MATLAB求解微分方程实验学习教案

1、会计学1MATLAB求解微分方程求解微分方程(wi fn fn chn)实验实验第一页，共29页。实验实验(shyn)目的目的实验实验(shyn)内容内容MATLAB2、学会用、学会用Matlab求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)的数值解的数值解.实验软件实验软件1、学会用、学会用Matlab求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.1 1、求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.2、求微分方程的数值解、求微分方程的数值解.第1页/共28页第二页，共29页。微分方程微分方程(wi fn fn chn)的解析解的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程

2、1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量)注意： y Dy，y D2y 自变量名可以省略，默认变量名t。第2页/共28页第三页，共29页。例11)0(,12yydxdy输入(shr)：y=dsolve (Dy=1+y2) y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x)输 出 ( s h c h ) ： y = t a n ( t - C 1 ) （通解） y1= tan(x+1/4*pi) （特解）MATLAB软件(run jin)求解第3页/共28页第四页，共29页。例2 常系数(xsh)的二阶微分方程0)0( , 1)0(, 032 yyyyyy=dsolv

3、e(D2y-2*Dy-3*y=0,x)y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x)输入(shr)：y = C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)y = 3/4*exp(-x)+1/4*exp(3*x)结果：第4页/共28页第五页，共29页。x=dsolve(D2x-(1-x2)*Dx+x=0, x(0)=3,Dx(0)=0)例3 非常系数的二阶微分方程0)0( , 3)0(, 0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx无解析(ji x)表达式！第5页/共28页第六页，共29页。x=dsolve(Dx)2+x2=1,x(0)=0)例4 非线性微

4、分方程(wi fn fn chn)0)0(, 1)()( 22xtxtxx = sin(t) -sin(t)若欲求解的某个(mu )数值解，如何求解？t=pi/2; eval(x)MATLAB软件(run jin)求解第6页/共28页第七页，共29页。输入(shr)：x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y)x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1)例51)0(0)0(3443yxyxdtdyyxdtdx输出(shch)： x =-exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t) y =exp(3

5、*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t) x =exp(3*t)*sin(4*t) y =exp(3*t)*cos(4*t)MATLAB软件(run jin)求解第7页/共28页第八页，共29页。解解 输入命令输入命令(mng lng) ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z, . Dy=4*x-5*y+3*z,. Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将将x简化简化 y=simple(y) z=simple(z)结 果 为：x =C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 y =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t

6、)+exp(-t)*C1 z =C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)第8页/共28页第九页，共29页。微分方程微分方程(wi fn fn chn)的数值解的数值解（一）常微分方程数值（一）常微分方程数值(shz)解的定义解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程(wi fn fn chn)往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。的相应近似值求出准确值，值处，即对的若干离散的开始其数值解是指由

7、初始点，：对常微分方程nnnyyyxyxyxyxxxxxxyxyyxfy, )(,),(),( )(),( 2121210000返 回第9页/共28页第十页，共29页。（二）建立（二）建立(jinl)数值解法的一些途径数值解法的一些途径001)()( , 1, 2 , 1 , 0 , yxyx,yfynihxxii解微分方程：可用以下离散化方法求设1、用差商代替、用差商代替(dit)导数导数 若步长h较小，则有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即欧拉法欧拉法。第10页/共28页第十一页，共29页。2、使用、使用(shyn

8、g)数值积分数值积分对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：)(,()(,(2)(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii实际应用时，与欧拉公式结合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的计算。然后继续下一步，取时，当满足，对于已给的精确度）（ y y 2i111i)(1)1(1kikikiyyy此即改进(gijn)的欧拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii第11页/共28页第十二页，

9、共29页。3、使用泰勒、使用泰勒(ti l)公式公式 以此(y c)方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式、数值公式(gngsh)的精度的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返 回第12页/共28页第十三页，共29页。（三）用（三）用Matlab软件软件(run jin)求常微分方程的求常微分方程的数值解数值解t，x=solver（f,ts,x0,optio

10、ns）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0,tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.第13页/共28页第十四页，共29页。 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量(fn ling

11、)形式写成。 2、使用Matlab软件(run jin)求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组。注意注意(zh y):( )(1)(1)( , , ,)(0), (0),(0)nnnyf t y yyyyy 选择一组状态变量(1)12,nnxy xyxy 122312,( ,)nnxxxxxf t x xx第14页/共28页第十五页，共29页。注意(zh y)1、建立、建立M文件函数文件函数(hnsh) function xdot = fun(t,x,y) xdot = x2(t)；x3(t)；f(t, x1(t), x2(t),xn(t)；2、数值计算（执行以下命令）、数值计

12、算（执行以下命令） t,x1,x2,xn=ode45(fun,t0,tf,x1(0),x2(0),xn(0)122312,( ,)nnxxxxxf t x xx第15页/共28页第十六页，共29页。解解: 令 y1= x，y2= y1= x1、建立(jinl)m-文件如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入(shr)命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、结

13、果(ji gu)如图第16页/共28页第十七页，共29页。解解 1、建立、建立(jinl)m-文件如下文件如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入(shr)命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果(ji gu)如图图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.第17页/共28页

14、第十八页，共29页。例例9 Van der pol 方程方程：0)0( , 3)0(0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx令令 y1=x (t), y2 = x(t) 0)0(3)0()1(211221221yyyyyyyy该方程(fngchng)无解析解！第18页/共28页第十九页，共29页。（1）编写(binxi)M文件 ( 文件名为 ): function dy = vdpol(t,y); dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1); % 或 dy=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);（2）编写程序如

15、下:（） t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0); y1=y(:,1); % 原方程的解 y2=y(:,2); plot(t,y1,t,y2, - ) % y1(t),y2(t) 曲线图 pause, plot(y1,y2),grid % 相轨迹(guj)图，即y2(y1)曲线第19页/共28页第二十页，共29页。计算结果第20页/共28页第二十一页，共29页。第21页/共28页第二十二页，共29页。例10 考虑(kol)Lorenz模型：)()()()()()()()()()()()(321233223211txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtx其中(qzhng)参数=

16、8/3，=10，=28解：1）编写M函数文件(); 2) 数值(shz)求解并画三维空间的相平面轨线； ()第22页/共28页第二十三页，共29页。1、 lorenz.mfunction xdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x;2、x0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on第23页/共28页第二十四页，共29页。0246810-20-100

17、10203040500204060-20020-20-100102030图中，x1的图形(txng)为实线(蓝），x2的图形(txng)为“*” 线(绿)，x3的图形(txng)为“+”线（红）。取t0，tf=0，10。计算结果如下计算结果如下(rxi)图：图：第24页/共28页第二十五页，共29页。曲线呈震荡(zhndng)发散状三维图形(txng)的混沌状若自变量区间(q jin)取0，20、0，40，计算结果如下：第25页/共28页第二十六页，共29页。观察(gunch)结果： 1、该曲线包含两个“圆盘(yun pn)”，每一个都是由螺线形轨道构成。某些轨道几乎是垂直地离开圆盘(yun pn)中一个而进入另一个。 2、随着(su zhe)t的增加，x(t)先绕一个圆盘几圈，然后“跳”到另一个圆盘中。绕第二个圆盘几圈，又跳回原来的圆盘。 并以这样的方式继续下去，在每个圆盘上绕的圈数是随机的。 第26页/共28页第二十七页，共29页。1）x0=0 0.1 0.1;t0,tf=0,30;解向量解向量(xingling)y2）x00=0.01 0.11 0.11;t0,tf=0,30;解向量解向量(xingling)x y x = (y1-x1,y2-x2,y3-x3)思考：