圆和直角三角形

1、题目：解直角三角形中考要求：考试要求考试内容ABC勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形锐角三角函数了解锐角三角函数（sinA,cosA,tanA） ；知道 30、45、60角的三角函数值由一个角的三角函数，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 30、45、60角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能够根据具体问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解

2、决问题教学建议：本单元建议使用 3 课时第一课时：复习内容：三角函数的概念，特殊角的三角函数值，解直角三角形复习建议：（一）知识梳理：1、锐角三角函数定义：在ABC 中，C=90，斜边的对边AAsin斜边的邻边AAcos的邻边的对边AAAtan2、特殊角的三角函数值 角度三角函数304560sin212223cos232221tan33133、解直角三角在 RtABC 中，C=90，A、B、C 所对的边分别记为 a、b、c.则锐角之间：A+B=90.三边之间：；222cba边角之间：；baAcbAcaAtan,cos,sin.abBcaBcbBtan,cos,sin4.勾股定理逆定理(二)相关

3、题目:1、计算：0)151(30sin2273含有 30、45、60角的三角函数式的值的计算2、在 RtABC 中，C=90.(1)已知，求 tanA;31sinB(2)已知,c=12,求 b;32cosA(3)已知，,求 a;21tanB510c(4)已知,c=18,求 a.30B运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题3、如图：在 RtABC 中，C=90，D 是 AC 边上的中点，DEAB 于 E,若,BE=7，求 DE 的长.21tanAEDCAB本题是利用公共角A，通过设 k 的思想解决问题4、在ABD 中，,求 AC 的长.30B45C322BCBAC本题是解由两个特殊直角三角形

4、构成的组合图形的问题（这几道题可做为例题）5.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5610(单位：)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13， 小孔到图中边 AB 距离为 1，到上盖中与 AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为 h，则 h 的最小值大约为_.（精确到个位，参考数据：21.4, 31.7, 52.26.如图，在ABC中，C=90，sinA=54，AB=15，求ABC的周长和 tanA的值7如图（3）ADCD，AB13，BC12，CD3，AD4，则 sinB=A、 B、51312133545BDCAAB1056吸管8.如图，沿 AC 方向开山修渠，

5、为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工. 从 AC 上的一点 B 取ABD=，BD=520m，D=，如果要使 A，C，E 成一直线，求开13545挖点 E 离 D 的距离(精确到 1m).9. 中华人民共和国道路交通管理条理规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过千米/时 ”如图所示，已知测速站到公路 的距离为 3070MlMN米，一辆小汽车在公路 上由东向西行驶，测得此车从点行驶到点所用的时lAB间为 2 秒，并测得，计算此车从到的平均速度60AMN30BMNAB为每秒多少米（结果保留两个有效数字） ，并判断此车是否超过限速 （参考数据：，）31.73221.41410如图，在梯形

6、ABCD 中，ADBC，ACAB，AD=CD，cosB=，BC=26135求（1）cosDAC 的值；（2）线段 AD 的长11某工厂接受一批支援四川省汶川灾区抗震救灾帐篷的生产任务根据要求，帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形组成（如图所示） 已知等腰的底角，且，矩形的边，这个横截ABEAEB3tan4BCDE2CDBC面框架（包括）所用的钢管总长为 15m，求帐篷的篷顶到底部的距BEACD离 （结果精确到 0.1m）MNBAlCBADABCDE（这几题可做为练习）建议：本课时的题目不宜太难，让学生掌握方法.第二课时：复习内容：解直角三角形的应用要点：仰角、俯角、坡角、坡度、方位角的概念；

7、将实际问题转化成数学问题.如图，小明在楼顶A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为 52，楼底点D处的俯角为 13若两座楼AB与CD相距 60 米，则楼CD的高度约为 米 （结果保留三个有效数字） （sin130.2250，cos130.9744，tan130.2309，sin520.7880，cos520.6157，tan521.2799）.如图，甲船在港口的北偏西方向，距港口海里的处，沿方向P6080AAP以 12 海里/时的速度驶向港口乙船从港口出发，沿北偏东方向匀速驶PP45离港口，现两船同时出发，2 小时后乙船在甲船的正东方向求乙船的航行P速度 （精确到 0.1 海里/时，参考数据，）21

8、.4131.73.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到 0.1m）AP东北4560DBC1352A60 米参考数据：1.414，1.73223（以上可做为例题）4.由山脚下的一点 A 测得山顶 D 的仰角是45，从沿倾斜角为 30的山坡前进 1500 米到 B，再次测得山顶 D 的仰角为A60，求山高 CD.5.小王站在 D 点测量学校旗杆顶点 A 的仰角AEC33，小王与旗杆的水平距离BD10，眼睛与地面的高度 ED1.6，mm求旗杆 AB 的高度（精确到 0.1 米） 6. 我市准备在相距 2 千米的 A、B 两工厂间修一条笔直的公路，但在 B 地北偏东

9、 60方向、A 地北偏西 45方向的 C 处，有一个半径为 0.6 千米的住宅小区（见下图） ，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？ （参考数据：41. 12 73. 13 ）7.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从 A 处起飞，几分钟后便飞达 C 处，此时，在 AQ 延长线上 B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆 PQ 的顶点 P 在同一直线上.（1）已知旗杆高为 10 米，若在 B 处测得旗杆顶点 P 的仰角为 30，A 处测得点 P 的仰角为 45，试求 A、B 之间的距离；（2）此时，在 A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为 75，若绳子在空中视为一条线段，求绳子 AC 约

10、为多少？（结果可保留根号）8.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为 66 m，这栋高楼有多高？（结ADCB14m6m3045EDCAB果精确到 0.1 m，参考数据：73. 13 ）9.某校九年级（2）班在测量校内旗杆高度的数学活动中，第一组的同学设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下数学活动报告中的一部分数学活动报告数学活动报告活动小组：第一组 活动地点：学校操场活动时间：年月日年上午 9：00 活动小组组长：课题测量校内旗杆高度目的运用所学数学知识及数学方法解决实际问题测量旗杆高度方案方案一方案二方案三示意图测量

11、工具皮尺、测角仪皮尺、测角仪测量数据：1.5mAM ，10mAB 30，601.5mAM ，20mAB 30，60计算过程（结果保留根号）解：解：测量结果DN DN （1）请你在方案一二中任选一种方案（多选不加分） ，根据方案提供的示意图及相关数据填写表中的计算过程、测量结果（2）请你根据所学的知识，再设计一种不同于方案一、二的测量方案三，并完成表格中方案三的所有栏目的填写 （要求：在示意图中标出所需的测量数据？长度用字母abc，表示，角度用字母，表示） 10.又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物BACDMNDAMCNGBCAB馆” 下面是两位同学的一段对话：甲：

12、我站在此处看塔顶仰角为60乙：我站在此处看塔顶仰角为30甲：我们的身高都是 1.5m乙：我们相距 20m请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到 1 米） 11.如图，山脚下有一棵树AB，小华从点 B 沿山坡向上走 50 米到达点 D，用 高为 1.5 米的测角仪 CD 测得树顶的仰角为 10，已知山坡的坡角为 15，求树 AB 的高(精确到 01 米)（已知sin100.17, cos100.98, tan100.18, sin150.26, cos150.97, tan150.27)12.曙光中学需制作一副简易篮球架，如图是篮球架的侧面示意图，已知篮板所在直线 AD 和直杆 EC 都

13、与 BC 垂直，BC2.8 米，CD1.8 米，ABD40，求斜杆 AB 与直杆 EC 的长分别是多少米？（结果精确到 0.01 米）解：13.如图，已知某水库大坝迎水坡 AB 的坡角 =47，PQ 为水库水面（点 P在 AB 上） ，AEPQ 于 E，PA=20 米，求水深 EA（精确到 0.1 米）D C BAEEDABCPQ14.港口 B 位于港口 O 正西方向 120 海里外,小岛 C 位于港口 O 北偏西 60的方向.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30的 OA 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O.同时一艘快艇从港口 B 出发,沿北偏东 30的方向以 60 海里/小

14、时的速度驶向小岛 C,在小岛 C 用 1 小时装补给物资后,立即按原来的速度给考察船送去.(1)快艇从港口 B 到小岛 C 需要多少时间?(2) 快艇从小岛 C 出发后最少需要多少时间才能和考察船东东东603030CBOA5. 如图，在海岸边有一港口已知：小岛在港口北偏东的方向，OAO30小岛在小岛正南方向，海里，海里计算：BA60OA 20 3OB （1）小岛在港口的什么方向？BO（2）求两小岛的距离AB，（以上可做为练习）建议：让学生学会建立数学模型北OABB ABCEOxy第三课时：复习内容：将解直角三角形的问题和其他问题的结合（如：三角形、四边形、函数、圆）相关题目：.如图，一次函数的

15、图象经过 M 点，与 x 轴交于A 点，与 y 轴交于 B 点，根据图中信息求：（1）这个函数的解析式；（2）tanBAO.如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片 ABCO将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x轴上，记为 B，折痕为 CE，已知 tanOBC34（1）求 B 点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式.如图，O 是ABC 的外接圆，O 的半径 R2，sinB43，则弦 AC 的长为 。.已知：如图，在ABC 中，是边上的高，为边的中点，;求：（1）线段 AC 的长；（2）tanEDC54sinB的值EDABC已知：如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB

16、C=90，C=45，BECD 于点 E，AD=1，CD=。求：BE 的长。22.如图，在梯形中，ABCDADBCABDCAD60C于点，求梯形的高AEBD1EAE ，ABCD.如图，在梯形中，ABCDADBCABAC45B，求的长2AD 4 2BC DC本单元的建议：解直角三形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考查的内容以基本知识和基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际综合运用知识的技能越来越明显。考查的题型以填空、选择、解答、应用题类型较多.BADECABCDBCEDA题目：圆中考要求：考试层次要求考试内容ABC圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上三点作圆，能利用圆的有关

17、概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能利用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对圆周角是直角会求圆周角度数，能利用圆周角知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能运用垂径定理解决有关问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题教学建议：本单元建议使用 4 课时第一课时：复习内容：圆的有关性质要点：与圆有关的概念：弧、弦、等弧等 与圆有关的角：圆心角、圆周角 圆的对称性：轴对称-垂径定

18、理及推论 旋转不变性同弧或等弧所对圆心角、弧之间的关系相关题目：1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A） ； （B） ； （C） ； （D） 2.如图，半圆的直径 AB=_3.如图，在O 中，若已知BAC=48,则BOC=_4.若圆的一条弦长为 6 cm，其弦心距等于 4 cm，则该圆的半径等于_ cm5.如图，是的弦，于点，若，则O 的ABOCABC8cmAB 3cmOC 半径为 cm6 题图ACBO5 题图6 如图：点 P 是弦 AB 上一点，连 OP，过点 P 作 PCOP，PC 交O，若AP4，PB2，则 PC 的长是 （ ）扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问

19、题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题012-1-21ABA. 2 B. 2 C. 22 D. 37.如图，直线 AB 与半径为 2 的O 相切于点 C，D 是O 上一点，且EDC30，弦 EFAB，则 EF 的长度为 （ ） A2 B C D2 332 28. 如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD于点 E连接 AC、OC、BC（1）求证：ACO=BCD （2）若 EB=8cm，CD=24cm，求O 的直径9. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（10，0）

20、，点 B 的坐标为（8，0） ，点 C、D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形求点 C 的坐标 BCAyxOMD10. 如图, CD 切O 于点 D,连结 OC, 交O 于点 B,过点 B 作弦 ABOD，点E 为垂足,已知O 的半径为 10,sinCOD=.45求：（1）弦 AB 的长；（2）CD 的长；（3）劣弧 AB 的长（结果保留三个有效数字, sin53.13o 0.8, 3.142）.11. 如图，在直角坐标系 xOy 中，每个网格的边长都是单位 1，圆心为 M（-4，0）的M 被 y 轴截得的弦长 BC = 6（1）求M 的半径长；（2）把M 向下

21、平移 6 个单位，再向右平移 8 个单位得到N；请画出N，观察图形写出点 N 的坐标，并判断M 与N 的位置关系，说明理由；（3）画出一个“以点 D（6，0）为位似中心，将N 缩小为原来的”的12PCBxyMoEDBAOCABCOEDABCEFDO12.已知：如图，在半径为 4 的O 中，AB，CD 是两条直径，M 为 OB 的中点，CM 的延长线交O 于点 E，且 EMMC连结 DE，DE=.15(1) 求证：；AM MBEM MC(2) 求 EM 的长；（3）求 sinEOB 的值.13. 已知：如图 10，在中，点是的角平分线上一点，ABCDBAC于点，过点作交于点求证：点是过BDADD

22、DDEACABEE三点的圆的圆心ABD，14. 如图，AB为的直径，D为弦BE的中点，连接OD并延长交于点F，与过B点的切线相交于点C若点E为的中点，连接AEAF求证：ABEOCBABCEDOMODBCFEA本节的内容在中考中重点考查圆的基本概念、基本性质的理解与运用，特别是垂径定理及推论，圆周角定理及推论的运用是考查的重点.第二课时：复习内容：与圆的有关位置要点：点与圆的位置；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系相关题目：1. 如图,AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点 D.若，若C18，则CDA_.O1O2BAPCBA2. 如图，圆 O1与圆 O2相交于

23、A、B 两点，它们的半径都为 2，圆 O1经过点 O2，则四边形 O1AO2B 的面积为 3. 如图所示，AB是的直径，AD是弦，DBCA ，OCBD于点E（1）求证：BC是的切线；（2）若1210BDEC，求AD的长4. 如图，PA、PB 是O 的切线，切点分别为 A、B、C 是O 上一点，若APB = 40，求ACB 的度数5.如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DEAC，垂足为E.（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为O的切线；（3）若O的半径为 5,BAC=60,求DE的长.6 如图，直线333yx与x轴、y轴分别相交于AB，两点，圆

24、心P的坐标为(10)，与y轴相切于点O若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P有 个7.已知如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，若 PAAB，PO 过 AC 的中点 M，求证：PC 是O 的切线8. 已知，如图，直线交于两点，是直径，MNAB，AC平分交于，过作于ADCAMDDDEMNEOxyBAPABOCPMCOBADMENEODCBA（1）求证：是 的切线；DE（2）若cm，cm，求的半径6DE 3AE 9. 如图，是O 的直径，是弦，延长到点，使得ABAD22.5DABABC （1）求证：是O 的切线；（2）若，求的长45ACDCD2 2AB BC10. 如图

25、,所示，四边形 ABCD 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD 相交于点 E。（1）求证：DECAEB；（2）当AED60时，求DEC与AEB的面积比。11.如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O，与斜边 AC 交于 D，E 是BC 边上的中点，连结 DE. (1) DE 与半圆 O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2) 若 AD、AB 的长是方程 x210 x+24=0 的两个根，求直角边BC 的长。12. 如图，点 D 是O 的直径 CA 延长线上一点，点 B 在O 上，且 ABADAO（1）求证：BD 是O 的切线（2）若

26、点 E 是劣弧 BC 上一点，AE 与 BC 相交于点 F，且BEF 的面积为 8，cosBFA，求ACF 的面积32本节的内容点与圆、线与圆、圆与圆的位置以填空、选择为主，切线的性质与判定以计算和证明为主，也可能出综合题，但不会考繁难的题目._ O_ F_ E_ B_ C_ A_ D第三课时：复习内容：与圆有关的计算要点：弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积相关题目：1.如图，有一圆心角为 120 o、半径长为 6cm 的扇形，若将OA、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是Acm Bcm 2435 Ccm Dcm62322. 数学活动课，小华制作了一个圆锥形的纸帽（如右图） ，其底面直

27、径为 24cm，母线长 20cm，则将这个纸帽展开成扇形时的面积是（ ） A240cm2 B120cm2 C480cm2 D540cm23. 如图，在RtABC中，903CAC，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BABC，为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为 4. 如图，小明从半径为 5cm的圆形纸片中剪下 40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠） ，那么这个圆锥的高为A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm5. .如图，在O 中，AOB=60，AB=3cm，则劣弧的长为_cm .AB6. 如图7，矩形ABCD中，BC2，DC4，以AB为直径

28、的半圆O与DC相切于E，则阴影部分地面积为 （结果用精确值表示） 。7. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型若圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 r 与 R之间的关系是【】A、R2r； B、； C、R3r； D、R4r3Rr8. 如图，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是A 上一点，且ACBPAEFDCB40%5R（图 1）（图 2）EPF=40，则图中阴影部分的面积是【】A B C D949849489889. 如图，AB为O的直径，CDAB于

29、点E，交O于点D，OFAC于点F（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当30D，1BC 时，求圆中阴影部分的面积10. 已知：如图，AB 是O 的切线，切点为 A，OB 交O 于 C 且 C 为 OB 中点，过 C 点的弦 CD 使ACD45，的长为，求弦 AD、AC 的长AD22本节的重点是计算弧长、扇形面积，会用所学知识求不规则图形，中考经常以填空或选择出现第四课时：复习内容：综合运用圆的知识，要点：拓展题目，开阔思路，学习运用知识解决相关问题.相关题目：1. 如图，已知EF是O 的直径，把A为60的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合

30、将三角板ABC沿OE方CBAOFDEABCDO45ACFO（B）EP向平移，使得点B与点E重合为止设POFx，则x的取值范围是（ ）3.如图，在ABC中，1086ABACBC，经过点C且与边AB相切的动圆与CBCA，分别相交于点EF，则线段EF长度的最小值是（ ）A4 2B4.75C5D4.84.如图，,，两两相外切，的半径，的半径1O2O3O1O11r 2O，的半径，则是（ ）22r 3O33r 123OO OA锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或钝角三角形5. 如图，O 是RtABC 的外接圆，AB 为直径，ABC=30，CD 是O 的切线，EDAB 于F，(1)判断DCE 的

31、形状；(2)设O 的半径为 1，且 OF=，求证DCE213 OCB 6. 如图，直线经过O 上的点，并且，O 交直线ABCOAOBCACB于，连接OBED，ECCD，（1）求证：直线是O 的切线；AB（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；BCBDBE，（3）若，O 的半径为 3，求的长1tan2CEDOAABDEOFCBCEFAO2O3O17. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上任意一点，ECF=45，CF 交AD 于点 F，将CBE 绕点 C 顺时针旋转到CDP，点 P 恰好在 AD 的延长线上.（1）求证：EF=PF；（2）直线 EF 与以 C 为圆心，CD 为半径的

32、圆相切吗？为什么？8.如图，在边长为 8 的正方形 ABCD 中，点 O 为 AD 上一动点（4OA8） ，以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆交边 CD 于点 M，连接 OM，过点 M 作O的切线交边 BC 于 N（1）求证：ODMMCN；（2）设 DM = x，求 OA 的长（用含 x 的代数式表示） ；（3）在点 O 的运动过程中，设CMN 的周长为 P，试用含 x 的代数式表示P，你能发现怎样的结论？9.如图，已知O 的直径 AB2，直线 m 与O 相切于点 A，P 为O 上一动点（与点 A、点 B 不重合） ，PO 的延长线与O 相交于点 C，过点 C 的切线与直线 m相交于点 D（1）求证：APCCOD（2）设 APx，ODy，试用含 x 的代数式表示 y（3）试探索 x 为何值时，ACD 是一个等边三角形10.如图所示，O 的直径 AB=4，点 P 是 AB 延长线上的一点，过 P 点作O 的切线，切点为 C，连结 AC.（1）若CPA=30 ， 求 PC 的长；（2）若点 P 在