(5分)cator集和cator函数

1、Cantor集与Cantor函数摘要：本文先介绍了Cantor集和Cantor函数的基本定义和性质，然后给出了分形的概念，引出了纬度的概念，然后通过讨论分形复杂且自相似性来介绍有关纬度的知识。关键词：Cantor集 Cantor函数 分形 纬度 Cantor纬度分析目录：一Cantor集与Cantor函数的定义二Cantor集与Cantor函数的基本性质三借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集四分形的介绍五纬度性质测量工具六关于Cantor和纬度相关的考虑一 Cantor集与Cantor函数的定义1、Cantor集的定义将基本区间0，1用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区

2、间I11=13,23,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间I21=19,29, I22=79,89,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样，当进行到n次时，一共去掉2n-1 个开区间In,k如此下去，就从0,1中去掉了可数个不相交的开区间G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).而康托尔集C=0，1 - G。2、Cantor函数的定义将基本区间0，1用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间I11=13,23,同时令fx=12, xI11把余下的两个闭区间各三等分

3、，并除去中间的开区间I21=19,29, I22=79,89,同时令fx=2k-122, xI2,k然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。 这样，当进行到n次时，一共去掉2n-1 个开区间In,k此时令fx=2k-12n, xIn,k（容易验证此时f(x)在定义域内是单增的）下面我们定义如下函数： fx= 0, x=02k-12n x In,k,1k2n-1,n11, x=1 这个函数f(x)就是Cantor函数。二 Cantor集与Cantor函数的基本性质1、Cantor集的性质1.1、完备性Cantor集是完备集：引理：FG，则F是完备集的充分必要条件是Fc=R-F是至多可数个两两不

4、相交且无公共端点的开区间的并，既Fc=k1k,kk,kk1两两不相交且无公共端点。证明：Cantor集明显满足上述条件G=0,1C故：R-C=G-,01,+而：G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。故C为完备集1.2、Cantor集是疏集，没有内点证明：假设x0是C的内点，则存在>0使得x-,x+G这样Gx-,x+含于0,1中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。由C=CC°=C°=C是疏集

5、。1.3、G=0,1C是0,1中的稠密集既证明G=0,1证明：易得G0,1,下证0,1G反证法，任取x0,1且xG，则存在x的一个邻域，其中不含有G的点。可得这个领域在C内。又GG，故xC，所以x是C中的内点。与C是疏集矛盾。所以0,1G。故G=0,1，G是0,1中的稠密集，证毕。1.4、Cantor集具有连续统势由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。所以，(0,1)中每一点x，有惟一的一个无限三元数列ann1，使x=n=1an3n (1)现在对I1,1=(13,23)中的所有点x必定a1=1，

6、对I2,1=(19,29)及I2,2=(79,89)中的所有点x必定a2=1，I3,k1k4中的所有点x必定a3=1，等等。即对G中所有点x，(1)中所有对应的an中必有等于1的项。因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列an所对应的x都在C中。而这样的an全体有连续统势。证毕.2、Cantor函数的性质2.1、Cantor函数是0,1上的单增函数Cantor函数的构造过程中说明了其单增性。2.2、Cantor函数是0,1上的连续函数引理：f是a,b单增实值函数，f(a,b)是区间f(a),f(b)的稠子集，则f连续证明：首先证明f在x=a连续。由假设知对于任意的>0，存在ya,b，使得

7、fa-f(b)<利用f的单调性知道：当a<x<y时>fx-fa>0这样f在x=a连续，同理可证明f在x=b连续。现在取x0(a,b)我们只要证明：fx0-=fx0=fx0+明显：fx0-fx0+,假如二者不相等，则有fx0-<fx0这样我们可以取数和0>0，使得fx0-+0<<fx0+-0这个(f(a),f(b),但是对于任意的xa,bfa-0这和f(a,b)在f(a),f(b)中稠密矛盾。同理可证明fx0=fx0+证明：由于：fG=n=12k-12n:1k2n-1对任意的x0,1,对任意>0,12n-1<的一个自然数n.不妨设

8、2k-32n<x2k-12n,则2k-32n,2k-12nx-,x+。故：fG=n=12k-12n:1k2n-1在0,1中稠密，因此f(0,1)是0,1的稠密子集。得用上述引理，f是0,1是的连续函数。三 借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集Cantor集C的余集的构成区间的中点集合是孤立点集且它的的导集是完备集。证明：设G=0,1C，则：G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).设F是G的构成区间的中点组成的集合，对任意的xF,x是G中某个开区间E的中点，故必存在

9、>0使x-,x+E中，而G是两两不相交的开区间的并，故x-,x+中不含有除x外的F中的点，由x的任意性，F是孤立点集。下证F'=C对任意的xF'，x的任邻域中有F的无限个点,所以xG,xC；反过来，我们记：E1=0,1323,1记E2为构造Cantor集的过程中第二次去掉开区间后剩下的0,1区间中的部分，也就是说：E2=0,1929,3969,7989,1一般地，记En为构造Cantor集的过程中第n次去掉开区间后剩下的0,1区间中的部分，En=0,13n23n,33n3n-33n,3n-23n3n-13n,1则En+1表示En的各个闭区间去掉中间1/3长度的开区间后剩下

10、的部分，不难发现：C=n=1En假如xC，则对于任意的>0，以及满足23n<的一个自然数n，由于xEn，x一定属于组成I n的某个闭区间I n(x-,x+)，注意到I n包含了G的无限多个构成区间，所以(x-,x+)中有F的无限个点。于是xF'，这样就证明了F'=C四 分形的介绍4.1、分形简介在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林

11、、云团、闪电、海浪等等，用欧几里德几何学是无能为力的。另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要 一种新的几何学来描述。 所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态，是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。4.2、分形的基本性质分形具有“粗糙和自相似”的直观特点，其基本性质表现为自相似性和标度不变性。4.2.1自相似性 一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有

12、比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。 人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。太阳系的构造与原子的结构作一对比，就会发现这两个系统在某些方面具有惊人的相似。虽然这两个系统在自然界中尺度相差如此悬殊，但它们物质系统之间存在着自相似的性质。 物质系统之间的自相似性在生物界也广泛地存在着。以人为例，人是由类人猿进化到一定程度的产物，解剖学研究表明，人体

13、中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等在结构上都具有高度的自相似性。图1.4是人体小肠的结构，由图可以看到，当以不同的放大倍数观察小肠结构时，即从a到e较大的形态与较小的形态之间的相似表明小肠结构具有自相似性。由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分形, 由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形, 如下图所示。 它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线

14、来代替，形成一个生成单元，如图(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。koch曲线是分形的，因为它是自相似的。自相似性就是跨尺度的对称。它意味着递归，在一个图形内部还有图形。从图（e）中可以清楚看到这一点。自相似性指的是，把要考虑的图形的一部分放大，其形状与整体相同。设想把图（e）中的koch曲线区间0,1/3中的图形放大3倍，放大后的图形与原来的曲线形状完全相同。把区间2/3,1放大3倍，也会得到同样的结果。虽然区间1/3,1/2 ，1/2,2/3的图形是倾斜的，但是把它放大，也会得到同样的

15、结果。若把区间0,1/9的图形放大9倍，同样也可以产生与原来相同的图形。对更小的部分进行放大也是如此，不论多小部分，若把它放大到适当大小，应该能得出与原来相同的图形。4.2.2标度不变形所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图形又会显示出原图的形态特性。因此,对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特点均不会变化。所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形是一样的，从观察到的图象，无法判断所用放大镜的倍数。 所以具有自相似特性的物体（系统），必定满足标度不变性，或者说这类物体

16、设有特性长度。上面介绍的koch曲线是具有严格的自相似性的有规分形，无论将它放大与缩小多少倍，它的基本几何特性都保持不变，很显然，它具有标度不变性。 因此,可以看到,自相似性与标度不变性是密切相关的。自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。 对于“特征长度”这一名词，作一简单的说明，自然界存在的所有物体的形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：具有特征长度的图形和不具有特征长度的图形。对于特征长度，并没有严格的定义，一般认为能代表物体的几何特征的长度，就称之为该物体的特征长度。如一个球的半径、正方体的边长、人的身高、汽车的长度，这些都是各个物体的特征长度，它们很好地反映了这些物体

17、的几何特征。对具有特征长度的物体的形状，对它们即使稍加简化，但只要其特征长度不变，其几何性质也不会有太大的变化。如竖起一个代替人的、与人具有相同高度的圆柱，那么从远处去看，也不会有太大的差错；如果再精细一点，以小圆柱代替手和腿，以矩形代替身躯，以球代替头，那么就会很像人了。换句话说，关于这类物体,可以用几何学上熟知的矩形体、圆柱、球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。4.3、一些常见分形4.3.1、Koch 曲线给定线段，科赫曲线可以由以下步骤生成：1将线段分成三等分。2.以中间为底，向外或向内画出一个等边三角形。3.将底边移去。分别对每边重复步骤1-3.。该曲线是第一个人为构造的具有

18、局部与整体相似的结构，被称为自相似结构。4.3.2、塞宾斯基三角塞宾斯基三角有以下步骤生成：1.取一个实心的三角形。（多数使用等边三角形）2.沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。3.去掉中间的那一个小三角形。4.对其余三个小三角形重复1-3。4.3.3.此外还有其他的分形，比如：三位谢氏塔、洛伦次曲线、四方内生树、曼德勃罗集等。五纬度性质测量工具5.1欧式几何学纬度的测量欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各种三角形以及正多边形等。空间中的

19、正方体、长方体、正四面体等。另外一类就是曲线或由曲面所组成的几何图形，平面上的圆与椭圆，空间中的球、椭球、圆柱以及圆台等。这些点、直线、平面图形、空间图形的维数（欧氏维数）分为为0、1、2、和3。对规整几何图形的几何测量是指长度（边长、周长以及对角线长等）、面积与体积的测量。所以在欧氏几何测量中，可以把上述两类几何图形（分别以正方体和球作为代表）归纳为如下二点： (1)长度= l, 面积= l2, 体积= l3（正方体）； (2)长度（半径）=r ,面积=Pi*r2, 体积=4/3*Pi*r3(球）； 由上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲是长度单位的1、2和3次方，它们恰好与这些几何图形

20、存在空间的欧氏维数相等，而且均为整数。 除了正方体和球以外的那些几何图形的体积，都可以用正方体或球来进行测量。 总结欧氏几何的测量可以看到：第一类几何图形的测量是以长度为基础；第二类几何图形也是以长度（两点间的距离r ）为基础的，平面图形以圆为基础，空间图形以球为基础。所以，在欧氏几何中对规整几何图形的测量，可以用下式来表示：长度=l；面积=al2；体积=V=b*l3.式中a和b为常数，称为几何因子，与具体的几何图形的形状有关，如对圆a=Pi；对球,b=4Pi/3。 由上式可以得出如下结论： 它们是以两点间的距离为基础的，而且它们的量纲数分别等于几何图形存在的空间的维数。 以上讨论的维数都是整

21、数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度数是一致的。也就是说，直线上的任意点可用1 个实数来表示，平面上的点可用由2个实数组成的数组来表示. 5.2分形纬度的测量 我们把自由度数作为维数，也称为经验维数。现在我们会问:是否有非整数维的几何存在呢？实际上,若对长度为1的线段n等分，每段长为r，则:n*r=1对面积为1的正方形作n等分，每个小正方形的边长为r，则n*r2=1对体积为1的正方体作n等分，每个小正方体的边长为r，则n*r3=1上面三个等式中，r的幂次实际上就是几何体能得到定常度量的空间维数，于是有如下公式n*rD=1对上式两边取对数，则得到空间维数D的表达式：对koch曲线而言，

22、在第n步时，其等长折线段总数为4n，每段长度为 ，于是koch曲线的维数D应为这是一个非整数值，它定量地表示koch曲线的复杂程度。koch曲线是一个分形图形。分形图形虽然一般都比较复杂，但其复杂程度可用非整数维数去定量化，维数愈大，其复杂性就会相应提高。我们上面讲的维数又称为相似维数，常用Ds表示。一般地，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，则有：,因此，我们对koch曲线，又可看成是由把全体缩小成1/3的四个相似形构成的，按上式koch曲线的相似维数则为下面我们再看看Koch曲线在欧氏几何中的长度是多少，显然，。那么，由于它是一条闭区间的曲线，在欧氏几何中，其面积为零。换句讲，koch曲线在传统的欧氏几何领域不可度量。而分维DS=1.2618恰好反映了这种曲线的不