31-1导数与函数的

1、复习引入：复习引入：1、一般地，对于给定区间、一般地，对于给定区间D上的函数上的函数f(x)，若，若对于属于区间对于属于区间D的任意两个自变量的值的任意两个自变量的值x1，x2，当当x1x2时，有时，有问题问题1 1：函数单调性的定义怎样描述的函数单调性的定义怎样描述的? ? (1)若若f(x1)f(x)f(x2 2) )，那么，那么f(xf(x) )在这个区间上在这个区间上是是减函数减函数. .(2)(2)作差作差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) () (作商作商) )2 2用定义证明函数的单调性的一般步骤：用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取任取x1、x2D，且，且x1

2、 x2.(4)(4)定号定号( (判断差判断差f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的正负的正负) )( (与比较与比较) )(3)(3)变形变形( (因式分解、配方、通分、提取公因式因式分解、配方、通分、提取公因式) )(5)(5)结论结论练习：练习：讨论函数讨论函数y=xy=x2 24x4x3 3的单调性的单调性.定义法定义法单增区间：单增区间：( (，+).+).单减区间：单减区间：( (，).).图象法图象法思考：那么如何求出下列函数的单调性呢思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? ?(1)f(x)=2x(1)f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7 +7 (2)f(x)=

3、e(2)f(x)=ex x-x+1 -x+1 (3)f(x)=sinx-x(3)f(x)=sinx-x发现问题：发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：时。例如：2x2x3 3-6x-6x2 2+7+7，是否有更为简捷的方法，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的呢？下面我们通过函数的y=xy=x2 24x4x3 3图象来图象来考察考察单调性单调性与与导数导数有什么关系有什么关系2yx0. . . . . . . .再观察函数再观察函数y=xy=x2 24x4x3 3的图

4、象：的图象：总结总结: 该函数在区该函数在区间（间（，2）上）上单单减减,切线斜率切线斜率小于小于0,即其即其导数为负导数为负;而当而当x=2时其切线时其切线斜率为斜率为0,即即导数为导数为0.函数在该点单调性函数在该点单调性发生改变发生改变.在区间（在区间（2，+）上上单增单增,切线斜率切线斜率大大于于0,即其即其导数为正导数为正.xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系.( )yf x 结论：在某个区间结论：在某个区间( (a a, ,b b)

5、)内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增; ; 如果如果 , ,那么那么函数函数 在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减. .( )0fx ( )0fx ( )yf x 如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有f f (x(x)=0,)=0,则则f(xf(x) )为常数函数为常数函数结论结论: :一般地一般地, ,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间 内可导内可导, ,则函数在该区间则函数在该区间注意注意: :如果在如果在恒有恒有f f (x(x)=0,)=0,则则f(xf(x) )为常数函数为常数函数如果如果f (x)0,

6、例例1 1：求函数求函数f(xf(x)=2x)=2x3 3-6x-6x2 2+7+7的单调区间的单调区间. .解解:函数的定义域为函数的定义域为R,f(xf(x)=6)=6x2-12x-12x令令6 6x2-12x0,-12x0,解得解得x0 x2x2，则则f(x)的单增区间为（的单增区间为（，0 0）和）和（2 2，）. .再令再令6 6x2-12x0,-12x0,解得解得0 x2,0 x0时时,解得解得 x0.则函数的单增区间为则函数的单增区间为(0,+). 当当ex-10时时,解得解得x0.即函数的单减区间为即函数的单减区间为(-,0).f(xf(x) )变变1 1：求函数求函数 的单调

7、区间。的单调区间。3233yxx 1.1.求函数求函数 的单调区间。的单调区间。233yxx ).21,(,21, 036);,21(,21, 03636:单调减区间为单调增区间为解xxxxxy).32, 0(,320 , 069);,32()0 ,(, 032, 06969:222单调减区间为单调增区间为或解xxxxxxxxxy知识应用知识应用1 1应用导数求函数的单调区间应用导数求函数的单调区间例例2 2、判定函数、判定函数 y=ey=ex x-x+1 -x+1 的单调区间的单调区间. .递增区间为递增区间为(0,+)(0,+)递减区间为递减区间为(-,0)(-,0)练习：练习：判断下列函

8、数的单调性，并求出单调区间：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：例题分析例题分析(1)f(x)= (1)f(x)= (2)f(x)=sinx-x(2)f(x)=sinx-x，x(0,)x(0,)(3)f(x)=2x(3)f(x)=2x3 3+3x+3x2 2-24x+1-24x+11xx 注意：考虑定义域注意：考虑定义域变变2 2：求函数求函数 的单调区间。的单调区间。33xyex 巩固训练：巩固训练：);0,(,0, 1,033);,0(,0, 1,03333:单调减区间为单调增区间为解xeexeeeyxxxxxABxyo23( )yf x 2 2应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象例例3、已知导函数的下列信息：、已知导函数的下列信息： 3 2 ( )0 xxfx 当当或或时时，试画出函数试画出函数