第二章：随机变量及其分布列复习电子教案

1、第二章随机变量及其分布列（复习）第一页，共24页。本章本章(bn zhn)知识结知识结构构随随机机变变量量离散离散(lsn)型随机变量型随机变量分布分布(fnb)列列均值均值方差方差正态分布正态分布正态分布密度曲线正态分布密度曲线3 原则原则两点分布两点分布二项分布二项分布超几何分布超几何分布条件概率条件概率两事件独立两事件独立第二页，共24页。 1离散型随机变量(su j bin lin)的分布列 (1)设离散型随机变量(su j bin lin)可能取的值为x1，x2，xi，取每一个值xi的概率为P(=xi)=pi，则称下表：x1x2x3xiPp1p2p3pi为离散型随机变量为离散型随机变

2、量的分布列的分布列(2)离散型随机变量离散型随机变量的分布列具有的分布列具有(jyu)两个性质：两个性质：pi0；p1+p2+pi+=1(i=1,2,3，)第三页，共24页。 1(0p12)常见的离散型随机变量的分布两点分布分布列为 其中：01P1-pp 00,1,2,3()(0,1,21)()0(0,1,22)1.kkn knnkkn knknAnPkC p qknqpPkknC p q 二项分布在 次独立重复试验中，事件 发生的次数 是一个随机变量，其所有可能取的值为， ， ，并且其中， ，显然， ， ，()npB np称这样的随机变量 服从参数为 和 的二项分布，记为 ，第四页，共24页

3、。 (3)超几何分布超几何分布(fnb)：在含有：在含有M件次品的件次品的N件产品件产品中，任取中，任取n件，其中恰有件，其中恰有件次品，则事件件次品，则事件=k发发生的概率为生的概率为P(=k)= ,k=0,1,2,m,其中其中m=minM,n,且且nN，MN，n,M,NN*.称分布称分布(fnb)列列 为为 .如果随机变量如果随机变量的分布的分布(fnb)列为超列为超几何分布几何分布(fnb)列列,则称随机变量则称随机变量服从超几何分布服从超几何分布(fnb).knkMNMnNC CC01MP00nMN MnNC CC11nMN MnNC CCmn mMN MnNC CC超几何超几何(j

4、h)分布列分布列第五页，共24页。 11222211222()(.3)()1nnnnEx px px pDxEpxEpxEp离散型随机变量的均值与方差、标准差若 的分布列为：则均值，方差x1x2xnPp1p2pnD标准差离散型随机变量离散型随机变量(su j bin lin)的均值反映了离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量(su j bin lin)取值的平均水平取值的平均水平.离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平均波动均波动(bdng)大小（即大小（即取值的稳定性）取值的稳定性）.第六页，共24页。4.性质性

5、质(1)E(c)=c,E(a+b)= (a、b、c为常数为常数);(2)设设a、b为常数为常数,则则D(a+b)= (a、b为为常数常数);(3)若若服从服从(fcng)二项分布，即二项分布，即B(n,p),则则E= ,D= ;( 4 ) 若若 服 从服 从 ( f c n g ) 两 点 分 布两 点 分 布 , 则则 E= ,D= .1111aE+ba2Dnpnp(1-p)pp(1-p)第七页，共24页。5、条件概率与相互独立、条件概率与相互独立(dl)事件事件(1)、条件概率、条件概率()()()( )( )n ABP ABP B An AP A( ( )0)P A 注：注：(2)、相互

6、独立事件：、相互独立事件：()( ) ( )P ABP A P BA、B相互独立相互独立6.6.正态曲线及性质正态曲线及性质 (1)(1)正态曲线的定义正态曲线的定义 函数函数 , , x x(-,+),(-,+),其中实数其中实数和和 ( (0)0)为参数，我为参数，我 们称们称 的图象的图象( (如图如图) )为正态分布密度曲线为正态分布密度曲线, , 简称正态曲线简称正态曲线. . 22221 )(e x)(,x)(,x 第八页，共24页。(2)(2)正态曲线的性质：正态曲线的性质： 曲线位于曲线位于x x轴轴_,_,与与x x轴不相交；轴不相交； 曲线是单峰的曲线是单峰的, ,它关于直

7、线它关于直线_对称；对称； 曲线在曲线在_处达到峰值处达到峰值 曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为_； 当当一定时一定时, ,曲线随着曲线随着_的变化的变化(binhu)(binhu)而沿而沿x x轴平移轴平移, , 如图甲所示；如图甲所示； ;21上方上方(shn (shn fn)fn)x x= =x x= =1 1第九页，共24页。 当当一定时一定时, ,曲线的形状由曲线的形状由确定确定,_,_，曲线，曲线 越越“瘦高瘦高”, ,表示表示(biosh)(biosh)总体的分布越集中总体的分布越集中;_,;_,曲线曲线 越越“矮胖矮胖”, ,表示表示(biosh)(biosh)总

8、体的分布越分散总体的分布越分散, , 如图乙所示如图乙所示. . 越小越小越大越大第十页，共24页。2.2.正态分布正态分布(fnb) (fnb) (1) (1)正态分布正态分布(fnb)(fnb)的定义及表示的定义及表示 如果对于任何实数如果对于任何实数a,b (ab),a,b (ab),随机变量随机变量X X满足满足P(aP(a Xb)= , Xb)= ,则称则称X X的分布的分布(fnb)(fnb)为正态分布为正态分布(fnb),(fnb),记作记作 _._. (2) (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(-X+)=_;P(-X+)=_; P

9、(-2X+2)=_;P(-2X+2)=_; P(-3X+3)=_. P(-3EY 故从平均水平看甲的平均水平比乙的平均水平高故从平均水平看甲的平均水平比乙的平均水平高2.2275DX 3.968DY 又又DXc+1)=P(Xc+1)=P(X2) P(2) 的值为的值为 ( ) ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析解析(ji x) (ji x) 根据正态曲线的对称性根据正态曲线的对称性, , P(-22)=2P(-20)=0.8. P(-22)=2P(-20)=0.8. 1 . 028 . 01)2(PA第二十一页，共24页

10、。 3. 3.（1212分分) )设在一次数学考试中设在一次数学考试中, ,某班学生的分某班学生的分 数服从数服从XN(110XN(110，202),202),且知满分且知满分150150分分, ,这个班的学这个班的学 生共生共5454人人. .求这个班在这次求这个班在这次(zh c)(zh c)数学考试中及格数学考试中及格( (不小于不小于 9090分分) )的人数和的人数和130130分以上的人数分以上的人数. . 要求及格的人数要求及格的人数, ,即求出即求出P(90XP(90X 150), 150),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值 的概

11、率形式的概率形式, ,然后利用对称性求解然后利用对称性求解. . 思维思维(swi)(swi)启迪启迪第二十二页，共24页。解解 因为因为XN(110,202), XN(110,202), 所以所以(suy)=110,=20. 2(suy)=110,=20. 2分分P(110-20X110+20)=0.682 6. 6P(110-20130(suy),X130的概率为的概率为 8 8分分所以所以(suy),X90(suy),X90的概率为的概率为0.682 6+0.158 7=0.841 3.0.682 6+0.158 7=0.841 3. 10 10分分及格的人数为及格的人数为54540.8

12、41 345(0.841 345(人人),),130130分以上的人数为分以上的人数为54540.158 79(0.158 79(人人). 12). 12分分.).(7158066820121 第二十三页，共24页。4.4.工厂制造的某机械零件尺寸工厂制造的某机械零件尺寸X X 服从服从(fcng)(fcng)正态分布正态分布 问在一次正常的试验中问在一次正常的试验中, ,取取1 0001 000个零件时个零件时, , 不属于区间不属于区间(3,5)(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 解解 不属于区间不属于区间(3,5)(3,5)的概率为的概率为 P(X3)+P(X5)=1-P(3X5)P(X3)+P(X5)=1-P(3X5) =1-P(4-1X4+1)=1-P(-3X+3) =1-P