华南师范大学电磁学习题课-静电场中的导体

1、静电场中的导体静电场中的导体 习题、例题分析习题、例题分析+24.2 一导体球半径为一导体球半径为R1，其外同心地罩以内、外半径分，其外同心地罩以内、外半径分别为别为R2和和R3的厚导体壳，此系统带电后内球电势的厚导体壳，此系统带电后内球电势 ，1外球所带总电量为外球所带总电量为Q. 求此系统各处的电势和电场分布求此系统各处的电势和电场分布.解：设导体球所带电量为解：设导体球所带电量为q，则由高斯定理，则由高斯定理易知外球壳的内表面所带电量为易知外球壳的内表面所带电量为-q，又由，又由电荷守恒定律可得外球壳的外表面所带电电荷守恒定律可得外球壳的外表面所带电量为量为Q+q.1R2R3RQqqQq

2、 由电势叠加原理可得内球电势为由电势叠加原理可得内球电势为3020101444RqQRqRq由此解得由此解得21313221132104RRRRRRQRRRRRq31R2R3RqqQq21313221132104RRRRRRQRRRRRq 分别由电势叠加原理和电场叠加原理可得分别由电势叠加原理和电场叠加原理可得此系统各处的电势和电场分布：此系统各处的电势和电场分布：0;:11ERr20320214;)(41:rqERqQRqrqRrR0;4:3032ERqQRrR20034;4:rqQErqQrR4设导体球上的感应电量为设导体球上的感应电量为Q由导体是个等势体知：由导体是个等势体知：o点的电势

3、点的电势也也为为0 由电势叠加由电势叠加原理有关系式：原理有关系式：04400rqRQ解：因为导体球接地，故其电解：因为导体球接地，故其电势为零，即势为零，即04.4 一个接地的导体球，半径为一个接地的导体球，半径为R，原来不带电，原来不带电. 今将一今将一点电荷点电荷q放在球外距球心的距离为放在球外距球心的距离为r的地方，求球上的的地方，求球上的感生电荷总量感生电荷总量.qRorqrRQ由此解得由此解得54.3 在半径为在半径为R1=6.0cm的金属球的金属球A外面套有一个同心外面套有一个同心的金属球壳的金属球壳B. 已知球壳已知球壳B的内、外半径分别为的内、外半径分别为R2= =8.0cm

4、,R3=10.cm. 设设A球带有总电量球带有总电量QA=3108C,球球壳壳B带有总电量带有总电量QB=2108C. (1) 求球壳求球壳B内、外表面上各带有的电量以及球内、外表面上各带有的电量以及球A和球和球B的电势；的电势；(2) 将球壳将球壳B接地然后断开，再把金属球接地然后断开，再把金属球A接地接地. 求金属求金属球球A和球壳和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球内、外表面上各带有的电量以及球A和球和球B的电势的电势.1R2R3RBQABAQ解解: (1)由高斯定理易得球壳由高斯定理易得球壳B内表面上带内表面上带有的电量为有的电量为）（内CQQA8103又由电荷守恒定律得球壳又由电荷

5、守恒定律得球壳B外表面上带有的电量为外表面上带有的电量为）（内外CQQQB810561R2R3R外QABAQ内Q）（外CQ8105，）（内CQ8103由电势叠加原理得球由电势叠加原理得球A的电势为的电势为)(106 .53123VRQkRQkRQkAA内外再由电势叠加原理得球壳再由电势叠加原理得球壳B的电势为的电势为)(105 .43333VRQkRQkRQkAB内外7(2) 当球壳当球壳B接地时，接地时，A球所带电荷的电量球所带电荷的电量不变，分布也不变不变，分布也不变. 又因球壳又因球壳B接地，所以其电势为零接地，所以其电势为零. 于是由电势叠加于是由电势叠加原理有原理有）（内CQQA81

6、030333RQkRQkRQkAB内外由以上两式可解得由以上两式可解得 0外Q此时球壳此时球壳B所带总电量为所带总电量为）（内外CQQQB8103由高斯定理可得球壳由高斯定理可得球壳B内表面上带有的电量为内表面上带有的电量为）（CQQAA81031R2R3R外QABAQ内Q8 当接地线断开然后把金属球当接地线断开然后把金属球A接地，金属接地，金属球球A的电势由原来大于的电势由原来大于0变为变为0，故它会与地，故它会与地交换电荷，其电量将发生改变，交换电荷，其电量将发生改变，但不一定变但不一定变为为0；球壳；球壳B所带总电量不变所带总电量不变. 进一步分析知球壳进一步分析知球壳B所带总电量为负，

7、它在球所带总电量为负，它在球A上产上产生的电势必为负，为使金属球生的电势必为负，为使金属球A的电势变为的电势变为0，金属球，金属球A所带电量必为正所带电量必为正. 虽然球壳虽然球壳B所带总电量不变，但由所带总电量不变，但由于球于球A带电且电量发生改变，通过静电感应，使得球壳带电且电量发生改变，通过静电感应，使得球壳B的电荷重新分布，其外表面的电量不再为零的电荷重新分布，其外表面的电量不再为零.）（CQB8103由电势叠加原理得球由电势叠加原理得球A的电势为的电势为)1 (0123 RQkRQkRQkAA内外1R2R3R外Q ABAQ 9)1 (0123 RQkRQkRQkAA内外对球壳对球壳B

8、，由高斯定理得，由高斯定理得)2(AQQ 内又由电荷守恒定律得球壳又由电荷守恒定律得球壳B外表面上带有的电量为外表面上带有的电量为)3()(1038CQQQQBB 内外由以上三个方程可解得由以上三个方程可解得)(101 .28CQA )(101 .28CQ 内)(109 .08CQ 外1R2R3R外Q ABAQ 10)(101 .28CQA )(101 .28CQ 内)(109 .08CQ 外内Q 因金属因金属A接地，所以其电势为接地，所以其电势为0A由电势叠加原理得球壳由电势叠加原理得球壳B的电势为的电势为)(101 .82333VRQkRQkRQkAB 内外1R2R3R外Q ABAQ 11

9、证明：如图所示，在导体表面取一小证明：如图所示，在导体表面取一小面积面积S,设其上的面电荷密度为设其上的面电荷密度为，这些电荷这些电荷在在S近邻处近邻处(即非常接近这即非常接近这S处处)的的P1和和P2点产生的电场可看成是点产生的电场可看成是无限大均匀带电平面产生的电场无限大均匀带电平面产生的电场.11E12ESSP1P2导体外导体外导体内导体内 设设S上的电荷在上的电荷在P1和和P2点产生的电场分别为点产生的电场分别为 11E12E和和 ，则有，则有01201122EE，4.1 求导体外表面近邻处场强的另一方法求导体外表面近邻处场强的另一方法. 设导体表面设导体表面上某处面电荷密度为上某处面

10、电荷密度为，在此处取一小面积，在此处取一小面积S S，将，将S面两侧的电场看成是面两侧的电场看成是S上的电荷的电场上的电荷的电场( (用无限大平面用无限大平面算算) )和导体上其它地方以及导体外的电荷的电场和导体上其它地方以及导体外的电荷的电场( (这电这电场在场在S附近可以认为是均匀的附近可以认为是均匀的) )的叠加，并利用导体内的叠加，并利用导体内合电场为零求出导体表面近邻处的场强为合电场为零求出导体表面近邻处的场强为 ( (即即(4.2)(4.2)式式).).0导体导体12SP1P2导体外导体外导体内导体内11E12E01201122EE， 又设导体上其它地方以及导体外的电又设导体上其它

11、地方以及导体外的电荷在荷在P1和和P2点处产生的场强分别为点处产生的场强分别为 和和21E22E21E22E由于由于P1和和P2点非常靠近，因此可认为点非常靠近，因此可认为2221EE由于导体内的场强为零，所以有由于导体内的场强为零，所以有02212 EE故故0111221222EEEE11E21E因为因为 和和 方向相同，所以导体外邻近一点方向相同，所以导体外邻近一点P1处处的场强大小为的场强大小为02111EEE134.7 试证静电平衡条件下导体表面单位面积受的力为试证静电平衡条件下导体表面单位面积受的力为nef202其中其中为面电荷密度，为面电荷密度， 为表面的外法线方向的为表面的外法线

12、方向的单位矢量单位矢量. . 此力方向与电荷的符号无关，总指向导此力方向与电荷的符号无关，总指向导体外部体外部.ne 证明：在证明：在4.1题中曾经证明了静题中曾经证明了静电平衡条件下导体上除电平衡条件下导体上除S外外其其它地方以及导体外的电荷在它地方以及导体外的电荷在P1和和P2点的电场为点的电场为P121E22ESP2导体外导体外导体内导体内021222 EE显然这些电荷在导体上显然这些电荷在导体上P3点处产生的场强点处产生的场强 为为23EneEEE20222123P323E14neEEE20222123 又由于对于又由于对于P3点来说点来说S面可看成是面可看成是无限大平面，所以由对称性

13、可知无限大平面，所以由对称性可知S面面上的电荷在上的电荷在P3 3处产生的场强处产生的场强E13为零为零. .P121E22ESP2导体外导体外导体内导体内P323E 因此，因此， S面上面上P3 3处的场强为处的场强为neEEE202313于是于是S面上单位面积受的力为面上单位面积受的力为neEf202 显然，此力方向与电荷的符号无关，总指向导体外显然，此力方向与电荷的符号无关，总指向导体外部部.15解：设每块板的两个表面的解：设每块板的两个表面的面电荷密度如图所示面电荷密度如图所示.123456 又设向下方向为电场强度又设向下方向为电场强度正方向，则由三块板内的电正方向，则由三块板内的电场

14、强度为零可得场强度为零可得0222222060504030201对对A板有：板有：4.5 如图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块如图所示，有三块互相平行的导体板，外面的两块用导线连接，原来不带电用导线连接，原来不带电. 中间一块所带总电荷密度为中间一块所带总电荷密度为1.310-5C/m2. 求每块板的两个表面的面电荷密度各是求每块板的两个表面的面电荷密度各是多少？多少？(忽略边缘效应忽略边缘效应)5.0cm8.0cmABC即即)1 (0654321对对B板有：板有：)2(0654321对对C板有：板有：)3(0654321165.0cm8.0cmABC123456由电荷守恒定律可得由电荷守恒定律可得对对A、C板：板：)4(06521对对B 板：板：)5(43由于由于A、C板用导线相连，故它们电势相等，所以有板用导线相连，故它们电势