数学学年论文毕业论文求极限的方法

1、求极限的方法摘 要：木文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、 泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程屮常遇见的一些问题。关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分一引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积 分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程屮占有极其重要的 地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导 数、微积分等等都是rti极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失 去了价值，因此极限运算是高等数学的基木运算。由于极限定义的高度抽象使我 们很难用极限定义本身去

2、求极限，乂由于极限运算分布于整个高等数学的始终， 许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基 本工具。反过来，我们也可以利用这些概念來求一些极限，所以运算方法繁多。 针对这种情况，木文作者通过立体归纳总结岀了如下常见的求极限的方法。二具体方法1 利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1：若极限和limg（x）都存在，则函数/u）± g（x）, /（%）-（%）x>x当兀t心吋也存在且 lim / ± g =lim / ± lim g .t>.r0x>x0 lim/<?= lim/ jimg 乂若linuh则但在x

3、t%时也存在，口有7g （兀）limxtxofwg（x）lim/xf0limg 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如竺、2等情况，都不能直接用四则运算法则，00 0必须要对变量进行变形，设法消去分了、分母中的零因了，在变形时，要熟练掌 握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。工2 4例 1：求lim7x->2-兀_乙解：原式-lim（a"2）（72）= lim（2）=oxt2-x- £xt2-2 用两个重要的极限来求函数的极限利用lim沁=1来求极限xto xlim沁i的扩展形为:x->（） 兀令g（x）to

4、,当xt%或xtooll寸，则有limx»0sing(x)g(x)i 或 limx->00sing(x)g&)例2：limxt/tsinx71 -x解：令 x-7t-x.则 sinx二sin (龙 一 t)=sint,且当 x 兀时/toi右 sinx sin/ 収 hm = lim = 1 xt/t 71 x 0 厂 例3：求血皿-"x->l x 一 1解：原式=1卯塔加“imw)也3 = 2a->1x2利用lim（i+丄）=£来求极限xt00xim（i+）= £的另一种形式x>00xlim（i+q）"=幺事实

5、上，令ot（）j-& =兀 too oqto所以£ = im（i+）' =lim（i+q）“ = e xkxxtoo兀gto1例4：求lim(1 + 2兀)；的极限12xx->()解：原式二 lim (1 + 2兀)2(1 + 2力xto利用这两个重要极限來求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形 式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一 般常用的方法是换元法和配指数法。3 利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即lim加 =1称/w与gm是* -心吋的等价无穷巾 g(x)小量，记作gcx)cxt兀0).定理2：设函数f(

6、xlg(x),h(x)在泸(兀0)内有定义, 且有f(x)g(x)(兀t兀0) 若 lim/(x)g(x)=人则=人x>x0x>x() 若1妙鬻"则需"证明： um g（x）（x）= lim弓3 - lim /力= i a = a xt%xtjv（> j ） xt*。可类似证明，在此就不在详细证明了!由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5：求愿驾严的极限sin v-ft?： 曲 tanx-sinx =（1-cosx）而sinx 圮（xto）；cosx兀21-cosx,（兀 to）； sinx3 -x3 兀彳,（兀 to）.故有lima-&g

7、t;()tan x - sin x3sin”=limxt()1cosxx-注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于lim- i，故有sin x x,(x -> 0). 乂由于 x-»0%jm a"”11 兀=1,故有 arctanx x , (xt 0).xto兀另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘 或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则 不能随意代换。如上式中，若因有tanx兀，(% -> 0); sinxx,(xt0).而推出屛心二恤二4=o则得到的

8、结果是错误的。 wo sin 对 5 sinx4.利迫敛性來求极限定理 3:设limf(x)= limg(x)二a,且在某u°(xq,')内有 f (x) <h(x) <g(x),xt"。x>x(>则 limh(x)二 a例6：求的极限解:0 1 <xx->o - l人x. 口lim(uxt(t由迫敛性知limxxt(厂做此类型题fl的关键在于找出大于己知函数的函数和小于己知函数的函数, 并且所找出的两个函数必须耍收敛于同一个极限。5 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数/(x)在x0点连续，则lim/=/uo

9、)及若 lim 0(兀)=。x->jc0x>x0且f(u)在点a连续，则lim/kw = / limwxt%xtx。1-cos.v例7：求lime2arcsinr2的极限x->()解：由于lim if =丄及函数/(«) = /在 =丄处连续，故丄出丄2arcsinx2 4八丿41 - cosxij i-cosx1im £2arcsin.f 二幺出恥血锐二/。x->06 利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述屮，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小(大)量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小 量或两个无穷大量的

10、比的极限统称为不定式极限，分别记作?型或巴型的不定0 00式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法 则。下面就给出不定式极限的求法。(1) 对于°型不定式极限，可根据以下定理來求出函数的极限0定理4汽 若函数f (x)和函数g(x)满足： lim /二 lim g 二°。x>x0x>x0 在点无0的某空心邻域°(兀0)内两者都可导，且g©)holimxf0心耳二a。(a可为实数, 丈(兀)也可为±00或00)则 lim 倍=limx->x() s a/大t.q)注：此定理的证明可利用柯西中值定理，

11、在此，笔者就不一一赘述了。例8：求limx1 + c0sxtan2 x解：容易检验f (x)=l+cosx与g(x) = tan2兀在x() = tt的邻域里满足定理的条件和，又因limfx) _一 sinx _ _ cos3 x _ 17«"11212tanxsec2x"2=2故由洛比达法则求得,x->x05 人丿xtx()广(x)_l gx) 2在此类题目中，如果烛怎仍是#型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则,即考察极限limxt%3是否存在。当然，这是厂(x)和gx)g'(x)在x。的某邻域内必须满足上述定理的条件。例9：求li

12、mx->()(1 + 2兀)2ln(l + x2)解：利用 ln(l + x2) - x2 (xto),则得1_丄应小_1 丁一(1 + 2"”一(1 + 2兀)2护一(1 + 2兀)x22x丿杲氏lim$lim齐lim：xt()兀a->()/兀xt()乙在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算屮的诸多不便，可用适当的代换，如下例,例 10：求lim-.yt(t 1vx解：这是#型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适 当的变换，计算上就会更方便些，故令/ =仮,当xt(r时有rt(r,于是有limxt(t1 ”(2) 竺型不定式极限00若满

13、足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5:若函数f(x)和函数g(x)满足: lim/w=limw=co.r->x0+.r->x0+ 在点兀0的某空心邻域沪+（兀0）内两者都可导，且丈（兀）工0=aolim丄q二a, （a可为实数，也可为±00或00）。 x* g©）则lim此定理可用柯四屮值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。例 11：求limjvt+8 x解：由定理4得,注1:lim大一4cqlnxlim大一+8(lnx)= lim£ =。xt+co 兀并不能说明im "不存在。f g（x）注2：不能对任何比式极限都按洛比达

14、法则来求解。首先必须注意它是不是 不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。下面这个简单的极限limx00虽然是竺型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则：00lim上沁就会因右式的极限不存在而推出原式的极限a->00xxt8丨不存在这个错误的结论。（3）其它类型不定式极限不定式极限还有0-oo, r, 0°, 00°, 00 - 00等类型。这些类型经过简单的 变换，都可以化为9型和丝型的不定式极限。0 00例 12：求lim.xnxxto.解：这是一个广型的不定式极限，作恒等变形xlnx二学，将它转化为于型的1 00x不定式极限，并用洛比达法则得到lnxt

15、x1二 lim 台二 lim(-力=02例13：求lim (cos兀严xto解：这是一个广型的不定式极限，作恒等变形扌-y in cos x(cos%)" =ex其指数部分的极限iim 4lncosx是°型的不定式极限，可先求得x->00xto 2 兀2“1 “- tanxlim-rlncosx=limxto x丄 丄从而得im (cosx)“ =e 2 xto例 14:求 11jq (sinx),+lnv (k 为常数)x->(r解：这是一个0°型的不定式极限，按上例变形的方法，先求竺型的极限,00lim.wkcosx晋 = lim 沪汙氓i + l

16、nx yt(t 1 xt(fsin xx然后得到limginzy"(比工0)xt(厂当k =0时上面的结果仍成立。丄例 15:求lim(x + 71 + x2)x->+00解：这是一个00°型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（竺型）00lnxln(x + vl + x2)limx>+oo-1 v1 + 兀-limj1x>+00x _1_于是有 lim (x + vi + x2),n x = ext+007 利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式,对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。例 16：求umcosx7 2xtox解：本题可用洛比达法则

17、来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式 求解，考虑到极限式的分母为我们用麦克劳林公式表示极限的分了,(取 n=4)cosx二1-"2-丁2424xx +x +o(x5)cosx" 2(r5)12因而求得limc（）s v7 2xx4 +0（x5）1_1. 12 112a -lim/x->0儿xto兀&利用微分中值定理和积分中值定理求极限qx _ qsinx例】7：求吨_解：0 2'2、心22、心兀一血兀x3x-sinxx3由微分中值定理得,2x c sin x； 二 2in 2 厂.x - sin x（ g介于x与sin x之间）x33x2原

18、式二lim* lim = lim（" m2）亦罟匚晋x>（）兀 sin x x>o 兀：toa>obqx _ qsinx/ 一乙例18：求xt() x 的极限解：0 2 2 =2-2、心 m兰x-sinx x由微分中值定理得,0 x _ 7 sin x=2' in 2 尸x-sinx（ q介于兀与sin x之间）qjc _ qsinx原式伽kt喃>03x29 利用定积分求极限，1 1例求i】卯荷+忌2解：把此极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算计算定积分，为此作如下变形:7=limz , n"too /=1 + 上n不难看岀，其中的和式

19、是函数发/(x) 在区间0,1上的一个积分和。(这z-1 i(心12仏)，所以里所取的是等分分割，ax, = , 6 =wnnj = f = ln(l + x) f = ln2)1 + xj)“ x三总结qdxin 2当然，也可把j看作/(x) = -在1,2上的定积分，同样有以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题h时，仅 仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明口以上各方法所需的条件也是不够的， 必须耍细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省 去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明 了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一h之功，必须要多做