2020届中考数学复习难题训练：《锐角三角函数》(含答案)

1、2020届 中考复习锐角三角函数难题训练（一）一、选择题1.如图，在?中，? = ? ， mn 是边 bc 上一条运动的线段(点 m 不与点 b重合，点 n 不与点 c 重合 )，且 ?=12?，? 交 ab于点 d，? ?交 ac 于点e，在 mn 从左至右的运动过程中，设? = ? ，?的面积减去 ?的面积为y，则下列图象中，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是()a. b. c. d. 2.一个正方体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示： ? =90 ，正方形defh 的边长为 1m，? = 4?，? =8?. 当正方形defh 运动到某位置，使得?2=?2+ ?2，此时 ae的长为 ()

2、?a. 4916b. 4c. 17d. 2 33.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形” .若? ?是“好玩三角形”，且? = 90度， ? ?，则 tan ?= ()a. 22b. 32c. 23d. 334.缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末， 小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心 d 处水平向前走14 米到点 a 处，再沿着坡度为0.75的斜坡 a 走一段距离到达b 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟， 在 b 点观察到观景塔顶端的仰角为再往前沿水平方向走27 米到 c 处，观察到观景塔顶端的仰角是，则观景塔的高度de 为()

3、( 参考数据：，a. 21 米b. 24 米c. 36 米d. 45 米5.如图， 在反比例函数?=32?的图象上有一动点a，连接ao并延长交图象的另一支于点b，在第二象限内有一点 c，满足 ? = ? ，当点 a运动时，点c 始终在函数?=?的图象上运动，若tan ?= 2，则 k 的值为()a. b. c. d. -126.如图， 在等腰直角三角形?中， ? = 90，? = 6，d 为 ac 上一点，若 tan ?=15，则 ad 的长为 ()a. 2b. 2c. 1d. 2 27.如图， 直线 ?=12? + 1与 x 轴、y 轴分别相交于a、b 两点，p 是该直线上的任一点，过点 ?

4、(3,0)向以 p 为圆心，12? 为半径的 ? 作两条切线， 切点分别为e、f，则四边形 pedf 面积的最小值为()a. 54 3b. 5c. 2 5d. 52 3二、填空题8.如图，在矩形abcd 中，? = 6，以点 c 为圆心，以cb 的长为半径画弧交ad 于e，点 e 恰好是 ad 中点，则图中阴影部分的面积为_.( 结果保留 ?)9.如图 ?中， ?= 90 ， ? 是?的外接圆， e 为 ? 上一点，连结ce，过 c 作? ?，交 be 于点 d，已知 ?=，? = 2，? = 5，则tan ?= _10.如图，在平面直角坐标系中，矩形 oabc 的顶点 a、c 分别在 x 轴

5、的负半轴、 y 轴的正半轴上，点b 在第二象限 将矩形 oabc 绕点 o 顺时针旋转， 使点b 落在 y 轴上，得到矩形odef ，bc 与 od 相交于点?.若经过点m 的反比例函数 ?=?(? 0) 的图象交 ab 于点 n，?矩形?= 32，tan ?=12，则 bn 的长为 _11.如图， 15 个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为 60 ，a、b、c 都在格点上，点d 在过 a、b、 c 三点的圆弧上，若e也在格点上，且?= ?，则 cos?= _12.如图，在正方形abcd 中，? = 2 3， 把边 bc 绕点 b 逆时针旋转 30得到线段bp

6、，连接ap并延长交cd于点e，连接pc，则 ?的面积为13.如图，在 ?中， ?= 60 ，d 是边 ab的中点， e 是边 bc 上一点若de平分 ?的周长，且? = 3，则 ac 的长是 _ 14.如图，在平面直角坐标系中，矩形oabc 的顶点 a、c 分别在 x轴的负半轴、y 轴的正半轴上，点b 在第二象限将矩形oabc 绕点 o 顺时针旋转，使点b 落在 y轴上，得到矩形odef ，bc 与 od 相交于点 ?.若经过点m 的反比例函数 ?=?(?0)的图象交ab 于点 n，?矩形?= 32，tan ?=12，则 bn 的长为 _15.如图，现有一块四边形的木板余料abcd，经测量 ?

7、 =25? ， ? = 54? ， ? = 30? ，且 ?= ?=43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点m、n 在边 bc 上且面积最大的矩形pqmn ， 则该矩形的面积为_三、解答题16.如图，已知ab 是 ? 的直径，点m 在 ba 的延长线上， md 切 ? 于点 d，过点 b作? ? 于点 c，连接 ad 并延长，交bn 于点 n(1) 求证： ? = ? ；(2) 若 ? 半径的长为3，?=25，求 ma 的长17.已知，如图，在?中， ?= 90 ， ? = 60 ，? = 2， ?= 30 (1) 如图 1， ?的边 ? ，边 on 过点 c，求 ao 的长；(2) 如图 2，

8、将图 1 中的 ?向右平移， ?的两边分别与 ?的边 ac、bc相交于点e、f，连接 ef，若 ?是直角三角形，求ao 的长；(3) 在(2) 的条件下， ?与?重叠部分面积是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由18.交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验如图， 先在笔直的公路1旁选取一点p，在公路 1 上确定点o、b，使得 ? ? ，? = 100 米， ?= 45.这时，一辆轿车在公路1 上由 b 向 a 匀速驶来，测得此车从b 处行驶到 a 处所用的时间为3秒，并测得 ?= 60.此路段限速每小时80

9、 千米， 试判断此车是否超速？请说明理由 (参考数据： 2 = 1.41， 3 = 1.73)19.如图，在矩形abcd 中， e 是 ad 的中点，以点e 为直角顶点的 ? ?的两边ef，eg 分别过点b，c， ? = 30 (1) 求证： ? = ?；(2) 如图 2，将 ?绕点 e 按顺时针方向旋转，当旋转到ef 与 ad 重合时停止转动，若 ef，eg 分别与 ab，bc 相交于点m，n 求证： ? ?； 若? = ?，求当 ? 面积最大时， k 的值； 当旋转停止时，点b恰好在 fg 上(如图 3)，求 sin ?的值20.如图，?(5,0)， ?(3,0)， 点c在y轴的正半轴上，

10、 ?= 45 ， ?/?， ?= 90.点p从点?(-4,0)出发，沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间t秒(1) 求点 c 的坐标；(2) 当 ?= 15 时，求 t 的值；(3) 以点 p 为圆心， pc 为半径的 ? 随点 p 的运动而变化，当 ? 与四边形 abcd的边 (或边所在的直线) 相切时，求t 的值21.【探索发现】如图 ，在锐角 ?中， ? 、 ? 、 ?的对边分别是a、b、c，过a 作? ?于 d。求证：?sin?=?sin?。【类比引申】同理可证：?sin?=?sin?,?sin?=?sin?，所以?sin? =?sin?=?sin?即：在一个三角形中，各边

11、和它所对角的正弦的比相等。在锐角三角形中，若已知三个元素 (至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素如图 ，?中， ? = 45 ，? = 75 ，? = 60，则 ? = _；? = _。【理解应用】如图 ，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，当甲船位于?1处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的 ?1处，且乙船从?1处按北偏东 15 方向匀速直线航行，当甲船航行20 分钟到达 ?2时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的 ?2处，此时两船相距 10 2海里求乙船每小时航行多少海里？图答案和解析1.a 解：过点a 作? ? ，交 bc 于点 h，? = ?

12、，? = ? =12? ， ? = ?，设 ?=12? ， ? = ? = ? ，则 ?= ? ，? = ? -?- ?= 2?-?- ?= ?- ? ，?= ?= ?， ? = ?= ?， ? = ? ?= (?-?)?，?= ?- ?=(2?- ?)= ?-均为常数，故上述函数为一次函数，2.a 解：如图，连接cd，设 ? = ? ，可得 ? = 8 - ? 正方形 defh 的边长为1 米，即 ? = 1米，?2= ?2+ ?2= 1 + (8 - ? )2，?2+ ?2= ?2+ 16，?2= ?2+ ?2，1 + (8 - ?)2= ?2+ 16，解得： ?=4916，所以，当 ?

13、=4916米时，有 ?2= ?2+ ?23.b 解：如图， ? ? ， 只有 bc 边上的中线， 满足条件， ? = ? ，设? = ? = ? 则 ? = 2? ，? = ? ，? = 2? ， ? = 90 ， ?= 30 ，? = 3? ，?=?= 324.a 解：作 ? ? 于 g，? ? 于 f，设 ? = 3? ，? 坡的坡度为 0.75，? = 4? ，? = 4?+ 14，? = 4?+ 41， ?= 45 ，? = ? = 4?+ 14，在 ?中， ?=?，即4?+144?+41= 0.4，解得， ?= 1，? = 3?+ 4?+ 14 = 21( 米) ，5.b 解：如图，

14、连接oc，过点 a作? ? 轴于点 e，过点 c 作? ? 轴于点 f， 由直线 ab与反比例函数 ?=32?的对称性可知a、b 点关于 o 点对称，? = ? 又 ? = ? ，? ? ?+ ?= 90 ， ?+ ?= 90 ， ?= ?，又 ?= 90 ，?= 90 ， ? ?，?=?=?，tan ?=?= 2，? = 2? ， ? = 2? 又 ? ? =32，? ? = |?| ，?= 6 点 c 在第二象限，?= -6 ，6.a 解：作 ? ? 于 e 点，如图，tan ?=15=?，? = 5? ， ?为等腰直角三角形， ? = 45 ，? = ? ? = 5? ，又 ? = 6，

15、? = 6? + ? = 5? + ? = 6，? = 2， 在等腰直角 ?中，由勾股定理，得? = 2? = 27.a 解：如图，连接dp， 直线 ?=12?+ 1与 x 轴、 y 轴分别相交于a、b 两点，当 ? = 0时， ?= 1，当 ?= 0时， ?= -2 ，?(-2,0) ， ?(0,1)，? = 22+ 12= 5， 过点 ?(3,0)向以 p 为圆心，12? 为半径的 ? 作两条切线，切点分别为e、f，? = ? ，? ? ，? = ? ，? = ? ， ? ?(?)，? 的半径为 52，? =?2- (52)2，当 ? ? 时， dp 最小，此时? = ? ?sin ?=

16、5 55= 5， 四边形 pedf 面积 = 2?= 2 12? ? = 52? ， 四边形 pedf 面积的最小值为52( 5)2- (52)2=5348.6?+932解：如图，连接ec在 ?中， ? = 90 ，? = ? = 2? ， ?= 30 ， ?= 90 ， ?= 60，? = ? = 6，? = 3，? = 3 3 ，9.13解：连接ae，tan ?=12， 设? = 2?，? = ?，? = 5? = 2 10，? = 2 2，? = 4 2，? = 2 2， ?= ?，tan ?=12，? = 5，同理求得 ? = 5，? = 2 5， ?+ ?= ?+ ?= 90 ， ?

17、= ?， ?+ ?= ?+ ?= 180 ， ?= ?， ?= ?， ? ?，?=?= 2， 设? = ? ，? = 2? ，? 是 ? 的直径， ?= 90 ，?2+ ?2= ?2，(2?)2+ (5 + ?)2= (2 10)2，?= 1(负值舍去)，? = 2，? = 6，tan ?= tan ?=?=26=1310.3 解： ?矩形?= 32，? ? = 32， 矩形 oabc 绕点 o 顺时针旋转，使点b 落在 y 轴上，得到矩形odef ，? = ? ，? = ? ，在 ?中， tan ?=?=12，即 ? = 2? ，? ?2? = 32 ，解得 ? = 4，? = 4，? =

18、8，在 ?中， tan ?=?=12，而 ? = ? = 4，? = 2，?(-2,4) ，把 ?(-2,4) 代入 ?=?得?= -24 = -8 ， 反比例函数解析式为?= -8?，当 ? = -8 时， ?= -8-8= 1，则 ?(-8,1) ，? = 4 - 1 = 311.12解：在图中标上点m、e，连接 bm， 四边形 amcb 为菱形，? ? ，bm 平分 ac ?= 60 ， ?为等边三角形，? = ? ， 点 m 为圆弧的圆心? = ? ， 以点 m 为圆心 am 长度为半径补充完整圆，点e 即是所求，如图所示? 所对的圆周角为?、?， 图中所标点e 符合题意 四边形 ?为

19、菱形，且 ?= 60 ， ?为等边三角形，cos ?= ?60 =1212.9 - 5 3解： 四边形 abcd 是正方形， ?= 90， 把边 bc 绕点 b 逆时针旋转 30得到线段bp，? = ? = ? ， ?= 30， ?= 60， ?是等边三角形 ?= 60， ? = ? = 2 3，在 ?中， ? = 2 3，?= 30，? = 4，? = 2，? = 2 3 - 2，? = 4 -2 3如图，过点p 作 ? ? 于点 f，? =32? = 2 3 - 3， ?的面积为12? ? =12(2 3 - 2) (2 3 - 3) = 9 -5 313.2 解：延长 bc 至 m，使?

20、 = ?， 连接 am，作? ? 于 n，? 平分 ?的周长，? = ? ，又 ? = ? ，? =12? ，?/? ，? = 2 3， ?= 60 ， ?= 120 ，? = ? ， ?= 60 ，? = ?= 3，sin ?=?，14.3 解：?矩形?= 32，? ? = 32， 矩形 oabc 绕点 o 顺时针旋转，使点b 落在 y 轴上，得到矩形odef ，? = ? ，? = ? ，在 ?中， tan ?=?=12，即 ? = 2? ，? ?2? = 32 ，解得 ? = 4，? = 4，? = 8，在 ?中， tan ?=?=12，而 ? = ? = 4，? = 2，?(-2,4)

21、 ，把 ?(-2,4) 代入 ?=?得?= -24 = -8 ， 反比例函数解析式为?= -8?，当 ? = -8 时， ?= -8-8= 1，则 ?(-8,1) ，? = 4 - 1 = 315.486?2解：如图2，延长 ba、cd 交于点 e，过点 e 作? ? 于点 h，?= ?=43， ? = ?，? = ? ，? = 108? ，且 ? ?，? = ? =12? = 27? ，?=?=43，? =43? =4327 = 36? ，在 ?中， ? = ?2+ ?2= 45? ，? = 25? ，? = 20? ，? 的中点 q 在线段 ab 上，? = 30? ，? = 15? ，?

22、 的中点 p在线段 cd 上，中位线pq的两端点在线段ab、cd上，?/?， ? ?，?=?，即?54=?-?，? = 54 - 2? ，设 ?= ? ，则 ?矩形?= ? ?= ?(54- 2?)= -2?2+ ? = -2(? -272)2+7292， 当? =272时， ?矩形 ?最大值为， 矩形 pqmn 的最大面积为14? ? = 486?2，答：该矩形的面积为486?216.(1) 证明：连接od，? 切 ? 于点 d，? ? ，? ? ，?/? ， ?= ? ，? = ? ， ?= ?， ?= ? ，? = ? ；(2) 解：由 (1)?/? ， ?= ?，cos ?= ?=25

23、，在 ? 中， cos?=?，? = ? ，?= ? + ? = 3 + ? ，33+?=25，? = 4.517.解： (1) ?= 30 ，? ， ?= 60 ， ? = 60 ， ?是等边三角形，? = 2，? = 2，在 ?中， ?= 90 ，? = 60 ，? = 2，? = 4，? = ? -? = 2；(2) ?= 90 ，设 ? = ? ，根据题意得 ? = 4 -? ，? = 3?3， ? = 4 - ? ，?= 32，?=125， ?= 90 ，设 ? = ? ，根据题意得? = 4 - ? ，? = 3?3，? = 4 - ? ，?= 32，?=83， ?是直角三角形时，

24、ao 长为125或83；(3) 设? = ? ，根据题意得? = 4 - ? ， ? =33，设重叠部分的面积为s，根据题意得：?= ?-?-?，?= 2 3 -12? 3?3- 34(4 - ?)2，整理得： ?= -5 312?2+ 2 3? - 2 3，?= -5312 80千米 / 小时， 此车超速19.(1) 证明：如图1中， 四边形 abcd 是矩形，? = ? ， ? = ? = 90 ，? 是 ad 中点，? = ? ， ? ?，? = ? (2) 解：如图2 中，由 (1) 可知， ?是等腰直角三角形， ?= ?= 45 ， ?= ?= 90 ， ?= ?= 45 ， ?=

25、?= 90 ， ?= ?，? = ? ， ? ?；?为等腰直角三角形 ? ?=12?2作 ?于点 h 易证： ?(?)?四边形 ?= ?四边形 ?当 s?最小时 s?最大当 me 最小时即 ?= ?，即 ?= 1； 解： 如图 3 中， 作? ? 于?. 设? = ?， 则 ? = 2?， ? = ? = 3?， ? = 6?.? = ?+ 3? = (1 + 3)?，?=12? ? =12? ? ，? = 3?(1+ 3)?2?=3+ 32?，在 ?中，sin ?=?=3+32? 6?= 6+ 2420.解： (1) ?(5,0)， ?(3,0)，? = 5，? = 3， ?= 45 ，?

26、= ? = 3， 点 c 的坐标 (0,3) ；(2) 当 p 在点 b 的左侧时， ?= 45 ， ?= 15 ?= ?- ?= 45 -15 = 30 ，? = 3，? = 33? =3，?(-4,0) ， ? = 3 + 4， 点 p 沿 x 轴向右以每秒2 个单位的速度运动，? = 3+42， 当 p 在点 b 的右侧时， ?= 45 ， ?= 15 ， ?= ?+ ?= 45 + 15 = 60 ，? = 3，? = 3? = 3 3，?(-4,0) ， ? = 3 3 + 4， 点 p 沿 x 轴向右以每秒2 个单位的速度运动，? =3 3+42，综上所述当 ?= 15 时， t的值为3+42或33+42；(3) 如图 1，当 ? ?时， ? 与 bc