流体力学-2-6+

1、大气流体力学大气科学学院，王伟上节回顾能量方程（能量守恒定律的应用）动能方程热流量方程伯努利方程理想流体均质流体不可压缩流体均质（匀）不可压缩流体定常流体定常不可压流体非均匀不可压缩流体广义牛顿粘性假设（应力张量与形变张量），牛顿粘性定律小微元，小体素法力学中的宏观普遍规律：连续方程的不同变现形式，及各项的物理含义运动方程各项的物理含义不同前提下运动方程的表现形式动能方程，热流量方程的联系前述内容为研究流体运动做了那部分的工作？内容 理论方法二、研究方法理论流体力学流体性质和流动特性的主要因素宏观物理模型或理论模型控制流体运动的闭合方程组流动问题转化为数学问题问题的求解物理规律数学2021年1

2、2月4日星期六6 流体运动方程组通常为包含非线性项的微分方程所构成。 由于数学上求解的困难，许多实际流动问题难以精确求解。 wzpFzwwywvxwutwvypFzvwyvvxvutvuxpFzuwyuvxuutuzyx222111 2021年12月4日星期六7第五节 简单情况下的纳维斯托克斯方程的准确解流体力学的基本方程组：运动方程连续方程0Vt VpFdtVd21 考虑流体为均匀不可压缩（ =常数），且粘性系数为常数（ =常数）的情况下，方程组是闭合的。 ,pwvu流体力学问题的一般方法，就是求解这样的闭合的方程组并使之适合应当的初始条件和边界条件。由于流体运动方程含有如平流加速度的非线性

3、项，它是一个非线性方程组，在数学上要求解这样一个非线方程组是难以做到的。求解方程前，对初始条件和边界条件进行介绍。仅仅通过简单问题的求解了解基本方法 当流体流经固体壁时，必须满足不可穿透条件和无滑脱条件。1、固体壁边界条件sTsnTnTvvvvVV， 而当固体壁以速度 运动时，则满足：0 0snvvV当固体壁静止时，满足：固体壁边界nvsvTV2、自由表面边界条件 在自由表面上，两种流体质点在边界面上的法向分速应该相等，即： nIInIvvIInnInnpp0ppnn 另外，如果不考虑表面张力（微观），两种流体质点在边界面上的法向应力应该相等，即:流体空气一、平面库托流动0, 0wvuh h

4、Uuzx考虑如下简单流动，设流体在两相距为2h的无界平行平板间，沿 x 轴作定常直线平面运动，此时满足：0, 0wvu考虑了xoz平面的运动，则 。而作用于流点上的质量力只有重力，即：假设流体是不可压缩的：0/yu gFFFzyx, 00/zw 0/xu )(zuu 连续方程可见，即仅仅是 z 的函数。纳维斯托克斯方程简化为：积分zpgypzuxp 10101022)(1xpgzp 如果运动是定常的：0/tu 0/dtdwdtdvdtdu进而有：wzpFzwwywvxwutwvypFzvwyvvxvutvuxpFzuwyuvxuutuzyx222111 方程第一式可以得到：221zuxp 进一

5、步考虑到上式左端项中的 ，它仅是x的函数；而其右端项仅为z的函数，如果上式成立，则该式左右两端应等于同一常数，积分上式可以得到： dxxdpxp/1 BAzzxpu212 )(1xpgzp 考虑这样的简单情况，设在x方向的压力分布均匀，即：且上板均速U移动，故考虑如下边界条件：最终可以得到：0/xp 0,uhzUuhzhzUu12上式即给出了平面库托流动的流速分布，它表明流速沿z轴呈线性分布。BAzzxpu212 二、平面泊稷叶流动0, 0wvuh h uzx在平面库托流动的基础上，假定流体的固体边界条件与上述相同，但沿 x方向的压力梯度不为零。而上、下板处于静止状态。此时，边界条件为：0/x

6、p 0,uhz2221zhxpu 即为平面泊稷叶流动的流速分布，它表明流速沿 z 轴方向呈抛物线分布。将边界条件代入方程解式中，可以得到：BAzzxpu212 例2-5-1：不可压粘性流体在静止的无界的平行平板间作定常直线运动，平行平板间的距离为2h，平板与水平面的夹角为，试求出其速度的分布。0, 0wvuhh uzx22)sin(21)(zhgxpzu zxxp 1g sing cosg22sin10zugxp 22)sin1(0zugxp 2221zhxpu 考虑粘性系数和密度均为常数 的流体，在旋转角速度为 的旋转坐标系中的运动，此时出现了科氏力的作用。而科氏力为：其中 x 方向的科氏力

7、为而 y 方向的科氏力则为const ,0wj viuVjui vVkF 2221v2u2三、埃克曼流动 假设流体作平面运动，该平面绕轴转动，则流速表示为：假设流体相对于旋转参考系无加速度，且无质量力作用，其运动方程为：wzpvypuuxpv22210120120 考虑到垂直分速度为零：vuuv2222 wzpvypuuxpv22210120120 p与z无关进一步假设p与x，y无关（没有压力梯度力），方程变为：222222dzvdudzudv 考虑u、v 仅是 z 的函数，即满足： ； 则可得到如下关系式)(zuu )(zvv 由以上二式所确定的流动即为埃克曼流动。科氏力粘性力埃克曼流动的求

8、解：引进复速度，方程组可以变为：222222dzvdudzudv ivudzdivui222 ivudzdivui222 ivudzdivui22)/(2 2)/(m ivudzdivuim2222ivuW2222dzWdiWm2222dzWdiWmzimCzimCW22212exp2exp求解以上方程，并使之满足这样的边界条件：VvUuzvuz, 00,zimiVUivu1exp则可得：2222dzWdiWm通解zimCzimCW22212exp2expzimCzimCW)1 (exp)1 (exp21iVUC102CmzmzVmzUvmzmzVmzUuexpsincosexpsincos上

9、式表明，在科氏力与粘性力相平衡的条件下，自海面向下，洋流速度逐渐减小，以至在很深的海底减弱消失，且流动方向自上而下绕轴呈顺时针旋转。最终有：当然，这里仅仅讨论了最简单的结果，埃克曼流动在海洋学和气象学的实际应用中要复杂的多。zimiVUivu1exp欧拉公式VU 理论方法二、研究方法理论流体力学流体性质和流动特性的主要因素宏观物理模型或理论模型控制流体运动的闭合方程组流动问题转化为数学问题问题的求解物理规律数学2021年12月4日星期六31说明：以上通过讲述以上简单问题的求解，目的在于让大家了解求解流体运动的闭合方程组的一般思路：即根据条件，简化闭和方程组，然后进行求解。 本章总结 1连续方程 （理解、推导和应用） 拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程； 欧拉(Euler)观点下的流体连续方程； 自由表面的流体连续方程。2作用于流体的力、应力张量（概念、理解和计算） 质量力和表面力的概念、定义、表示和差别； 应力张量； 广义的牛顿粘性假设。3运动方程 （理解、简单推导和应用） 流体运动方程的建立； 纳维斯托可斯（NavierStokes）方程； 欧拉方程及其适用条件； 静力方程条件；4能量