正方形与全等模型(含答案)

1、正方形与全等模型1（垂直相等）如图，在正方形ABCD中（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQMN成立吗？为什么？2（三垂）如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AMMN于M，CNMN于N，BRMN于R（1）求证：ADMDCN：（2）求证：MN=AM+CN；（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想3（三垂）如图，在平的直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y=在第一象限经过

2、点D求双曲线表示的函数解析式4 （三垂）如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1l2l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（） A70B74C144D1485（三垂）如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B在双曲线y=上，直线y=kxk（k0）交y轴与F（1）求点B、E的坐标；（2）连接BE，CF交于M点，是否存在实数k，使得BECF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；（3）F在线段OA上，连BF，作OMBF于M，ANBF于N，当F在线段OA上运动时（不与O

3、、A重合），的值是否变化若变化，求出变化的范围；若不变，求其值6（对角互补）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点OE、F分别是边AB、BC上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OEOF，则EF的长为_cm7（对角互补）在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，MPN为直角三角形，MPN=90°正方形ABCD保持不动，MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与

4、位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_；位置关系为_8（对角互补）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想9（对角互补）如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQBP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=，Q为CD中点，则下列结论：PBC=PQD；

5、BP=PQ；BPC=BQC；正方形ABCD的面积是16；其中正确结论的个数是（）A4B3C2D110（对角互补）如图1，直角EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F易得PBEPDF，故结论“PE=PF”成立；（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；（2）如图（3）将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出的值11 （对角互补）如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MNAQ交BC于点N，作NPBD

6、于点P，连接NQ，下列结论：AM=MN；MP=BD；BN+DQ=NQ；为定值其中一定成立的是（）ABCD 12（等角共顶点）（1）如图，ABC中，AB=AC，BAC=90°，点D为BC边上一点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF可猜想线段CF，BD之间的数量关系是_，位置关系是_；（2）当点D在线段BC的延长线时，如图，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立，说明理由13（等角共顶点）已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD（1）当点M在线段OD上时

7、（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果；（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由14（等角共顶点）以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？15（等角共顶点）在直角三角形ABC中，C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，则AC的长为（）A2B3C4D 1

8、6（等角共顶点）如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，求证：FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由17（等角共顶点）如图1，2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F（1）如图1，当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是_；请证明

9、你的上述猜想（2） 如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论18（对角互补分半）已知，四边形ABCD是正方形，MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AHMN，垂足为点H（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知BAC=45°，ADBC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长；小萍同学通过观察图发现，ABM和AHM关于AM对称，AHN和ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？19（对角互补分

10、半）（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45°，将ABM绕点A逆时针旋转90°至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长 20（对角互补分半）如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于_；若GH与CD交点为

11、I，那么GBI=_.21（等角共顶点拓展）如图，四边形ABCD是正方形，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE猜想图中线段BG、DE的数量和位置关系，并说明理由 22（等角共顶点拓展）如图，正方形ABDE和ACFG是以ABC的AB、AC为边的正方形，P、Q为它们的中心，M是BC的中点，试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论23如图所示，四边形ABCD为正方形，BEF为等腰直角三角形（BFE=90°，点B、E、F按逆时针顺序），P为DE的中点，连接PC、PF（1）如图（1），E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为_，位置关系为_（不需要证

12、明）（2）如图（2），将BEF绕B点顺时针旋转°（045），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明（3）如图（3），E点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（3），则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？直接写出你的结论，不需要证明24（等角共顶点拓展）如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线，CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；（2）将正方形C

13、GEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明【巩固练习】25已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F，（1）如图1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图2，当EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系，并证明26如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，DAE的平分线交CD于F，BGAF于G，交AE于H（1）如图1，DEA=60°，求证：AH=DF；（2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你

14、的结论；（3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是ADE中与DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）27在直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于A，交y轴于D（1）以A为直角顶点作等腰直角AMD，直接写出点M的坐标为_（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG=，过G作GFBD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；（3）在（2）中的正方形中，若PAG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论28如图

15、，一个直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC所在的直线上滑动，并使得一条直角边始终经过B点（1）如图1，当直角三角形的另一条直角边和边CD交于Q点，=_；（2）如图2，当另一条直角边和边CD的延长线相交于Q点时，=_；（3）如图3或图4，当直角顶点P运动到AC或CA的延长线上时，请你在图3或图4中任选一种情形，求的值，并说明理由29已知，如图在正方形OADC中，点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（4，0），CD的延长线交双曲线y=于点B（1）求直线AB的解析式；（2）G为x轴的负半轴上一点连接CG，过G作GECG交直线AB于E求证CG=GE；（3）在（2）的条件下，延长DA交CE

16、的延长线于F，当G在x的负半轴上运动的过程中，请问的值是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明你的理由30如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数上，且ABCDy轴，ADx轴，B（1，0）、C（3，0）（1）试判断四边形ABCD的形状；（2） 若点P是线段BD上一点PEBC于E，M是PD的中点，连EM、AM求证：AM=EM；（3）在图（2）中，连接AE交BD于N，则下列两个结论：值不变；的值不变其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值参考答案与试题解析一选择题（共16小题）1如图，在正方形ABCD中（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=

17、DF试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQMN成立吗？为什么？考点：正方形的性质2097170专题：探究型分析：（1）由已知易得DAECDF，故有DE=CF（2）由点N，Q分别向AB，AD作垂线，构造两直角三角形全等，由角的等量代换，易得QPMN解答：解：（1）在正方形ABCD中，AD=DC，AE=DF，EAD=FDC，所以EADFDC，故DE=CF，EDA=FCD，又DCF+DFC=90°，ADE+DFC=90°，DGF=90°即DECF（2）由点N，Q分别向AB，AD

18、作垂线，PQ=MN，RN=SQ，MNRQPS（HL），PQS=MNR，又1+PQS=90°，所以1+MNR=90°，即MNPQ点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率2如图，直线MN不与正方形的边相交且经过正方形ABCD的顶点D，AMMN于M，CNMN于N，BRMN于R（1）求证：ADMDCN：（2）求证：MN=AM+CN；（3）试猜想BR与MN的数量关系，并证明你的猜想考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质2097170专题：证明题；探究型分析：此题分三问进行，

19、三问都与三角形全等直接相关，所以要紧扣三角形全等的判定方法进行思考（1）要证ADMDCN，由于它们都是直角三角形，所以首先有直角相等，又由ABCD是正方形有AD=DC，再找一个条件即可，而由图形很容易分析得出ADM=DCN；（2）的关键是合理添加辅助线，通过等量代换等到结论；（3）首先结合前面的结论再结合图形合理猜想，然后再结合前面的结论认真推理，细致证明即可解答：（1）证明：AMMN于点M，CNMN于点N（已知），AMD=DNC=90°（垂直的定义）MAD+MDA=180°90°=90°（三角形内角和定理）四边形ABCD是正方形（已知），ADC=90&

20、#176;，AD=DCMDA+NDC=180°90°=90°（平角的定义）MAD+MDA=NDC+NCDMAD=NDC在AMB和DNC中，AMD=DNC，MAD=NDC，AD=DC，AMDDNC（AAS）（2）证明：由（1）AMDDNC，AM=DN，MD=NC（全等三角形对应边相等）MD+DN=AM+CN即MN=AM+CN（3）猜想BR=MN证明如下：作AEBR于EBRMN，CNMN（已知）BRCN（垂直于同一直线的两条直线平行）1=2（两直线平行同位角相等）又四边形ABCD是正方形ABBC，DCBC，ABE=DCN=90°1，在ABE和DCN中，AB=

21、DC，ABE=DCN，AEB=DNC=90°ABEDCN（AAS）由（1）ADMDCNABEADMAM=AE（全等三角形对应边相等）又AEMR，AMER，BR=BE+ER=CN+AM=DM+DN=MN点评：此题三问紧密相连，第一问正确解出后，后两问就顺理成章求出来了3如图，在平的直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线y=在第一象限经过点D求双曲线表示的函数解析式考点：反比例函数综合题2097170专题：探究型分析：过点D作DEx轴于点E，先由直线y=2x+2与x轴，y轴相交于点A、B求出OB及OA的长，再由全等三角形的判定定理得出A

22、OBDEA，故可得出D点坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式解答：解：过点D作DEx轴于点E，直线y=2x+2与x轴，y轴相交于点A、B，当x=0时，y=2，即OB=2；当y=0时，x=1，即OA=1，四边形ABCD是正方形，BAD=90°，AB=ADBAO+DAE=90°ADE+DAE=90°，BAO=ADE，AOB=DEA=90°，AOBDEA，DE=AO=1，AE=BO=2，OE=3，DE=1点D的坐标为（3，1）把（3，1）代入y=中，得k=3，故反比例函数的解析式为：y=点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、正方形

23、的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键4如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1l2l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（）A70B74C144D148考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；正方形的性质2097170分析：画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F，通过证明ABEBCF，得出BF=AE，再由勾股定理即可得出结论解答：解：过点A作AEl1，过点C作CFl2，CBF+BCF=90°，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD

24、，DAB=ABC=BCD=CDA=90°，ABE+CBF=90°，l1l2l3，ABE=BCF，在ABE和BCF中，ABEBCF（AAS）（画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F）BF=AE，BF2+CF2=BC2，BC2=52+72=74故面积为74故选B点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形面积的求解方法，能够熟练掌握5如图在平面直角坐标系中正方形OABC的边OC，OA分别在x轴正半轴上和y轴的负半轴上，点B在双曲线y=上，直线y=kxk（k0）交y轴与F（1）求点B、E的坐标；（2）连接BE，CF交于M点，是否存在实数k

25、，使得BECF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；（3）F在线段OA上，连BF，作OMBF于M，ANBF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化若变化，求出变化的范围；若不变，求其值考点：反比例函数综合题2097170专题：开放型分析：（1）把正方形的面积用B点坐标表示求解；（2）用分析法求解根据直线解析式的特点，求k只需求满足条件时OF的长；（3）探索：，代换后得结论为1，所以不变化解答：解：（1）根据题意，设B（x，x），B在y=的图象上，x2=4，x=±2，根据图形得B（2，2），E在X轴上，kxk=0，x=1，即E（1，0）；（2）假设存在k，使B

26、ECF，OCF=CBECOF=BCE，OC=CBOCFCBEOF=CE=1k=1；（3）=1证明：由已知条件易证：OMFBNA，ANFBNA，=1点评：此题运用了分析法解题探究，综合性很强，检验学生自主创新能力6（2008安顺）已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点OE、F分别是边AB、BC上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OEOF，则EF的长为5cm考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理2097170专题：计算题分析：连接EF，作OMAB于点M，根据条件可以证明OEDOFC，则OE=OF，CF=DE=3Ccm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF=5cm

27、解答：解：连接EF，作OMAB于点M，OD=OC，OEOFEOD+FOD=90°正方形ABCDCOF+DOF=90°EOD=FOC而ODE=OCF=45°OFCOED，OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF=5cm故答案为5点评：根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解决本题的关键7在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，MPN为直角三角形，MPN=90°正方形ABCD保持不动，MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F（1）

28、如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为OE=OF；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为OE=OF；位置关系为OEOF考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质2097170分析：（1）根据利用正方形的性质和直角三角形的性质即可判定四边形BEOF为正方形，从而得到结论；（2）当移动到点P的位置时，可以通过证明四边形BEPF为矩形来得到两条线段的数量关系；（3）继续变化，有相同的关系，其证明方法也类似解答：（1）解：OE=O

29、F（相等）；（1分）（2）解：OE=OF，OEOF；（3分）证明：连接BO，在正方形ABCD中，O为AC中点，BO=CO，BOAC，BCA=ABO=45°，（4分）PFBC，BCO=45°，FPC=45°，PF=FC正方形ABCD，ABC=90°，PFBC，PEAB，PEB=PFB=90°四边形PEBF是矩形，BE=PF（5分）BE=FCOBEOCF，OE=OF，BOE=COF，（7分）COF+BOF=90°，BOE+BOF=90°，EOF=90°，OEOF（8分）（3）OE=OF（相等），OEOF（垂直）（10分

30、）点评：本题考查了正方形的性质，解题的关键是抓住动点问题，化动为静，还要大胆的猜想8如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质2097170分析：（1）过P作PEBC，PFCD，证明RtPQFRtPBE，即可；（2）证明思路同（1）解答：（1）PB=PQ，证明：过P作PEBC，PFCD，P，C为

31、正方形对角线AC上的点，PC平分DCB，DCB=90°，PF=PE，四边形PECF为正方形，BPE+QPE=90°，QPE+QPF=90°，BPE=QPF，RtPQFRtPBE，PB=PQ；（2）PB=PQ，证明：过P作PEBC，PFCD，P，C为正方形对角线AC上的点，PC平分DCB，DCB=90°，PF=PE，四边形PECF为正方形，BPE+QPE=90°，QPE+QPF=90°，BPE=QPF，RtPQFRtPBE，PB=PQ点评：此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质此题综合性较强，注意数形结合思想9如图，

32、正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQBP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=，Q为CD中点，则下列结论：PBC=PQD；BP=PQ；BPC=BQC；正方形ABCD的面积是16；其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质2097170分析：根据对角互补的四边形，则四边形共圆，根据圆周角定理得出BPC=BQC，根据PBC=PQD，过P作PMAD于M，PEAB于E，PFDC于F，则E、P、F三点共线，推出正方形AEPM，根据勾股定理求出AE=PE=PM=AM=DF=1，证BEPPFQ，推出PE=FQ=1，BP=PQ，求出DQ、

33、DC，即可解答：解：四边形ABCD是正方形，BCQ=90°，PQPB，BPQ=90°，BPQ+BCQ=180°，B、C、Q、P四点共圆，PBC=PQD，BPC=BQC，正确；正确；过P作PMAD于M，PEAB于E，PFDC于F，则E、P、F三点共线，四边形ABCD是正方形，AB=AD=DC=BC，DAC=BAC，DAB=90°，MAE=PEA=PMA=90°，PM=PE，四边形AMPE是正方形，AM=PM=PE=AE，AP=，在RtAEP中，由勾股定理得：AE2+PE2=（）2，解得：AE=AM=PE=PM=1，DF=1，设AB=BC=CD=A

34、D=a，则BE=PF=a1，BEP=PFQ=BPQ=90°，BPE+EBP=90°，EPB+FPQ=90°，EBP=FPQ，在BEP和PFQ中，BEPPFQ（ASA），PE=FQ=1，BP=PQ，正确；DQ=1+1=2，Q为CD中点，DC=2DQ=4，正方形ABCD的面积是4×4=16，正确；故选A点评：本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度10如图1，直角EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点

35、E和F易得PBEPDF，故结论“PE=PF”成立；（1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；（2）如图（3）将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出的值考点：正方形的性质；垂线；全等三角形的判定与性质2097170分析：（1）过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，有材料提供的证明思路可证明PGEPHF，再根据全等三角形的性质：对应边相等可得：PE=PF；（2）有（1）证题思路可知方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，则PGEPHF，再根据相似三角形的性质：对应边的比值相等可得

36、：的比值解答：解：（1）成立证明如下：如图，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为G、H，则GPH=90°，PG=PH，PGE=PHF=90°，EPF=90°，1=2，PGEPHF，PE=PF；（2）点评：本题是一个动态几何题，考查了正方形性质、矩形的性质、全等三角形的判定以及性质，三角形相似的条件和性质及进行有条理的思考和表达能力，还考查按要求画图能力11如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MNAQ交BC于点N，作NPBD于点P，连接NQ，下列结论：AM=MN；MP=BD；BN+DQ=NQ；为定值其中一定成立的是（）AB

37、CD考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；确定圆的条件2097170专题：动点型分析：由题可知A，B，N，M四点共圆，进而可得出ANM=NAM=45°，由等角对等边知，AM=MN，故正确；由同角的余角相等知，HAM=PMN，所以RtAHMRtMPN，即可得出结论，故正确；先由题意得出四边形SMWB是正方形，进而证出AMSNMW，因为AS=NW，所以AB+BN=SB+BW=2BW，而BW：BM=1：，所以=，故正确因为BAN+QAD=NAQ=45°，在NAM作AU=AB=AD，且使BAN=NAU，DAQ=QAU，所以ABNUAN，DAQUAQ，有UAN=UAQ=90&#

38、176;，BN=NU，DQ=UQ，即可得出结论，故正确；解答：解：如图：作AUNQ于U，连接AN，AC，AMN=ABC=90°，A，B，N，M四点共圆，NAM=DBC=45°，ANM=ABD=45°，ANM=NAM=45°，由等角对等边知，AM=MN，故正确由同角的余角相等知，HAM=PMN，RtAHMRtMPNMP=AH=AC=BD，故正确，如图，作MSAB，垂足为S，作MWBC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，AMSNMW，AS=NW，AB+BN=SB+BW=2BW，BW：BM=1：，=，故正确BA

39、N+QAD=NAQ=45°，在NAM作AU=AB=AD，且使BAN=NAU，DAQ=QAU，ABNUAN，DAQUAQ，有UAN=UAQ，BN=NU，DQ=UQ，点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故正确故选D点评：本题利用了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解12（1）如图，ABC中，AB=AC，BAC=90°，点D为BC边上一点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF可猜想线段CF，BD之间的数量关系是相等，位置关系是垂直；（2）当点D在线段BC的延长线时，如图，（1）中的

40、结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立，说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形2097170专题：几何综合题分析：（1）可通过证明三角形ABD和三角形ACF全等来实现因为AD=AF，AB=AC，只要证明BAD=CAF即可，BAD=90°DAC=FAC，这样就构成了全等三角形判定中的SAS，ABDACF，因此BC=CF，B=ACF，因为B+ACB=90°，那么ACF+ACD=90°，即FCBC，也就是FCBD（2）当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF的性质可推出DABFAC，所以CF=BD，ACF=ABD结合BA

41、C=90°，AB=AC，得到BCF=ACB+ACF=90度即CFBD解答：解：（1）CF与BD的数量关系是：CF=BD；位置关系是：CFBD；故答案为：相等、垂直（2）当点D在BC的延长线上时（1）中的结论仍成立（5分）理由如下：由正方形ADEF得AD=AF，DAF=90°BAC=90°，DAF=BAC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC，（4分）CF=BD，ACF=ABD（6分）BAC=90°，AB=AC，ABC=45°，ACF=45°，BCF=ACB+ACF=90°即CFBD点评：本题中综合考查了正方形的性质，全

42、等三角形的判定等知识，关键是证明三角形全等，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件13已知点O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果；（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质2097170专题：证明题；探究型分析：（1）根据正方形性质求出AF=AM，AD=A

43、B，FAM=DAB=90°，推出FAD=MAB，证FADMAB，推出BM=DF，FDA=ABD=45°，求出ADB=45°即可；（2）根据正方形性质求出AF=AM，AD=AB，FAM=DAB=90°，推出FAD=MAB，证FADMAB，推出BM=DF，FDA=ABD=45°，求出ADB=45°即可解答：解：（1）BM=DF，BMDF理由是：四边形ABCD、AMEF是正方形，AF=AM，AD=AB，FAM=DAB=90°，FAMDAM=DABDAM，即FAD=MAB，在FAD和MAB中，FADMAB，BM=DF，FDA=ABD

44、=45°，ADB=45°，FDB=45°+45°=90°，BMDF，即BM=DF，BMDF（2）解：成立，理由是：四边形ABCD和AMEF均为正方形，AB=AD，AM=AF，BAD=MAF=90°，FAM+DAM=DAB+DAM，即FAD=MAB，在FAD和MAB中，FADMAB，BM=DF，ABM=ADF，由正方形ABCD知，ABM=ADB=45°，BDF=ADB+ADF=90°，即BMDF，（1）中的结论仍成立点评：本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出FADMAB，本题具有一定的代表

45、性，主要培养学生运用性质进行推理的能力和猜想能力14以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定2097170分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得BDEBAC，所以全等三角形的对应边DE=AG然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知EDA+DAG=180°，易证EDGA；最后由“一组对边

46、平行且相等”的判定定理证得结论；（2）根据“矩形的内角都是直角”易证DAG=90°然后由周角的定义求得BAC=135°；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证DAG=90°，且AG=AD由ABDI和ACHG的性质证得，AC=AB解答：解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形理由如下：四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，AC=AG，AB=BD，BC=BE，GAC=EBC=DBA=90°ABC=EBD（同为EBA的余角）在BDE和BAC中，BDEBAC（SAS），DE=AC=AG，BAC=BDEAD是正方形ABDI的对角线，

47、BDA=BAD=45°EDA=BDEBDA=BDE45°，DAG=360°GACBACBAD=360°90°BAC45°=225°BACEDA+DAG=BDE45°+225°BAC=180°DEAG，四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）（2）当四边形ADEG是矩形时，DAG=90°则BAC=360°BADDAGGAC=360°45°90°90°=135°，即当BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；

48、（3）当四边形ADEG是正方形时，DAG=90°，且AG=AD由（2）知，当DAG=90°时，BAC=135°四边形ABDI是正方形，AD=AB又四边形ACHG是正方形，AC=AG，AC=AB当BAC=135°且AC=AB时，四边形ABDI是正方形点评：本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°15在直角三角形ABC中，C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，则AC的长为（）A2B3C4D考点：全等

49、三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质2097170专题：数形结合分析：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OMCF，先证明RTACBRTBFD，然后分别表示出OM、CM的长度，在RTOCM中利用勾股定理可得出答案解答：解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OMCF，则可得OM是梯形ACFD的中位线，ABC+FBD=CAB+ABC=90°，CAB=FBD，在RTACB和RTBFD中，RTACBRTBFD，AC=BF，BC=DF，设AC=x，则OM=，CM=，在RTOCM中，OM2+CM2=OC2，即2（）2=18，解得：x=4，即AC的长度

50、为4故选C点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，难度较大16如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG（1）连接GD，求证：ADGABE；（2）连接FC，求证：FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定2097170专题：证明题；开放型分析：（1）根据同角的余角相等得DAG=BAE，再根据“SAS”证得ADGABE；（2）过F作B

51、N的垂线，设垂足为H，首先证ABE、EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可得证（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证DAQ、ABE、ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证解答：证明：（1）四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，DA=BA，EA=GA，BAD=EAG=90°，DAG=BAE，ADGABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，BAE+AEB=90°，FEH+AEB=90°，BAE=HEF，AE=EF，ABEEHF，AB=EH，BE=FH，AB=BC=EH，BE+EC=EC+CH，CH=BE=FH，FCN=45°；（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，AB=AD，DAQABE，ABEEHF，DAQABEADG，GAD=ADQ，AG、QD平行且相等，又AG、EF平行且相等，QD、EF平行且相等，四边形DQEF是平行四边形在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形点评：考查全等三角形的判定及平行四边形的判定，难度较大二填空题