D一般周期函数的傅里叶级数学习教案

1、会计学1D一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共33页设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶展开式为(在 f (x) 的连续点处)其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共33页则有则有则有则有第3页/共33页, 则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里里叶级数:( 在 F(z) 的连续点处 )变成是以 2 为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共33页其中令

2、lxzxlxnxflbllndsin)(1),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 连续点处 )证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共33页其中(在 f (x) 的连续点处)如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)其中注注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共33页展开成傅里叶级数;.解解:2oyx在 x = 2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共33页二、非周期函数的展开二、

3、非周期函数的展开1 1。 周期延拓的情形周期延拓的情形 设函数设函数 f ( t ) 在在 -l , l )上满足上满足Dirichlet 条件条件为了将其展开为为了将其展开为Fourier 级数，需要将级数，需要将 f ( t ) 在在 -l , l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期以外进行周期性延拓，也就是作一个周期为为 2 l 的函数的函数 F (t ) 使得使得F (t ) 在在 -l , l ) 上与上与f ( t )恒等，将恒等，将F (t ) 展开成展开成Fourier 级数级数第8页/共33页而在而在 -l , l ) 的连续点处，的连续点处， 有有 若若 t 0 是是

4、 -l , l ) 内的间断点，则在该点处，级数收内的间断点，则在该点处，级数收敛于敛于第9页/共33页2 2。非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓 如果函数如果函数 f ( t ) 只是定义在只是定义在 0 , l 上，且上，且在在 0 , l 上满足上满足Dirichlet 条件，需要展开成条件，需要展开成 Fourier 级数，就要先在级数，就要先在 -l , 0 ）上）上 补充补充 定义，或者说构造一个新函数定义，或者说构造一个新函数 F ( t ) 使得在区间使得在区间 0 , l 上有上有F ( t ) = f ( t ) 然后按照周期延拓的方法将然后按照周期延拓的方法将F

5、 ( t ) 展开成展开成 Fourier 级数级数 ，当限制自变量在，当限制自变量在 0 , l 上时，就得到上时，就得到 f ( t ) 的的Fourier 展开式展开式一般而言，一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点奇延拓的收敛域不包括端点 偶延拓的收敛域包括端点偶延拓的收敛域包括端点第10页/共33页展开成( )( 22)f xxx 傅里叶级数;.解解: 将 f (x) 作周期延拓, 则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11

6、页/共33页展开成(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn在 x = 2 k 处级数收敛于何值?第12页/共33页2oyx作偶周期延拓,)(xf则有第13页/共33页2oyx作周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(82

7、2k),2, 1(k则有1222) 12(cos) 12(181kxkk12 kn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共33页说明说明: 此式对也成立,由此还可导出)20( x据此有2oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共33页to经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数,它在傅里里叶级数.上的表达式为的周期是22机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共33页n 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共33页由于半波整流函数 f ( t )直流部分说明说明:交流部分由收

8、收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共33页方法方法1令即在2,2abab上展成傅里里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在代入展开式上的傅里里叶级数 其傅里里叶展开方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共33页令,azx在ab ,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共33页)(zF

9、z55展成傅里里叶级数.解解: 令设将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan则它满足收敛定机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共33页利用欧拉公式欧拉公式设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共33页注意到同理机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共33页因此得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共33页式的傅里里叶级数 . 解解: 在一个周期它的复数形式的傅里里叶系数为内矩形波的函数表达式为22Toyx22Th机动 目录 上页 下页 返回

10、结束 第26页/共33页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共33页为正弦 级数. 1. 周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式(x 间断点)其中当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓3. 傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共33页1. 将函数展开为傅里里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算如分母中出现因子nk作业作业: P256 1 (1) , (3) ; 2 (2) ; 3 从而便于计算系数和写出收敛域 .必须单独计算.习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共33页期的傅立叶级数, 并由此求级数121nn(91 考研) 解解:y