北京市高考数学试卷理科

1、2021 年北京市高考数学试卷理科一、选择题每题5分，共40分1 复数 i 2 i =A. 1 2iB .1 2iC.1 2iD.1 2ix y02 .假设x, y满足 x y1，那么z x2y的最大值为x 0A. 0B .1C. ?D. 223.执行如下图的程序框图输出的结果为A. 2,2B.4,0C.4,4D.0, 84.设，是两个不同的平面，m是直线且mm /“是“/ 的(A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的外表积是A.2 ,5C. 2 2 5D. 56.设an是等差数列，以下结论中正确的选项是假设a1

2、a20，那么a2a30假设a1a30，那么a20假设0a1a2，那么a21ai a3假设a10，那么a2a1a2a30A.B.C.D.7.如图，函数f x的图象为折线ACB ,那么不等式f xlOg2x 1的解集是A. xC.xB. xD.x8汽车的“燃油效率是指汽车每消耗 10升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，以下表达中正确的选项是A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用

3、乙车更 省油二、填空题每题5分，共30分9. 在2 x 5的展开式中，x3的系数为 用数字作答210. 双曲线C:冷 y21a 0的一条渐近线为.3x y 0,那么a= .a11.在极坐标系中，点气到直线cos6的距离为12.在 VABC 中，a 4,b 5,c6，那么sin2A =si nCuuuu13.在VABC中，点M, N满足AMuuua uur uuu uuuu2MC, BN NC，假设 MNuuu uuurxAB yAC,贝Ux=y=14.设函数f x2x a,x 14 x a x 2a . x 1 假设a 1，那么f x的最小值为; 假设f x恰有2个零点，那么实数a的取值范围是

4、、解答题共6小题，共80分15. 函数 f x 、2sincosx .2sin2x . 2 2 2(I)求f x的最小正周期；U求f x在区间 ,0上的最小值.16. A,B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间单位：天记录如下:(U)求证,当x 0,1时,3xx 2 x 3(川)设实数k使得f xx3k x 对x 0,1恒成立,求k的最大值.319.椭圆C:x22yb21(a b0)的离心率为,点P 0,1和点A m,nA组：10, 11 , 12, 13, 14 , 15, 16B 组；12 , 13, 15, 16 , 17 , 14 , a假设所有病人的康复时间相互独立，从A,

5、B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(I)求甲的康复时间不少于14天的概率;(U)如果a 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(川)当a为何值时，A,B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)17如图，在四棱锥A EFCB中，VAEF为等边三角形，平面AEF 丄平面 EFCB , EF / BC , BC 4, EF 2a,EBC FCB 60 , O 为 EF 的中点.(I)求证：AO BE .(U)求二面角F AE B的余弦值；(E) 假设 BE丄平面AOC ,求a的值.18.函数f x ln.1 x(I) 求曲线y f x在点0, f 0处的切线方

6、程；在椭圆C上,直线PA交x轴于点M .(I)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m, n表示)；(U)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上*f 2 a !nW 1B20.数列an满足：ai N , ai<36,且 an+i二n=1, 2,，2 an - 36 >18记集合 M=a|n N.I假设ai=6,写出集合M的所有元素；U如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；川求集合M的元素个数的最大值.2021年北京市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题每题5分，共40分1. 2021?北京复数 i 2 - i =A. 1+

7、2i B. 1 - 2i C.- 1+2i D.- 1 - 2i【分析】利用复数的运算法那么解答.【解答】解：原式=2i - i 2=2i - - 1 =1+2i;应选：A.x - y<0.'1，那么z=x+2y的最大值为A. 0 B. 1 C.匸 D. 22【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z=x+2y对应的直线进行平 移，即可求出z取得最大值.x -【解答】解：作出不等式组时y<l表示的平面区域，工>0当I经过点B时，目标函数z到达最大值-z 最大值=0+2X 1=2.应选：D.3. 2021?北京执行如下图的程序框图输出的结果为A. - 2，

8、2 B . - 4，0 C. - 4，- 4D. 0，- 8【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果.【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1, y=1,k=0 时，s=x - y=0, t=x+y=2 ;x=s=O, y=t=2 ,k=1 时，s=x y= - 2, t=x+y=2 ;x=s= - 2, y=t=2 ,k=2 时，s=x - y= - 4, t=x+y=O ;x=s= - 4, y=t=O ,k=3时，循环终止，输出x, y是-4, 0.应选：B.4. 2021?北京设a,B是两个不同的平面，m是直线且m?a, “是“a/厂的 A.充分而不必要条件

9、B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】m/B并得不到a/B，根据面面平行的判定定理，只有 a内的两相交直线 都平行于B,而a/B，并且m?a,显然能得到m/B，这样即可找出正确选项.【解答】解：m?a, mB得不到aB，因为a,B可能相交，只要m和a,B 的交线平行即可得到m/B;a/B, m?a,.m和B没有公共点，二m/B, 即卩a/B能得到m/B;m/B是“ a/B 的必要不充分条件.应选B.5. 2021?北京某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的外表积是A. 2+ 云 B. 4+ 二 C. 2+2 口 D. 5【分析】根据三视图可判断直观图为：OAL面A

10、BCAC=ABE为BC中点，EA=2 EA=EB=1OA=1 : BCL面 AEO AC= - , OE= 口判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积.【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OAL面 ABC AC=AB E为 BC中点,EA=2 EC=EB=1 OA=1可得 AE! BC, BCL OA运用直线平面的垂直得出：BC丄面AEO AC肛,OE=S &ABC=- 2X 2=2, Sa OA=S OA=2 2Sa bco - 2 X =. n.ill故该三棱锥的外表积是 2 -, 应选：C.6. ( 2021?北京)设an是等差数列，以下结论中正确的选项是(A.假设 ai+

11、a2>0,贝U a2+a3>0 B.假设 ai+as<0,贝U ai+比v0C.假设 0<a1<a2,那么 a2_D.假设 ai< 0,贝U( a2 - ai)( a2 - a3)>0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论.【解答】 解：假设 ai+a2>0,贝U 2ai+d>0, a2+a3=2ai+3d>2d, d>0 时，结论成立，即 A不正确;an 是等差数列，0<ai<a2, 2a2=ai+a3>2寸引王，即C正确;假设 a计&<0,贝U ai+a2=2ai+d<0, a2+&a

12、mp;=2ai+3d<2d, d<0 时，结论成立，即 B不正确; a2> i .2假设 a1<0,贝U( a2 - a1)( a2- a3) =- d < 0,即 D不正确.应选：C.7. (2021?北京)如图，函数f (x)的图象为折线ACB那么不等式f (x)>log 2 (x+1) 的解集是A. x| - 1< x< 0 B. x| - 1< x< 1 C. x| - 1< x< 1 D. x| - 1<x< 2【分析】在坐标系内作出y=log 2 (x+1)的图象,利用数形结合得到不等式的解集.【解

13、答】解：由f (x)的图象,在此坐标系内作出y=log2 (x+1)的图象,女口图 满足不等式f x > log 2 x+1的x范围是-1 V x < 1 ；所以不等式f x > log 2 x+1 的解集是x| - 1V x < 1；应选C.8. 2021?北京汽车的“燃油效率是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，以下表达中正确的选项是A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80

14、千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】根据汽车的“燃油效率是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可.【解答】解：对于选项A,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40千米每小时时的 燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误； 对于选项B,以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10, 故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D,因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确.二、填空题每题5分，共30分9.

15、 2021?北京在2+x 5的展开式中，x3的系数为 40 用数字作答【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用 x的指数为3,求出r，然后求解所求数值.t B【解答】解：2+x 5的展开式的通项公式为:所求x3的系数为：理22=40.故答案为：40.10. 2021?北京双曲线七- y2=1a>0的一条渐近线为血x+y=0,那么a=_丄导【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±仝，结合条件可得+ =:,即可得到a的值.【解答】解：双曲线岂- y2=l的渐近线方程为y=±仝，a2日由题意可得一=_ -；,a解得a= .3故答案为：.311. 2021?北京在极坐标系中

16、，点2,到直线pcos 9 +二sin 9 =6的距3离为 1.【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出.【解答】解：点P 2,化为P-；.3直线 P cos 9 换sin 9 =6 化为 k+V3V_ .点P到直线的距离d= -=1.故答案为：1.12. 2021?北京在厶 ABC中，a=4, b=5, c=6，那么丄二=1 .sinC【分析】利用余弦定理求出cosC, cosA，即可得出结论.【解答】解： ABC中, a=4, b=5, c=6,c 16+25 - 36 11 A 25+36 - 16 3 cosC=, cosA=2X4X582X5X64 g J ,

17、sinA=；故答案为：1.13. 2021?北京在厶ABC中，点M N满足姑=2伫，=配，假设二如+yAC，那么x= 1 1，y=.【分析】首先利用向量的三角形法那么，将所求用向量:表示，然后利用平面向量根本定理得到x, y值.【解答】解：由得到 而应石吉处+令花兮沅-死寺心-卡疋；由平面向量根本定理，得到故答案为:寺;-414.(2021?北京)设函数f (x)=2x-a,x<l4Ck - a) (x 2a), x>l 假设a=1，那么f (x)的最小值为-1 ; 假设f (x)恰有2个零点，那么实数a的取值范围是<av 1或a>2 .-2_【分析】分别求出分段的函数

18、的最小值，即可得到函数的最小值；分别设h (x) =2X- a，g (x) =4 (x - a)( x- 2a)，分两种情况讨论，即可求出 a 的范围.【解答】解：当a=1时，f (x)=盗 一、,|_4(x L 1)(耳R,当 xv 1 时，f (x) =2x- 1 为增函数，f (x)>- 1，当 x > 1 时，f (x)=4(x - D(x-2) =4( x2-3x+2) =4(x 谢 2 - 1，当1v x v亠时，函数单调递减，当x>二时，函数单调递增，故当 X=时，f (x) min=f (一)=- 1，设 h (x) =2x- a，g (x) =4 (x -

19、a)( x - 2a)假设在x v 1时，h (x)=与x轴有一个交点，所以 a>0，并且当 x=1 时，h (1) =2- a>0，所以 0vav2，而函数g (x) =4 (x - a)(x- 2a)有一个交点，所以2a> 1，且av 1，所以二w av 1，2假设函数h (x) =2x- a在x v 1时，与x轴没有交点，那么函数g (x) =4 (x - a)(x- 2a)有两个交点，当aw 0时，h (x)与x轴无交点，g (x)无交点，所以不满足题意(舍去)，当h (1) =2- aw 0时，即a>2时，g (x)的两个交点满足X1=a，X2=2a,都是满足

20、题意的，综上所述a的取值范围是一wav 1，或a>2.、解答题(共6小题，共80 分)15.(2021?北京)函数 f (x) = :sinzcos-2 sin2卫22W2(I)求f (x)的最小正周期;(U)求f (x)在区间-n，0上的最小值.【分析】(I)运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简 f (x)，再由正弦函数的周期，即可得到所求;(tt 石，砧站国 TTT/曰开 |4|【解答】解：(I) f (x) = - tsin(n)由x的范围，可得x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值.-:sin=sinx-V222(1 - COSX )=sin xcos7T丄+c

21、osxs in4=sin (x+ -)4V22那么f (x)的最小正周期为2 n;(n)由- nW xW0，可得即有-，时，sin (x+-l)取得最小值-1,那么有f (x)在区间-n, 0上的最小值为-1-丄16.( 2021?北京)A, B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B组；12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间相互独立，从A, B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲, B组选出的人记为乙.(I)求甲的康复时间不少于14天的概率；(n)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的

22、概率；(川)当a为何值时，A, B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)【分析】设事件A为“甲是A组的第i个人，事件B为“乙是B组的第i个人，由题意可知 P (A) =P (B) =-, i=1 , 2, ?, 7(I)事件等价于“甲是 A组的第5或第6或第7个人，由概率公式可得；(U)设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长C=ABU A5B1U AB1U A7B1U ABU ABU AB2U A7B3U ABbU AB6,易得 P (C) =10P (AB)，易得答案；(川)由方差的公式可得.【解答】解：设事件A为“甲是A组的第i个人，事件B为“乙是B组的第i个人，由题意可知 P (A

23、) =P (B) =-，i=1，2，?，7(I)事件“甲的康复时间不少于14天等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人甲的康复时间不少于 14天的概率P (AU AU A) =P (A) +P (A) +P (A);(U)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长，贝U C=ABi U AB U AB U AzBi U AR U AR U A7B2U 帰 U AB U 帰， P( C) =P(AB) +P(A5B1) +P(AB) P+(A7B1) +P(AB) +P(A3B2) +P( AB) +P(AR)+P (AR) +P (AR)=10P (A4B1) =10P (A) P (Bi)=(川

24、)当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等.17. ( 2021?北京)如图，在四棱锥 A- EFCBA AEF为等边三角形，平面 AEFL平面 EFCB EF/ BC，BC=4 EF=2a, / EBC2 FCB=60，0为 EF的中点.(I)求证：AOL BE(U)求二面角F - AE- B的余弦值；(川)假设BE!平面AOC求a的值.【分析】(I)根据线面垂直的性质定理即可证明 AOL BE(U)建立空间坐标系，禾用向量法即可求二面角F- AE- B的余弦值；(川)禾用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：(I)：A AEF为等边三角形，0为EF的中点， AOL

25、 EF，平面 AEFL平面 EFCB A0?平面 AEF， ACL平面 EFCB AOL BE(U)取BC的中点G,连接OG EFCB是等腰梯形，OGL EF,由(I)知AOL平面EFCBv OG平面 EFCB - OAL OQ建立如图的空间坐标系，那么 OE=a BG=2 GH=a (aM 2) , BH=2- a , EH=BHta 门60亠方(2-丑)，那么 E (a, 0, 0), A (0, 0,贡a) , B (2,航辽-, 0),EA= (-a, 0, Va),祝=(a-2,-価(旷 a)|, 0),f - aM+V3a=0!_ (a- 后曰-2)y=Q设平面AEB的法向量为n=

26、 (x, y, z), 那么回呼,即t nBE=0令 z=1，贝U x= :'：, y= - 1,即】=(.；，- 1,1),平面AEF的法向量为那么cos沪吞耳一华hllnl 5即二面角F- AE- B的余弦值为-李；(川)假设BE!平面AOC贝U BE! OC即；- =0,v :'= (a-2,- . , 0),心(-2,*_寸,0), 2=-2 (a- 2)- 3 (a- 2) =0,解得a亠.18. (2021?北京)函数f (x)(I)求曲线y=f (x)在点(0, f(U)求证，当 x ( 0, 1)时，f(川)设实数k使得f (x)对x ( 0, 1)恒成立，求k

27、的最大值.3【分析】(1)利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程.(2) 构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.(3) 对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数 k的取值范围.【解答】解答：(1)因为f (x) =ln (1+x)-In (1 - x)所以又因为f (0) =0,所以曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y=2x.(2)证明：令 g (x) =f (x) - 2 (x)，那么g' (x)2=f (x) - 2 (1+x )=因为g'所以g(x)>0 (Ovxv 1)(x) > g (0) =0, x 即当 x ( 0, 1)(3)由

28、(2)知,当k > 2时，令hh' (x) =f(x)，所以g (x)在区间(0, 1) 上单调递增.(0, 1),> 2 (x+ ).当k< 2时，f (x)>p卜匚)对x( 0, 1)恒成立.时，f (x)(x) =f (x)2-k (1+x)血+亍=ka- (k- 2)那么1-?所以当0<K<:时，h' (x)v0,因此h (x)在区间(0,上单调递减.(0) =0,即 f (x)v汁所以当k> 2时，f (x并非对x ( 0, 1)恒成立.J综上所知，k的最大值为2.19.(2021?北京)椭圆C:=1 (a> b>

29、 0)的离心率为丄,点 P (0, 1)和点A (m n) (0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M(I)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m n表示)；问：y轴上是(U)设0为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N, 否存在点Q,使得/ OQM/ONQ假设存在，求点Q的坐标，假设不存在，说明理由.【分析】(I)根据椭圆的几何性质得出(II )求解得出M(,0), N(ID1+n【解答】解:由题意得出b=l2, 2 a -b +c求解即可.,0),运用图形得出tan / OQM=taONQ,求解即可得出即yQ2=XM?XN,，根据m m的关系整体求解.a 2解得：a= :, b=1

30、, c=1.二+y2=1,2 P (0, 1)和点 A (m n), 1v nv 1 PA的方程为：y -仁 x, y=0时，xm=匸k»1 _ n M(,0)1 _ n(II 点B与点A关于x轴对称，点A (m n)(0)点 B (m n)(0)直线PB交x轴于点N ,N (盏,0)存在点 Q,使得/ OQMHONQ Q (0 , y。), tan / OQM=taM ONQ yQ=:,故y轴上存在点Q,使得/ OQM/ONQ Q (0,)或Q(0, -)*2a_,已 <1820. (2021?北京)数列an满足：ai N,ai<36,且 an+弓 口和1L(n=1,l2an_ >182,)，记集合 M=a|n N.(I)假设ai=6,写出集合M的所有元素；