2019年高考数学江苏卷(附参考答案和详解)

1、第 1 页（共 18 页）2019 年高考数学江苏卷一、填空题（共14 小题；共70 分）1.已知集合1,0,1,6a，|0,bx xxr ，则abi2.已知复数2i1ia的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是3.如图是一个算法流程图，则输出的s的值是4.函数276yxx的定义域是5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是7.在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22210yxbb经过点3,4 ，则该双曲线的渐近线方程是8.已知数列na*nn是等差数列，ns 是其前n 项

2、和若2580a aa，927s，则8s 的值是 . 9.如 图 ， 长 方 体1111-abc d a b c d 的 体 积 是120，e为1cc 的 中 点 ， 则 三 棱 锥-e bcd的 体 积是第 2 页（共 18 页）10.在平面直角坐标系xoy 中，p是曲线40yxxx上的一个动点，则点p到直线0 xy的距离的最小值是11.在平面直角坐标系xoy 中，点a在曲线lnyx 上，且该曲线在点a处的切线经过点e, 1 （ e为自然对数的底数），则点a的坐标是12.如图，在abc中，d是bc的中点，e在边ab上，2beea，ad与ce交于点o若6abacaoecuuu ruuu ruuu

3、 ruuu r，则abac的值是13.已知tan23tan4，则sin 24的值是14.设 fx ， g x 是定义在r上的两个周期函数，fx 的周期为4， g x 的周期为2，且 fx 是奇函数当0,2x时，211fxx，2 ,011,122k xxg xx，其中0k若在区间 0,9 上，关于x 的方程fxg x 有8个不同的实数根，则k的取值范围是二、解答题（共11 小题；共143 分）15.在abc中，角a，b，c的对边分别为a ，b， c （ 1）若3ac，2b，2cos3b，求 c 的值；（ 2）若sincos2abab，求sin2b的值第 3 页（共 18 页）16.如图，在直三棱

4、柱111abca b c 中，d，e分别为bc，ac的中点，abbc求证：（ 1）111a bdecp平面；（ 2）1bec e 17. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xo y中 ， 椭 圆c：222210 xyabab的 焦 点 为11, 0f，21,0f过2f 作 x轴的垂线l，在 x 轴的上方，l与圆2f ：22214xya交于点a，与椭圆c交于点d连接1af 并延长交圆2f 于点b，连接2bf 交椭圆c于点e，连接1df 已知152df（ 1）求椭圆c的标准方程；（ 2）求点e的坐标第 4 页（共 18 页）18.如图，一个湖的边界是圆心为o的圆，湖的一侧有一条直线型公路

5、l，湖上有桥ab（ab是圆o的直径）规划在公路l上选两个点p， q ，并修建两段直线型道路pb， qa规划要求：线段pb， qa 上的所有点到点o的距离均不小于圆o的半径已知点a，b到直线l的距离分别为ac和bd（c，d为垂足），测得10ab，6ac，12bd（单位：百米）（ 1）若道路pb与桥ab垂直，求道路pb的长；（ 2）在规划要求下，p和 q 中能否有一个点选在d处?并说明理由；（ 3）在规划要求下，若道路pb和 qa 的长度均为d（单位：百米）求当d最小时，p， q 两点间的距离19.设函数fxxaxbxc ， a ，b，cr， fx 为 fx 的导函数（ 1）若abc，48f，求

6、a的值；（ 2）若ab，bc，且 fx 和 fx 的零点均在集合3,1,3 中，求 fx 的极小值；（ 3）若0a，01b，1c，且 fx 的极大值为m，求证：427m第 5 页（共 18 页）20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“m数列 ” （ 1）已知等比数列*nann满足：245a aa ，324440aaa，求证：数列na为 “m数列 ” ；（ 2）已知数列*nbnn满足：11b，1122nnnsbb，其中ns 为数列nb 的前 n项和求数列nb的通项公式；设 m 为正整数，若存在“m数列 ”*ncnn，对任意正整数k，当km时，都有1kkkcbc剟成立，求 m 的最大值21.已

7、知矩阵3122a（ 1）求2a ；（ 2）求矩阵a的特征值22.在极坐标系中，已知两点3,4a，2,2b，直线l的方程为sin34（ 1）求a，b两点间的距离；（ 2）求点b到直线l的距离第 6 页（共 18 页）23.设xr，解不等式 |21|2xx24.设20121nnnxaa xa xa xl，4n，*nn 已知23242aa a （ 1）求 n的值；（ 2）设 133nab，其中*,a bn ，求223ab 的值25. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 设 点 集0,0 , 1,0 , 2,0 ,0nanl，0,1 ,1nbn，0,2 , 1,2 , 2,2 ,2ncnl

8、，*nn ，令nnnnmabc 从集合nm中任取两个不同的点，用随机变量x表示它们之间的距离（ 1）当1n时，求x的概率分布；（ 2）对给定的正整数3n n，求概率 p xn （用 n表示）第 7 页（共 18 页）答案第一部分1. 1,62.23.54.1,75.536.7107.2yx8.16【解析】由题意可得：25811191470,98927,2a aaadadadsad，解得：15,2,ad，则8187840282162sad. 9.1010.411. e,112.313.21014.12,34第二部分15.（1）因为3ac，2b，2cos3b，由余弦定理222cos2acbbac，

9、得222322323cccc，即213c所以33c（2）因为sincos2abab，由正弦定理sinsinabab，得cossin2bbbb，所以cos2sinbb第 8 页（共 18 页）从而22cos2sinbb，即22cos4 1cosbb，故24cos5b因为sin0b，所以cos2sin0bb，从而25cos5b因此2 5sincos25bb16.（1）因为d，e分别为bc，ac的中点，所以edabp在直三棱柱111abca bc 中，11aba bp，所以11a bedp又因为1eddec平面，111a bdec平面，所以111a bdecp平面（2）因为abbc，e为ac的中点，

10、所以beac因为三棱柱111abca bc 是直棱柱，所以1ccabc平面又因为beabc平面，所以1ccbe 因为111c ca acc平面，11aca acc平面，1c cacci，所以11bea acc平面因为111c ea acc平面，所以1bec e17.（1）设椭圆c的焦距为2c因为11,0f，21,0f，所以122f f，1c又因为152df，2afx轴，所以2222211253222dfdff f，因此1224adfdf，从而2a由222bac ，得23b第 9 页（共 18 页）因此，椭圆c的标准方程为22143xy（2）解法一：由（1）知，椭圆c：22143xy，2a，因为

11、2afx轴，所以点a的横坐标为1将1x代入圆2f 的方程22116xy，解得4y因为点a在 x 轴上方，所以1,4a又11,0f，所以直线1af ：22yx由2222,116yxxy得256110 xx，解得1x或115x将115x代入22yx，得125y，因此1112,55b又21,0f，所以直线2bf ：314yx由2231 ,4143yxxy得276130 xx，解得1x或137x又因为e是线段2bf 与椭圆的交点，所以1x将1x代入314yx，得32y.因此31,2e. 解法二：由（1）知，椭圆c：22143xy如图，连接1ef 因为22bfa ，122efefa，所以1efeb ，从

12、而1bf eb 因为22f af b，所以ab，所以1abf e ，从而12eff ap因为2afx轴，所以1efx 轴第 10 页（共 18 页）因为11,0f，由221,143xxy得32y又因为e是线段2bf 与椭圆的交点，所以32y因此31,2e18.（1）解法一：过a作aebd，垂足为e，由已知条件得，四边形acde为矩形，6debeac，8aecd，因为pbab，所以84cossin105pbdabe，所以12154cos5bdpbpbd，因此道路pb的长为15（百米）解法二：如图，过o作ohl，垂足为h以o为坐标原点，直线oh为y轴，建立平面直角坐标系因为12bd，6ac，所以9

13、oh，直线l的方程为9y，点a，b的纵坐标分别为3，3，因为ab为圆o的直径，10ab，所以圆o的方程为2225xy，从而4,3a，4, 3b，直线ab的斜率为34，因为pbab，所以直线pb的斜率为43，第 11 页（共 18 页）直线pb的方程为42533yx，所以13,9p，221349315pb，因此道路pb的长为15（百米）（2）解法一： 若p在d处，由（1）可得e在圆上，则线段be上的点（除b，e）到点o的距离均小于圆o的半径，所以p选在d处不满足规划要求 若 q 在d处，连接ad，由（1）知2210adaeed，从而2227cos0225adabbdbadadab，所以bad为锐

14、角，所以线段ad上存在点到点o的距离小于圆o的半径，因此， q 选在d处也不满足规划要求综上，p和 q 均不能选在d处解法二： 若p在d处，取线段bd上一点4,0e，则45eo，所以p选在d处不满足规划要求若 q 在d处，连接ad，由（1）知4,9d，又4,3a，所以线段ad：36444yxx，在线段ad上取点153,4m，因为22221533454om，所以线段ad上存在点到点o的距离小于圆o的半径，因此 q 选在d处也不满足规划要求综上，p和 q 均不能选在d处（3）解法一：先讨论点p的位置，当90obpo时，线段pb上存在点到点o的距离小于圆o的半径，点p不符合规划要求；当90obpo时

15、，对线段pb上任意一点f，ofob，即线段pb上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径，点p符合规划要求设1p 为l上一点，且1pbab，第 12 页（共 18 页）由（1）知，115pb，此时11113sincos1595pdpbpbdpbeba；当90obpo时，在1ppbv中，115pbpb，由上可知，15d再讨论点 q 的位置，由（2）知，要使得15qa，点 q 只有位于点c的右侧，才能符合规划要求当15qa时，22221563 21cqqaac此时，线段qa 上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径综上，当pbab，点 q 位于点c右侧，且3 21cq时，d最小，此时p， q 两点间的距

16、离173 21pqpdcdcq，因此，d最小时，p， q 两点间的距离为173 21 （百米）解法二：先讨论点p的位置，当90obpo时，线段pb上存在点到点o的距离小于圆o的半径，点p不符合规划要求；当90obpo时，对线段pb上任意一点f，ofob，即线段pb上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径，点p符合规划要求设1p 为l上一点，且1pbab，由（1）知，115pb，此时113,9p；当90obpo时，在1ppbv中，115pbpb由上可知，15d再讨论点 q 的位置，由（2）知，要使得15qa，点 q 只有位于点c的右侧，才能符合规划要求，当15qa时，设,9q a，由2249315

17、4aqaa，得43 21a，所以43 21,9q，此时，线段qa 上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径综上，当13,9p，43 21,9q时，d最小，此时p， q 两点间的距离43 2113173 21pq因此，d最小时，p， q 两点间的距离为173 21 （百米）第 13 页（共 18 页）19.（1）因为abc，所以3fxxaxbxcxa因为48f，所以348a，解得2a（2）因为bc，所以232222fxxaxbxab xbab xab，从而233abfxxbx令0fx，得xb或23abx因为 a，b，23ab，都在集合3,1,3 中，且ab，所以213ab，3a，3b此时233fx

18、xx，331fxxx令0fx，得3x或1x列表如下：, 333,111,00 xfxfxzz极大值极小值所以 fx 的极小值为2113 1332f（3）因为0a，1c，所以3211fxx xbxxbxbx ，2321fxxbxb 因为01b，所以2241122130bbb，则 fx 有2个不同的零点，设为1x ，212xxx由0fx，得21113bbbx，22113bbbx列表如下：111222,00 xxxx xxxfxfxzz极大值极小值所以 fx 的极大值1mfx解法一：第 14 页（共 18 页）132111221111232231211132139992111212792712112

19、112727271227274.27mfxxbxbxbbb bxbxbxbxbbbb bbbb bbbb bb b因此427m解法二：因为01b，所以10,1x当0,1x时，211fxx xbxx x令21g xx x，0,1x，则1313gxxx令0gx，得13x列表如下：1110,13330 xgxg xz极大值所以当13x时， g x 取得极大值，且是最大值，故max14327g xg所以当0,1x时，427fxg x，因此427m20.（1）设等比数列na的公比为q，所以10a，0q由245321,440,a aaaaa得244112111,440,a qa qa qa qa解得第 1

20、5 页（共 18 页）11,2.aq因此数列na为“m数列 ” （2）因为1122nnnsbb，所以0nb由11b，11sb ，得212211b，则22b由1122nnnsbb，得112nnnnnb bsbb，当2n时，由1nnnbss，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb 所以数列nb是首项和公差均为1的等差数列因此，数列nb的通项公式为*nbn nn由知，kbk ，*kn 因为数列nc为“m数列 ” ，设公比为q，所以11c，0q因为1kkkcbc，所以1kkqkq ，其中1,2,3,kml当1k时，有1q；当2,3,kml时，有lnlnln1kk

21、qkk设ln1xfxxx，则21lnxfxxn令0fx，得ex列表如下：1,eee,0 xfxfxz极大值因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln333fkf取33q，当1,2,3,4,5k时，lnlnkqk，即kkq ，经检验知1kqk 也成立因此所求 m 的最大值不小于5若6m，分别取3,6k，得33q ，且56q，从而15243q，且15216q，所以q不存在因此所求m 的最大值小于6综上，所求m 的最大值为5第 16 页（共 18 页）21.（1）因为3122a，所以231313 1125222223222 122106a（2）矩阵a的特征多项式为215422f令0f，解得a的特征值11 ，24 22.（1）设极点为o在oabv中，3,4a，2,2b，由余弦定理，得2232232cos524ab（2）因为直线l的方程为sin34，则直线l过点32,2，倾斜角为34又2,2b，所以点b到直线l的距离为33 22sin24223.当0 x时，原不等式可化为122xx，解得13x；当102x时，原不等式可化为122xx，即1x，无解；当12x时，原不等式可化为212xx，解得1x综上，原不等式的解集为113xxx或24.（1）因为12201ccccnnnnnnnxxxxl，4n，所以221c2nn