可降阶的高阶微分方程

1、7.1 常微分方程模型与基本概念常微分方程模型与基本概念7.2 一阶微分方程一阶微分方程7.3 特殊二阶方程的降阶法特殊二阶方程的降阶法第七章第七章 常微分方程常微分方程7.4 二阶线性微分方程二阶线性微分方程7.3.1 不显含不显含 y 的高阶微分方程的高阶微分方程 内容小结与作业内容小结与作业7.3.2 不显含不显含 x 的高阶微分方程的高阶微分方程 高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件代入原方程, 得解法：解法：特点：特点：.,)1( kyyy及及不显含未知函数不显含未知函数)()(xPyk 令令.,)()()1(knnkPyPy 则则).(,),(,()1()(xP

2、xPxfPknkn P(x)的的(n-k)阶方程阶方程),(xP求得求得,)()(次次连续积分连续积分将将kxPyk 可得通解.一、一、 型型),()1()()( nknyyxfy高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程, 0 PPxxCP1 解线性方程, 得两端积分,得原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 1高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件

3、班教学课件)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()( nyP求得其解为原方程通解为,),(11nnCxCCydy 特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：,)(2222dydPPdyPdPy ,),()(11 nCCyyPdxdy二、二、 型型),()1()()( nknyyyfy高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 Pd

4、ydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解为,1yCdxdy 例例 2高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件,00tx例例3. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻FF 0(0),随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有)(dd22tFtxmtFoT0FF)1(0TtmF0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律. 初速度为0, 且对方程两边积分, 得 高等数学分级教学高等数

5、学分级教学A2班教学课件班教学课件120)2(ddCTttmFtx利用初始条件得 C10，于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用00tx得 C20，故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例4.( ) (0)y xx 设函数二阶可导, 且( )0,y x( )yy x过曲线上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,1S区间 0, x 上以2,S记为( )y x1221,SS且( )yy x求解解:(0)1,

6、( )0,yy x因为( )0.y x 所以于是cot2121yS yy222S( )yy x设曲线在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程.积记为( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx(0) 1,y(0)1,y高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件再利用 y (0) = 1 得利用,1221 SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy( ),yp y 令方程化为d,dpypy 则yyppdd1,pC y解得利用定解条件得11,C ,yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲线方程为x

7、ey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件M : 地球质量m : 物体质量例例5. 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00tyd,dyvt设22ddddyvtt则tyyvddddyvvdd代入方程得,dd2yyMkvv积分得122CyMkv一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 yoRl高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件,1122lyMkv,ddtyv 2,k Mlyvly 即tdyylyMkld

8、2两端积分得Mklt20,tyl利用20,C 得因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C0000,tttvyyl利用12,kMCl 得注意“”号高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件由于 y = R 时,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教学课件说明: 若此例改为如图所示的坐标系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00tyd,dyvt令解方程可得)11(22lylMkv问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .则定解问题为高等数学分级教学高等数学分级教学A2班教学课件班教