浅析山西中考数学压轴题解法攻略(于龙海)

1、浅析山西中考数学压轴题解法攻略太原杏岭实验学校初中部：于龙海伴随着山西百校联考一的结束，感觉同学们备受打击，特别是23题的综合与探究，同学们更是束手无策，今天就来谈谈此类题型的备考策略，希望对同学们能有所帮助。山西省中考题对于此类问题的考察经常是函数与几何结合，它的综合性强，灵活性大，对同学们的审题、分析、计算、画图、猜想、归纳、分类、心理等都有较高的要求。因此，同学们在中考总复习中，要善于总结、训练、掌握分析和解决中考数学压轴题的思想方法，提高解题的能力。我从以下几个方面来进行指导：一、审题 有很多同学认为审题就是读上几遍题，弄清已知、未知就行了，其实不然，我们应当这样来审题：1、审函数此类

2、题型经常以二次函数为背景来设计问题，因为二次函数图象不是线性的，所以它并不参与几何图形的问题，它常常为我们提供与坐标轴的交点、顶点、对称轴、图象上的动点，并且伴随着一次函数来加大问题的复杂性.2、审几何图形（1）点：图象与坐标轴的交点、二次函数图象的顶点、图象之间的交点、动点等。（2）线：对称轴、平行于坐标轴的线、不平行于坐标轴的线。（3）形：直角三角形（直角边平行于坐标轴的作为重点）、有一边平行于坐标轴的三角形、特殊的三角形、平行四边形、特殊的平行四边形等。二、解题指导1、解题方法：几何法、解析法2、点、线、形之间的关系（1）点坐标的求法根据点坐标的定义，求这个点到坐标轴的距离。点在函数图象

3、上，根据函数关系式设点的坐标（通常只设一个未知数），表示出线段的长度，再由线段间的数量关系或函数关系式列方程即可求出。解析法求交点坐标：求出两个函数关系式，联立方程即可。（2）如何建立线段间的数量关系线段间的和与差三角形全等、三角形相似（性质：成比例线段、面积比、周长比、对应的高、中线、角平分线的比）解直角三角形、特殊的线段。（3）如何解直角三角形构造直角边平行于坐标轴的直角三角形3、一次函数中的（1）如果直线与轴的夹角为，如图1、2，那么 （2）如果直线上有两点，如图3，那么,（3）直线与直线 如果，那么 如果，那么 4、计算此类题型对同学们的计算要求也非常高，数据复杂，望同学们多计算，数据

4、的处理合理、严谨，除此之外，我把常用的计算总结如下：（1）待定系数法求函数关系式（2）一次函数中的求法（第3条）（3）二次函数中顶点坐标的三种求法（含最值的求法）配方法顶点坐标公式中点坐标公式求对称点的中点坐标（4）锐角三角函数三角函数的定义特殊角的三角函数值（借助三角板计算更简单）5、数学思想（1）分类思想：运动产生的分类：了解运动过程，进行分类对图形的分类：直角三角形、等腰三角形、平行四边形（含特殊）、三角形全等相似等（2）数形结合要求同学们有二次画图的能力，特别是有分类的情况，不要在原图中分析，而是重画为简单的图形（静态的用中性笔来画，动态的用铅笔来画更为方便）（3）类比思想：多在分类中

5、有所体现，每种情况的解题思路一样时即可用此种思想。（4）方程思想：建立方程求解。（5）猜想有些问题具有特殊性，同学们要敢于大胆猜想。以上指导可作为同学们解决此类问题的切入点，如有不足可补充说明或加以修改，接下来我就结合几个实例来进行分析、帮助同学们理解。例1（2019年山西百校联考一第23题：14分）综合与探究：如图，已知抛物线与轴交于两点，点在点的左侧，与轴交于点,抛物线的对称轴与轴相交于点.（1）求点的坐标；（2）若点为坐标平面内一点，且,求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点,使?若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.【分析与解答】（1）问，题干给出了二次函数关系式为

6、，涉及求图象的对称轴，与坐标轴的交点，其中点与点关于对称轴对称，我们可以轻松的解决（1）问了。当时，此时当时，此时（2）问给出，同学们分析可知点是三边的垂直平分线的交点,说明点在对称轴上，求出对称轴就知道了点的横坐标（你准备用哪种方法求对称轴）同时点又在边的垂直平分线上，找到点，画出图形。方法一：几何法（如图1）对称轴为直线，即求点的坐标即求的长度，构造,解，我们发现只有条件,解不了，再构造另一个，,由,根据勾股定理得，,点方法二：解析法（如图2）因为点为直线的交点,所以联立两直线的关系式解方程即可，如何求直线的关系式？我们已经知道，直线且过线段的中点,所以应先求出直线的关系式，再求直线的关系

7、式。设直线的关系式为设直线的关系式为由根据待定系数法可求直线的关系式为根据中点坐标公式可求点由得，所以，再根据待定系数法求出直线的关系式为，时，点（3）问中的这个条件，看起来很复杂，但是中的一个定角（如图3）我们可以在中求出，故可求出。于是（3）问就变为：在抛物线上是否存在点,使?若存在，求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由.因为，所以构造所在的,可知,这样在点的运动过程，通过我们的分析可知有两种情况，如图4、图5.此问的求解充分的体现了我在前面给同学们总结的一些方法，请同学们认真研读。【方法一】设点的坐标表示线段的长度根据线段间的数量关系建立方程求解。根据二次函数关系式设点当点在

8、轴上方时：如图4因为，所以解得此时,所以点当点在轴下方时：同理可求出点综上所述点或请同学们类比上述方法求出图5中点的坐标。【方法二】设点的横坐标或纵坐标（此设法与关系式无关）点到坐标轴的距离表示点的坐标代入函数关系式求解。设点的横坐标为，由得，则或当时，解得此时，所以点当时，解得此时所以点综上所述点或【方法三】如图6、图7：点是抛物线和直线的交点，故先求出直线的关系式，再与抛物线联立解方程即可。如何求直线的关系式呢？设直线的关系为:因为是直线与轴的夹角，而,所以，那么，因为直线过点当时（如图6）直线的关系式为：与抛物线联立得解得此时所以点当时（如图7）同理可得点综上所述点或【总结与反思】此题的

9、几何关系并不复杂，把握好点、线、形之间的关系，注意分类、类比、计算、画图，对于解析法的训练是很不错的一道题，望加强训练。 接下来我们共同分析与解答2018年山西中考题第23题例2（2018山西省中考第23题）综合与探究如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接.点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点.（1）求三点的坐标；（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值.【分析与

10、解答】（1）问，很简单，求抛物线与轴的交点坐标由_=0，得_，解得_，_求抛物线与轴的交点坐标由_，得_，_【分析线段】由点的坐标，可以得到哪些线段的长度？请表示出来_由点的横坐标为，点在抛物线上，故_由轴，=_,=_【分析图形】你能找到哪些特殊的图形_（2）我们分析一下（2）问，以为顶点的三角形是等腰三角形，当然得分类_分析点，点是与的交点，直线的关系式为_用表示点的坐标_点的坐标也可以这样来表示：，分析可知为等腰直角三角形点 在第四象限点_接下来按分类标准分别求解当时，请同学们在备用图中画出图形我们利用“指导中”点坐标的求法分析、求解根据线段的数量关系建立的方程所在的直角三角形为,=_=_

11、,=_根据勾股定理_，解得_再求点的纵坐标_点坐标为_当时，请同学们在备用图中画出图形，并求解当时，在第四象限，你认为存在这样的点吗？请画图验证一下，我们发现不存在，那么如何说明呢？在中,=_请你表示=_由，得_解得：_请你判断一下点是否符合题意？（3）问：【方法一】用含的代数式表示线段的长，我们当然得构造以为斜边的直角三角形，如图所示，来解这个直角三角形，分析有什么条件，发现是等腰直角三角形（你知道为什么吗），想解这个直角三角形得把或用含的代数式来表示。由（1）（2）问的分析可知点坐标_,点坐标_=_与有什么关系？我们得解,而（此处你也可以证得到这种数量关系，我是用解直角三角形的方法给同学们

12、分析的，请同学们灵活运用） _=_=_最后求的最大值求出这个最大值，同学们想一想，此时的是否具有特殊性【方法二】求直线的关系式，联立方程求的坐标直线的关系式为_直线的关系式为_设直线的关系式为,=_直线过点直线的关系式为_联立直线的关系式，可求点的坐标为_过点轴，=_,为_三角形=_在中，=_同学们比较一下方法一、方法二，谈谈你的感受。【总结与反思】对比例1与例2，例1中的图形较为简单,而例2中图形结构较为复杂，构造直角三角形，证相似，解直角三角形，建立线段间的数量关系，计算等对同学们来说都是一种挑战，两道例题老师分别用几何法和解析法给同学们进行了指导，希望对同学们能有所帮助，同时也希望同行们

13、提出宝贵建议，以便于整改。下面这道题，大家用两种方法研讨一下，对比两种方法的优缺点，谈谈你的想法。例3（2018山西百校联考四第23题14分）综合与探究如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点.点的坐标为.抛物线上有一动点，过点作轴的平行线分别交轴和直线于点和，点的横坐标为，过点作直线于点.（1）求抛物线及直线的函数关系式；（2）当点是线段的中点时，求的值；（3）如图2，当点移动到抛物线的顶点位置时停止运动，点为抛物线上的另一动点，则在轴的正半轴上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.解

14、：如果同学们有兴趣，或者意犹未尽，也想熟能生巧的话，大家不妨小试牛刀。【巩固训练】1、（2017山西中考第23题14分）综合与探究如图,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),与轴交于点,连接.点沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动,同时,点沿以每秒2个单位长度的速度由点向点运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连接.过点作轴,与抛物线交于点,与交于点.连接,与交于点.设点的运动时间为秒(>0).(1)求直线的函数表达式;(2)直接写出两点的坐标(用含的代数式表示,结果需化简);在点运动的过程中,当时,求的值;(3)试探究在点运动的过程中,是否存在某一时刻,使得点为的中点.若存

15、在,请直接写出此时的值与点的坐标;若不存在,请说明理由.解：2、（2016山西中考第23题14分）综合与探究如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于a,b两点,与y轴交于点c,直线经过坐标原点o,与抛物线的一个交点为d,与抛物线的对称轴交于点e,连接ce,已知点a,d的坐标分别为(-2,0),(6,-8),(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点b和点e的坐标;(2)试探究抛物线上是否存在点f,使foefce,若存在,请直接写出点f的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点p是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线pb与直线l交于点q.试探究:当m为何值时,opq是等腰三角形.解：3、（2015山西中考第23题13分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为,抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴相交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过两点.（1）求两点的坐标及直线的函数表达式；（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线,设抛物线的对称轴与直线交于点，当为直角三角形时，求点的坐标，并直接写出抛物线的函数表达式；（3）如图，连接,将沿轴向右平移个单位（），得到.设交直线于点，交于点，连接、.求四边形的面积（用含的代数式表示）.4、（2014山西中考第23题13分）综合与探究