运 + 龙 wu）（2丹（刃一約歹 + 兀i （z?7 - k）" rj2兀/（2& -加）“） exp（2龙力“ + 兀i k2 +仏-心寸）其屮引入了新的求和指数mk + k, g （m）被定义为:oog （加）二工 g（2龙,（2zr 加）/?, +27t1（2k 一 /）厶 consh 17ti 2k 一 刃

12、）k 一（3.3）2 exp ni k2 +（k - /）在等式（3.3）中，令&二"+ 1 ,我们可以得到：oog （加）= £ °（2龙/（2/ - （/ - 2） p, 2jti（2kf - （/ - 2）厶 consh 17ti（2az - （/ - 2） ） a-=-oo”2 +（&，_ （加 _ 2） exp 7ti=j （仍一 2）exp 2ni - 1） r _ g（0）c"w, '是偶数 一 l界5"打是奇数（3.4）这个关系意味着如果有（0）= gl） = 0,此时就有（/'通过这种方式，我们

13、可以得出：0, g zoog（0）= £16沪川（xp? +川）+ 4 sinh"（2龙/“斤）+ c expoo（2疋姑= 0, （3.5）（1） = 1 4才（2 1）2 （ oo 1'k2 + （a - i）2） r| = 0,xp2 + 才）+ 4 sinh2（2龙7“（2k 一 1） + coo（3,6）exp 7t1表示q （a） = exp（2龙,处）,氏蛀）=exp 7ti k2 +z 4沪（2k- l）2 g ,k=y也,角2 = e 4 ,oo oob、= 2 4 sinh?（2肝“£）q ,a21k=-gk=-gk=y那么等式（3.5

14、）-（3.6）简化为：an （“2 + y/2） + w + q = 0,（3.7）日21 （®2 + 尸尸）+ 臼22° +=0，（3$）解决系统，我们冇xp2 +y/2 =加22 -也2（3.9）a2a2 3022日22 二工爲，2 =工彳 sinh?（2-7（2k - 1） ） 5.（a）,切1一如21（3.10）*21*12 *11*22系数p，i和u需要满足（38），并且比照着（3.2）和（2.2）给出单周期解。32单周期波解的渐近性众所周知,2d toda格方程的的孤子解可以作为周期解的极限。为此，我们将q = exp kit 和极限写为<7 > 0

15、 （或e > 8 ） o定理1当q t 0时，（21）的周期解（3.1）倾向于通过（2.2）的孤子解。戶）_ 1 =（胡；+ ysmln r = 4沪（” +4 + 2cos22,（3.n）其中刀2 + if且 =px + ly + /jn + 7（）（1 + 2 cos 2则）证明指出g = exp龙/勺时，此时定义的量化在q的幕中扩展为:©i 二 16矿（2g" + 8</8 + ）,日12 = 1 + 2qz + 2（f + ,b、= 财 sinh2（2龙了“）+ 8qs sinh2（4兀“）+ 色=*兀'q + 72兀勺"+日22 =

16、2q + 2q。+ 213 + ,b° - 8 sinh?（2龙/）q + 4 sinl?（6肝“）/+,日021 _ a22a i = 8亍q - 48龙勺"+ o （q"）,方022 _ 力2角2 = _切 sinh2（2兀,“）+ o （q）,力2曰口 _ 代备 =192/ sinh2（2龙*/） + o （g?）,此时，当q > 0时，有c > 0,因此p2 + i 卩- sinh2（2肝“）sir?（2%）单周期波解(21)当q t 0收敛到巧=1 + exp-2"+ expm+/+ fx = 2兀ip exp伽亦expfgmf =

17、 一4龙分（nxx尸 exp-2m+e+ exprw）fnv =2/（exp35"”_expr+）, （3.12）fnvv = -4272 (exp-2m+经过一些繁琐的计算，我们得出(3.11)第4章双周期波解及其渐近性在下文中，我们考虑了 (2 + 1)维toda晶格方程(2.1)的双周期波解，它是单周期波解的 二维推广。4.1构建双周期波解现在我们来构建2d toda格方程的双周期波解。令式(3.1)屮的设n = 2并将具代入式(2.3) 中，我们有/） exp（2龙,歹,占 + & ） + kig （/ f） = x g（2 , d严cosh比¥叭心丛叭吨.

18、产仏mg虫） k,k2ez2= 2 g 271 i 仇 一 kv 0,2兀i 仏- kr/<9k2ez2 xexp（2龙：k十 7ii rk k2 +确,£）oo二工工 g（2頁（2k 一 s： p） , 2兀i2占-s： 7）sgz2 s'=yx exp 兀i (占一 s'), kx - s) + gk、, k exp(27§, s') 三工 j (略 s；) exp 2兀is') = 0, (4.1)sez2其中引入了新的求和指数占+ k2 = s' , /(吊)被定义为：g（s；fs!2） = £ g（2加2占-

19、 5； p） 2兀i（2k； - s： 7）k9/c2e-x exp 7ii（a-s'）' k - s ,确,占）（22=z g 2乃工（2a； - （z- 2右）匕,2谆（2a； -（z - 2讪 心,倂-8 j=1j=1丿x exp 7ti f r（aj + 巧7） tyj & + 巧/） + （6 - 26j-勺）+ 巧j x tjk 匕 - 23jt -勺）+ 8 jj=1 l（4.2）g （s" _ 2 s'） &加（x7斤i+2兀罔可2g （s' s' 2）（52 _1）r22 +2；r/xri2这种关系意味着，如果

20、g(0, 0)= j(o,l) = j(l,0)=(1,1) = 0,%，s； e z士一 u / ni（tn-m,n-rnnitm,n表不0,（刀j = e v丿、''xp； + y7,2 xp； + yi； xpr + yu在这里)=(o,o)皿=(i,o),/=(o,i),屮)=(1,1),并且矩阵a和向量b的元素 是：-z 4兀2（2q -时）巧（切,;pn2=-°°兮3 = e （m-加）（2勺-坊）s.（刀）z2|in2=-oo=-s 4沪（2q x）（2q -对）2 （切，卫2=_8oo% = z巧，竹,n2 =oo* = 一4 £

21、（sinh 兀i（2n _ in, （刀），“ =疋xp； + x牛,xpg + ylxl2,（4.3）其中 = det ay并且4,九、a-1是从替换列1.4为b42双周期波解的渐近性2d toda格方程的双孤了解可以作为双周期解的极限来获得。定理2假设1 v斤v2和1 v2是满足0和|入to的常数（卞面给出人，入的定义）.那么等式（2.1）的周期解（3.1）通过等式（2.2）趋向于孤了解.严 一 1 =（呵.+ yd；） in fn =（莎2 +比2）（1 + / +評2认+2址21 + 小 + / + /+%+血）1 + &2恥血+ /+血1 + / +沪+禺+血）2i 2 （勿

22、观+辺乙1 +丿+凱+ /+帀2+血并限制” + il： = sinh2 必，（4.5）-2,（exp匸- 珂牙+0；）-尸（尸+乃）+ 2（妙观+7舅）+ 2 sinh （必必 （a2 + 0；） - y （z2 + 腐）- 2 （厲2 + 庖2） + 2 sinh （几一必）一 2其屮 人2 = 2兀 通过数量來证明：7 = bjx + -y + fijn + %pj = 271 ip.,70y - 2兀i% + jvcjj, j = 1, 2 = er",易-护 兔=严呢,我们以下列形式扩展了双周期波解（3.1） （n = 2）：£ = 1 + exp（2龙功+ 兀）

23、 + exp -2兀i% + 龙fq） + exp（2龙力7, + 兀）+ exp （一2龙力；2 + 龙） + 旳（27vi 仇 + “?） + 龙'（斤i + 2兀 + 切）+ exp （一2肝（7 + 2）+ 加亿 + 2斤2 + 02） + =1 + exp fj、+ exp 帀2 + exp （帀+ 為 + 2兀）+痔 exp （一久）+ g exp （一乙）+ 厝& exp （一 _ % + 2兀iq） + > 1 + exp 帀+ exp 帀2 + exp （% + 帀2 + 彳2）（4 7）我们现在验证公式（4.5）和（4.6）。为此，我们将g（o,o）

24、= g（o,1） = g（1,o） = g（1,1） = 0中的每个函数扩展为人和人的系列.我们只需要用人和入进行-阶扩展來显示渐近关系（4.5）和（4.6）。在这里，我们保留二阶项，以便看到两个周期解和双孤子解的参数之间更深的关系。 由g（0, 0）= （一 16亍”；_ 16y/； _ 4 sinh2（2龙讷）+ c）皆+ （_16龙2耳；一 16yg - 4 sinh2（2兀讥）+ 可 v+g（0, 0）= （16沪; 一 16刃；一 4 sinh2（2眉角）+ c）痔（+ （-16龙3（p + 0）- 16龙（z +厶- 4 sinh2（2兀7 （“】+ 心）+ 可）痔盂 +c + 0

25、（晋石'2）= 0（4.8）其中込+ s2 > 4,当人t0,易t 0,我们得到c二0。由g （1, 0）= （-4沪对4沪刃_ 4 sinh2 兀中、+ c）人 + o （w）= 0, （4.9）其中込+ s2 > 3,由c = 0,我们得到渐近关系：4龙$ （切；+闷2） +4 sinh2 兀i卩、-0, 迸=sinh2 fta （4.10）111g（0,1） = （一4龙如；一 4沪刃；一 4 sinh2 7ii/2 + c）心 + o （好隊）=0,（4.11）其中込+込n 3,由（=o我们得到渐近关系：+ sinh2 “2 4才（对+刃；）+4 sinh2 兀i皿

26、-0, 孑二 sinh?必 （4.12）由司训=2（4刃将城）虫国斶 & 曲坤）tsiitf 刘幷+呦+彳科胡埔加阿城）+册曲坍4 fsirtf 加（幷-“）+厲mi 如）=q（4.13）其中耳+ s2 > 5,因为c = 0,我们得到渐近关系：4亍（a才+刃：）+ 4才（xp； + yg) 8沪(耳必 + yj) + 4 sinh2加仏一心）4才（/p； + 刃；）+ 4亍（xp； + yg) + 8龙$ (xph + y、l) + 4 sinh2兀i仏+ “2）(4.14)致谢时光飞逝，大学时光即将过去，很高兴在这四年里能遇到许许多多很好的老师和 同学，老师水平都很高，信息专

27、业的同学们也很优秀。无论在学习上，还是在生活上, 他们给予了我很多帮助，在此表示感谢！此外，感谢家人一直以来都很支持我的学业, 在经济上和精神上对我的支持，使我能安心在大学学习。在论文写作期间我能冇个安 静的环境，经过几个月的努力，在老师的指导下终于完成了大学的毕业论文写作，在 此很感谢我的室友和老师。首先，在此感谢老师，在老师的指导下我完成了论文的选题和写作过程。同时在 论文的写作过程中，遇到许多难点，老师耐心指导，教会了我许多解决问题的技巧和 方法，使我的论文能够顺利完成。另外和丁老师的交谈中，老师的耐心指导和对我们 未来发展的建议，收获很多。从老师那学到许多为人处世的道理和为未来不懈奋斗

28、的 动力，这将是我终身受益的财富。在此向老师表示衷心的感谢！另外感谢信息专业的同学们，回顾人学四年，很高兴能遇到你们，回想起一幕幕 的场景，一起去爬山游玩，班级举办晚会的情景，运动会的情景，一起口习，以及和 小伙伴们为梦想拼搏的情景等等，在此谢谢大家，希望大家的未来更美好！最后，大家即将踏上一段新的旅程，未來是美好的，但需要我们去拼搏，去努力, 愿大家的未来越来越美好！参考文献:lablowitz，mj，clarkson,pa:solitons，nonlinear equations and in verse scatteri ng.cambridge un iversity press, c

29、ambridge(1991)2. matveev,vb,salle,ma:darboux transformation and solitons spring.berlin(1991)3. hirota,r,exactsoluti onof the korteweg-de vriesequati onfor multiplecollisitons.phys.rev.let.27(18)/h92-1194(1971)4. hirota,r,satsumaj:nonlinear evolution equation generated from the backlind transformatio

30、n for the boussinesq equation.prog.theor.phys.57(3),797-807(1977)5. hirota,r:the direct method in soliton theory.cambridge university press,cambrige(2004)6. hu,xb,claeks on ,pa:rati onal soluti ons of a d if fere ntialdiffere nee kdv equati on ,the tode equationandthe discrete kdv equation j.phys. a

31、,math .gen.28(17),5009-5023(1995)7. ge nexgwiyxcaocwiquasi-periodic soluti onsof the modified kadometsev-petviashiliequation. phys. a,math.gen.32(20),37333754(1999)8dai,hh,geng,xg:explicit solutions of the 2+1-dimensional modified toda lattice through straightening out of the relativistic toda flows

32、.j.phy.socpn.72(13),3063-3069(2003)9. ge ng,xg:algebraicgeometrical soluti onsof some multidim ensional nonli near evoluti onequationsj.phys.a,math.gen.36(9),2289-2309(2003)10. cao,cwrwu,ytge ng,xg:relatio n betwee n the kadometsev-petviashvili equati on and the con focal involutive system j.math.ph

33、ys.40(8),3948-396&1999)11 nakamura.a.a direct method of calculatingperiodic wave solutions to nonlinear evolutions. exac t two-periodic wave solution ,j.phys.soc.jpn.47(5),1701-1705(1979)12 nakamura.a.a direct method of caculating periodic wave solutions to nonlinear evolution equatio nsi. exact

34、 on e-a nd two-periodic wave solutio n of the coupled bilin ear equations j.phys.soc.jpn.481365-1370(1980)13 daj,h.h,fanzeg,geng,x.g:periodic wave solutions of nonlinear equations by hirota's bilibear method,arxiv. nlina)6020：l5,1-22(2006).14. zhang xye 丄y:o n a direct periodic wave soluti ons o

35、f two-dime nsional boussi nesq equation.commun.theor.phys.49,815-824 (2008)15. fan*eg，hon,yc:on a direct procedure for the quasi-periodic wave solutions of the supersymmetric ito's equation.rep.math.phys.66(3),355-365(2010)16. wu,yq:asymptotic behavior of the periodic wave solution for the (3+1)

36、dimensional kadomtsev-petviashvili equation.appl.math.comput.216,31543161(2010)17lz1a,wx,zhou/rg,gao 丄:exac on e-periodic and two-periodic wave solutions to hi rota bilin ear equations in(2+l)-dimensions.mod.phys.lett.a 24(21),1677-1688(2009)18丄uo丄,fan,eg:quasiperiodic waves of then = 1 supersymmetr

37、ic modified korteweg -de vries equation.nonliearanal.74(2),666-675(2011)19. nakamura,a:exact cylindrical soliton solutions of the sinegordon equation ,the sinhgordon equation j.phys.soc.jpn.57(10)z3309-3322(1988)20. kricheer,l,vaninskyzkl:the periodic and open toda latticeln:d'hoker;e,et,al(des)miitor symmetryiv.ams/ip studies in advance mathematjcs,vol.33,pp.139-15&2002)21nami,l；kanno,h:lie superalgebraic approach to super toda lattice and generalized super kdv equations.commun.mat