工程力学之扭转

1、31 概述概述 32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度分析强度分析35 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题37 等直圆杆在扭转时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能38 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形39 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力第三章第三章 扭扭 转转 材料力学讲义（扭 转 ）31 概概 述述 轴：轴：工程中

2、以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA材料力学讲义（扭 转 ）扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。mmOBA材料力学讲义（扭 转 ）工工 程程 实实 例例材料力学讲义（扭 转 ）32 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：m)(kN549. 9nPmm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW）

3、 n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS材料力学讲义（扭 转 ）3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x材料力学讲义（扭 转 ）4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目

4、目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT材料力学讲义（扭 转 ）例例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.549549. 911nPmm)(kN 78. 43001509.549549. 9232nPmmm)(kN 37. 63002009.549.549. 944nPm材料力学讲义（扭 转 ）nA B C Dm2 m3 m1 m41122

5、33求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0 4343mTmT材料力学讲义（扭 转 ）绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。nA B C Dm2 m3 m1 m4材料力学讲义（扭 转 ）xT4.789.566.37(KN.m)33 纯剪切纯剪切 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。材

6、料力学讲义（扭 转 ）2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。材料力学讲义（扭 转 ） acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：LRRL 微

7、小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：材料力学讲义（扭 转 ）二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。材料力学讲义（扭 转 ）三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同

8、背离该交线。acddxb dy tz材料力学讲义（扭 转 ）四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。材料力学讲义（扭 转 ） T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。材料力学讲义（扭 转 ）G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通

9、过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1 ( 2EG材料力学讲义（扭 转 ）34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实

10、验观察：材料力学讲义（扭 转 ）二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。材料力学讲义（扭 转 ）2. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 材料力学讲义（扭 转 ）3. 静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT材料力学讲义（扭 转 ）pI

11、T横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。材料力学讲义（扭 转 ）单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。32 d2 d

12、42022DAIDAp对于实心圆截面：DdO材料力学讲义（扭 转 ）对于空心圆截面：)1 (32 )(32 d2 d44442222DdDAIDdAp)(DddDOd材料力学讲义（扭 转 ） 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。材料力学讲义（扭 转 ） 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：163DRIWpt对于空心圆截面：16)1 (43DRI

13、Wpt材料力学讲义（扭 转 ）三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt材料力学讲义（扭 转 ） 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求

14、。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt材料力学讲义（扭 转 ） 35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp材料力学讲义（扭 转 ）二、单位扭转角二、单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxmaxpGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能

15、力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。材料力学讲义（扭 转 ）刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。材料力学讲义（扭 转 ） 例例33长为 L=2m 的圆杆受均力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD材料力学讲义（扭 转 ）314max 11

16、6）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT材料力学讲义（扭 转 ） 40NmxT180maxmaxPGIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面转角为：弧度）( 033. 0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP材料力学讲义（扭 转 ） 例例44 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC

17、 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m材料力学讲义（扭 转 ）16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)材料力学讲义（扭 转 ） mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdmm841108014. 31807

18、02432 3249241 GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd材料力学讲义（扭 转 ） 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx4.21(kNm)2.814材料力学讲义（扭 转 ） 36 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方

19、程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。材料力学讲义（扭 转 ） 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：02BAmmm材料力学讲义（扭 转 ）几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm材料力学讲义（扭 转 ）37 等直圆杆在扭转

20、时的应变能等直圆杆在扭转时的应变能GdV)dx(dzdy)(dW212122121ddddGVWVUu一、一、 应变能与能密度应变能与能密度acddxb dy dzzxy单元体微功：单元体微功：应变比能：应变比能：材料力学讲义（扭 转 ）二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1. 1. 应力的计算应力的计算=+ Q TtTQWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT材料力学讲义（扭 转 ）2. . 弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件: : 83dDPKmax精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）33max8861504414dDPKdDPC.C

21、C其中：dDC C.CCK61504414称为弹簧指数。称为曲度系数。材料力学讲义（扭 转 ）3. .位移的计算位移的计算( (能量法）能量法）为弹簧常数。 64 ; 64 ; 3443nRGdKKPGdnPRUWPW21 外力功：变形能：ALITGVUUpVVVd21d21d2ppGIPRRnLITG222122材料力学讲义（扭 转 ） 例例66 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值：MPa329

22、0180500125081125218 81233max.)(dDP)Dd(材料力学讲义（扭 转 ）最大剪应力的精确值：09161504414 ; 631518125 .C.CCK.dDCMPa233018050012508091833max.dDPK弹簧圈数： 6612505006410188266436434.PRGdn（圈）材料力学讲义（扭 转 ）38 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。材料力学讲义（

23、扭 转 ）一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的剪应力、矩形杆横截面上的剪应力: : hbh 1T max 注意！b1. 剪应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）材料力学讲义（扭 转 ）2. 最大剪应力及单位扭转角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT3 btW其中：4 bIt , tGIT其中：It相当极惯性矩。材料力学讲义（扭 转 ）hbtWWTt2maxmax :其中注意！注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：hbIGITtt3 : , 其中max131 ; ) 10 : (bh即对于狭长矩形查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。hbh 1T max 注意！b材料力学讲义（扭 转 ） 例例8 8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用 ，钢的G =80GPa ，=100M Pa，=1/m ，试校核 此杆的强