多元积分知识点小结

1、多元积分知识点小结与定积分、重积分类似，曲线积分及曲面积分也都是某种和式的极限, 并且有类似的性质，他们都是从实际问题中抽象出来而产生的数学概念. 由于他们的实际背景有差异，故曲线积分及曲面积分各分成两类： 曲线积分分为对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分） 和对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） ；曲面积分分为对面积的曲面积分（第一类曲面积分）和对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）.需要特别指出的是，对于定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分， 这五种类型的积分的定义、性质、中值定理及物理应用都是类似的，可以把它们的定义、性质、中值定理及物理应用统一起来.首先约定，集合E 的测

2、度的含义是：如果集合E 是实轴上的区间，则E 的测度即为该区间的长度；如果集合E 是平面上的区域，则E 的测度即为该区域的面积；如果集合E 是空间立体，则E 的测度即为该立体的体积； ；等等.1. 定 义 ： 设 函 数 f ( P) 在 集 合 E 上 有 定 义 ， 以 任 意 方 式 把 集 合 E 分 成 n 部 分E1,E2 , En ，它们的测度分别记为E1 ,E2, ,En . 在 Ei 上任取一点 Pi(i1,2, , n) ，n作和式f ( Pi ) Ei ，记maxEi的直径 . 如果不论集合 E 如何分法，也不论 Pi 在 Ei 上i11 in如何取法，极限nlimf (

3、Pi ) Ei0 i1都存在并且是唯一的，则称函数f ( P) 在集合 E 上可积分，并称该极限值为函数f ( P) 在集合 E 上的积分，记为Ef ( P)dE ，即nf (P)dElimf (Pi ) Ei .E0 i 1例如，如果 E 是实轴上的区间 a,b ， f (P)f (x) 为一元函数，则上述积分即是定积bD ， f (P)f (x, y) 为二元函数，则上述积分即是分f (x)dx ；如果 E 是平面上的区域a二重积分f( , )d； ；如果E 是空间曲面，f ( P) f ( x, y, z)为三元函数，则x yD上述积分即是第一类曲面积分f (x, y, z) dS ；等

4、等 .2. 性质： 上述五种类型的积分的性质是相通的，只要在定积分的各条性质中把bf ( P)dE ，则定积分的各条性质就成为二重积分、f ( x)dx 换成三重积分、 第一类曲线aE积分、第一类曲面积分的共性.例如，（ 1） k 为常数，则kf (P)dEkf (P)dE ；EE（ 2）f ( P) g(P) dEf ( P)dEg ( P)dE ；EEE（ 3）dE集合 E 的测度；E（ 4）如果 EE1E2 ，且 E1E2，则f (P)dEE1f (P)dEf (P)dE ；EE23. 中值定理： 设函数 f ( P) 在集合 E 上连续，则在E 上至少存在一点P ，使得f (P)dEf

5、 ( P )集合 E的测度.E例如，如果 P 是实轴上的区间a, b ， f (P)f ( x) 为一元函数，则bf ( x)dxaf ( )(b a) ， a, b ；如果 P 是平面上的区域 D ， f ( P)f ( x, y) 为二元函数，则f ( x, y)df ( , )区域 D 的面积， (, )D ； ；等等 .D由于考研大纲规定中值定理的考试范围只有定积分和二重积分，所以三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的中值定理不需要掌握.4. 物理应用： 第二类曲线积分的物理意义是变力沿曲线所做的功，第二类曲面积分的物理意义是流体沿曲面指定侧的流量. 除此之外，二重积分，三重积分

6、、第一类曲线积分、第一类曲面积分在物理上的应用主要分为三个方面，分别是转动惯量 （惯性矩）、质心和引力 .因为这些物理应用都是类似的，所以我们对每个物理应用仅对上述四个积分中的部分积分作介绍 .（ 1）转动惯量：设质点P 的质量为 m，质点 P 绕直线 L 转动时，转动半径为 r ，则转动惯量（此处不考虑转动惯量的方向）为Imr 2.设集合 E 的密度为( P) ，在 E 上任取微元 dE ，则 dE 的质量为( P)dE . 如果 dE 绕直线 L 转动的转动半径为r ，则 dE 绕直线 L 转动的转动惯量为dIr 2(x, y)dE ，从而 E绕直线 L 转动的转动惯量为 IEr 2( x

7、, y)dE .如果 E 是平面区域 D ，密度为( x, y) ，相应的 dE d， (x, y)d ， D 绕 x 轴、y 轴和原点的转动惯量分别为I xy2(x, y)d,I yx2( x, y)d，I O( x2y2 )( x, y)d.DDD如果 E 是空间区域，密度为( x, y, z) ，相应的 dEdv ，( x, y, z)dv ，绕 x 轴、y 轴， z 轴和原点的转动惯量分别为I x( y2z2 )( x, y, z) dv,I y(x2z2 )(x, y, z)dv,I z( x2y 2 )( x, y, z)dv,I O(x2y2z2 ) ( x, y, z) dv

8、.如果 E 是平面曲线 L ，密度为(x, y) ，相应的 dEds ， ( x, y)ds ， L 绕 x 轴、 y轴和原点的转动惯量分别为I xy2 ( x, y)ds,I yx2( x, y)ds ， I O( x2y2 )( x, y)ds .LLL当 E 是空间曲线时，绕 x 轴、 y 轴， z 轴和原点的转动惯量与上述类似 .如果 E 是空间曲面，密度为( x, y, z) ，相应的 dEdS ，(x, y, z) dS ，绕 x 轴、y 轴， z 轴和原点的转动惯量分别为I x( y2z2 )(x, y, z)dS,I y( x2z2 )( x, y, z)dS,I z( x2y

9、2 )(x, y, z)dSI O( x2y2z2 ) ( x, y, z)dS .（2）质心：设质点系 P1,P2, Pn 位 于 某 坐 标 系 中 相 应 于 u 轴 的 坐 标 分 别 为u1, u2 , , un ，质量分别为 m1, m2 , mn ,则该质点系的质心相应于u 轴的坐标为um1u1m2u2mn un .m1m2mn设集合 E 的密度为( P) ，在 E 上任取微元 dE ， dE 相应的坐标为 u ， dE 的质量为( P)dE ，集合 E 的总质量为E( P) dE ，则集合 E 的质心相应于 u 轴的坐标为u( P) dEuE.E(P)dE如果 E 是平面区域

10、D ，密度为(x, y) ，相应的 dE d ，则 D 的质心相应于x 轴和 y轴的坐标分别为x ( x, y)dy (x, y) dxD, yD.( x, y)d( x, y)dDD特别地，当 ( x, y)常数时，上式成为xdydxD, yD，ddDD此即平面区域D 的形心坐标 .如果 E 是空间区域，密度为(x, y, z) ，相应的 dEdv ，则的质心相应于x 轴，y 轴和 z 轴的坐标分别为x ( x, y, z)dvy(x, y, z) dvz(x, y, z) dvx,y,z.(x, y, z)dv( x, y, z)dv( x, y, z) dv如果 E 是平面曲线L ，密度

11、为(x, y) ，相应的 dEds ，则 L 的质心相应于x 轴和 y轴的坐标分别为xLLx ( x, y)ds,yL( x, y) dsLy ( x, y)ds.(x, y)ds当 E 是空间曲线时时，的质心相应于x 轴、 y 轴， z 轴的坐标与上述类似.如果 E 是空间曲面，密度为(x, y, z) ，相应的 dEdS ，则的质心相应于x 轴，y 轴和 z 轴的坐标分别为x( x, y, z) dSy( x, y, z) dSz(x, y, z)dSx,y,z.( x, y, z)dS( x, y, z)dS( x, y, z)dS（ 3）引力：万有引力定律设有两个质点p, P ，其质量

12、分别为 m, M ， p 与 P 的距离为 r ，则 p 与 P 之间的引力大小为FkmM,r 2其中 k 是引力常数 .设质点 P0 位于某坐标系中 u 轴的坐标为 u0 ，其质量为 M . 设集合 E 的密度为(P) ，在 E 上任取微元 dE ， dE 相应的坐标为 u ， dE 的质量为( P)dE ， dE 与 P0 的距离为 r ，则 dE 与 P0之间的引力为kM (P)dE，其中 k 是引力常数，该引力在u 轴上的分力为r2u u0 kM( P)dErr2，从而集合 E 与 P0 之间引力在 u 轴上的分力大小为kM (u u0 ) (P)dE .FuEr3如果质点 P0 位于 xOy 平面内，其坐标为 ( x0 , y0 ) ，而 E 是平面区域 D ，密度为( x, y) ，相应的 dEd， ( x, y)d ，则 D 与 P0 之间的引力在x 轴和 y 轴上的分力分别为FxkM ( x x0 ) ( x, y)d , FykM ( y y0 ) ( x, y)3/2 d.D ( x x0 )223/222( y y0 )D ( x x0 )( y y0 )如果质点 P0 位于空间直角坐标系内，其坐标为( x0 , y0 , z0 ) ，而 E 是空间曲面，密度为(x, y, z) ，相应的 dEdS ， ( x, y,