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文档简介
1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学专题讲解之抛物线考点1 抛物线的定义:平面上与一个定点F和一条直线(F不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线。抛物线的定义中条件“F不在上”不可遗漏,否则,如果F在上,则轨迹为过F且与垂直的直线。题型: 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1、(1)已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 (2)抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0例2、求平面内到原点与直线距离相等的点的轨迹
2、方程,并指出轨迹所表示的曲线。例3、求到点A的距离比到直线的距离小1的点的轨迹方程。巩固练习:1.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且、成等差数列, 则有 ()A B C D. 2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 3.已知方程的抛物线上有一点M,点M到焦点F的距离为5,求m的值。4、在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为( ) A1B1BAP(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例4、求满足下列条件的抛物线的标准方
3、程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上巩固练习:1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 2、 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.(要求填写合适条件的序号)3、 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且,求此抛物线的方程考点3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 ():标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 (0,0)题型:
4、抛物线中的最值问题:例5、求抛物线上的点P到直线的距离的最小值,并求出P点的坐标。例6、给定抛物线,设A,P是抛物线上的一点,且,求的最小值。例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线上运动,求AB的中点M到y轴的距离的最小值。题型:抛物线与直线的位置关系问题:例8、设A、B是抛物线上的点,且满足(O为坐标原点),求证:直线AB过定点,并求出此定点。例9、已知正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线上,另两个顶点C、D在直线上,如图,求此正方形的边长。例10、已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)但,线段AB的垂直平分线经过定点Q,求抛
5、物线的方程。例11、设点O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦,若,求的面积。例12、 如图所示,抛物线y2=4x的顶点为O,点A的坐标为(5,0),倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点,求AMN面积最大时直线l的方程,并求AMN的最大面积.例13、已知抛物线y2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求NAB面积的最大值.解:(1)设直线l的方程为:y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a
6、2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点 C(x,y),由(1)知,y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,则有x=p.线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0)点N到AB的距离为从而SNAB=当a有最大值时,S有最大值为p2.基础巩固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线( )A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在2.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标
7、为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 63.两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D4. 如果,是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,F是抛物线的焦点,若成等差数列且,则=( )A5 B6 C 7 D9 5、抛物线准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,ABl,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于( )A B C D6、设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为 题型、焦点弦问题例14、已知抛物线,过焦点F的弦AB的直线倾斜角为,求AB的弦长。例15、若
8、AB是抛物线的焦点弦(过焦点的弦),且,则:,。例16、已知直线AB是过抛物线焦点F,求证:为定值。例17、已知AB是抛物线的过焦点F的弦,求证:(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。BAMNQPyxOF(2)分别过A、B做准线的垂线,垂足为M、N,求证:以MN为直径的圆与直线AB相切。与准线l相切例18、若抛物线方程为,过(,0)的直线与之交于A、B两点,则OAOB。巩固练习:1、若直线经过抛物线的焦点,则实数 2、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 题型、中点弦问题:例19、过点A,作直线交抛物线于B、C两点,
9、求BC中点P的轨迹方程。例20、若抛物线上存在两点PQ关于直线对称,求m的取值范围。巩固练习:1、在抛物线上求一点,使该点到直线的距离为最短,求该点的坐标2、已知抛物线(为非零常数)的焦点为,点为抛物线上一个动点,过点且与抛物线相切的直线记为(1)求的坐标;(2)当点在何处时,点到直线的距离最小?3、设抛物线()的焦点为 F,经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点 C在抛物线的准线上,且BCX轴证明直线AC经过原点O4、椭圆上有一点M(-4,)在抛物线(p>0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上,过N作准线l的垂线,垂足为Q距离,求|MN|+|
10、NQ|的最小值.5、已知抛物线C的一个焦点为F(,0),对应于这个焦点的准线方程为x=-.(1)写出抛物线C的方程;(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点,O点为坐标原点,求AOB重心G的轨迹方程;(3)点P是抛物线C上的动点,过点P作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别是M,N.当P点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.课后作业:一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为( )A(1, 0)B(2, 0)C(3, 0)D(1, 0)2圆心在抛物线y 2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆
11、的方程是( )Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( )A(1,1)B()CD(2,4)4一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为( )AmB 2mC4.5mD9m5平面内过点A(-2,0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是( )A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是( )A y 2=
12、-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x7过抛物线y 2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果x1+ x2=6,那么|AB|=( )A8B10C6 D48把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移,所得的曲线的方程是( )ABCD 9过点M(2,4)作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有( )A0条B1条C2条D3条10过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于( )A2aB C4a D 二、填空题(本大题共4小题,每小题6
13、分,共24分)11抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4,则焦点到AB的距离为 12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 13P是抛物线y 2=4x上一动点,以P为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点Q,点Q的坐标是 14抛物线的焦点为椭圆的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 三、解答题(本大题共6小题,共76分)15已知动圆M与直线y =2相切,且与定圆C:外切,求动圆圆心M的轨迹方程(12分)16已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值(12分)17动直线y =a,与
14、抛物线相交于A点,动点B的坐标是,求线段AB中点M的轨迹的方程(12分)18河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?(12分)19如图,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6建立适当的坐标系,求曲线段C的方程(14分)20已知抛物线过动点M(,0)且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B,()求的取值范围;()若线段AB的垂直平
15、分线交轴于点N,求面积的最大值(14分)参考答案一选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案ADABCBACCC二填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)112 12 13(1,0) 14 三、解答题(本大题共6题,共76分)15(12分)解析:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为16 (12分)解析:设抛物线方程为,则焦点F(),由题意可得 ,解之得或, 故所求的抛物线方程为,17(12分)解析
16、:设M的坐标为(x,y),A(,),又B得 消去,得轨迹方程为,即18(12分)解析:如图建立直角坐标系,设桥拱抛物线方程为,由题意可知,B(4,-5)在抛物线上,所以,得, 当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA,则A(),由得,又知船面露出水面上部分高为075米,所以=2米19(14分) 解析:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点由题意可知:曲线C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为, 其中分别为A、B的横坐标, 所以, 由,得 联立解得将其代入式并由p>0解得,或因为AMN为锐角三角
17、形,所以,故舍去 p=4,由点B在曲线段C上,得综上得曲线段C的方程为20(14分) 解析:()直线的方程为,将,得 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、,则 又, , 解得 ()设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为,则由中点坐标公式,得, 又 为等腰直角三角形, , 即面积最大值为1、抛物线的准线方程是 。2、已知是抛物线上的动点,是抛物线的焦点,则线段的中点轨迹方程是 。3抛物线关于直线对称的抛物线方程是 。4、顶点在原点,以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为_ 5、25、如图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容器
18、放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12米,镜深2米,若把盛水和食物的容器近似地看作点,则每根铁筋的长度为_米. 6.5米 6、设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若则|FA|+|FB|+|FC|=( B)(A)9(B)6(C) 4 (D) 37、已知点及抛物线,若抛物线上点满足,则的最大值为( )(A) (B) (C) (D)8已知:点P与点F(2,0)的距离比它到直线40的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C。(1)求曲线C的方程。(2)若直线L与曲线C相交于A、B两点,且OAOB。求证:直线L过定点,并求出该定点的坐标。解:(1)解法(A):点P与点F(2,0)的距离比它到直线40的距离小2,所以点P与点F(2,0)的距离与它到直线20的距离相等。 -由抛物线定义得:点在以为焦点直线20为准线的抛物线上, 抛物线方程为。 -) 解法(B):设动点,则。当时,化简得:,显然,而,此时曲线不存在。当时,化简得:。(2), -(1分),即, -分)直线为,所以 -(分) -(分)由(a)(b)得:直线恒过定点。9、已知抛物线,椭圆经过点,它们在轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴。(1)求椭圆的方程;(2
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