专题3勾股定理章末达标检测卷沪科版解析版

1、第18章勾股定理章末达标检测卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. （ 3分）（2018秋？宜兴市期中）下列各组数中，是勾股数的（）A .亠,丄，1B. 1, 2, 3C. 1.5, 2, 2.5D. 9, 40, 4155【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可.【答案】解：A、亠和2不是整数，此选项错误；B、T12+22工32,二不是勾股数，此选项错误；C、1.5和2.5不是整数，此选项错误；D、 92+402= 412,.是勾股数，此选项正确.故选：D.【点睛】此题考查了勾股数，说明： 三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b

2、2= c2,但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数. 一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. 记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13;2. （ 3 分）（2018 秋？江都区期中）在 Rt ABC 中，/ ACB = 90°, CD 是高，AC= 4m, BC= 3m,则线段 CD的长为（）.112一 丨 54A . 5mB. mC. mD . m5123【分析】根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式列式计算.【答案】解：在 Rt ABC中，AB = 厂厅厂5, ABC 的面积=Zx AB X CD = i

3、x ACX BC,即丄X 5X CD =X 4X 3,2 2 2 212l解得，CD =,5故选：B.【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a, b,斜边长为c,那么a2+b2= c2是解题的关键.3. （ 3分）（2019春？丰润区期中）满足下列条件的厶ABC，不是直角三角形的是（A . a： b: c = 3: 4: 5B . Z A:/ B:Z C= 9: 12: 152 2 2C.Z C=Z A -Z BD . b - a = c【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论.【答案】解：A、由a: b: c

4、= 3: 4: 5得c2= a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由Z A:Z B: Z C = 9: 12: 15,及Z A+ Z B+Z C = 180°得/ C= 75° 工 90°,故不是直角三角形;C、 由三角形三个角度数和是180°及Z C = Z A -Z B解得Z A = 90°,故是直角三角形.D、由b2- a2= c2得b2= a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；故选：B.【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键.4. （ 3分）（20

5、19春？寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（AEA .点A、点B、点CB .点A、点D、点GC. 点B、点E、点FD .点B、点G、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析.【答案】解：A、AB2= 1+36= 37, AC2= 16+25 = 41 , BC2= 1+9 = 10, 37+10丰 41,不可以构成直角三角形；B、AD2= 16+16 = 32, AG2= 9+36 = 45, DG2= 1+4= 5, 32+5工

6、45,不可以构成直角三角形；2 2 2c、BE2 = 36+16 = 52, BF2= 25+25 = 50, EF2= 1+1 = 2, 50+2 = 52,可以构成直角三角形D、BG2= 25+9= 34 , BE2= 36+16 = 52, GE2= 9+1 = 10, 34+10 丰 52,不可以构成直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键.5. （ 3分）（2019春？洛阳期中）如图，在 ABC中，AB丄AC, AB = 5cm, BC= 13cm , BD是AC边上的中线，则 BCD的面积是（230cm2C. 60cm2

7、D. 65cm【分析】根据勾股定理求出 AC,根据三角形的面积公式计算，得到答案.【答案】解：由勾股定理得，AC = 7bc2-ab '=12,/ BD是AC边上的中线,CD = AD = 6, BCD 的面积=丄 5X 6= 15 (cm2),2【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a, b，斜边长为c,那么a2+ b2=c2.6. （ 3分）（2019春?西工区校级月考）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁

8、叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有）2018C. 2019D. 20201次后，以直角三角形两条直角边为边长的正2X 1 = 2; “生长” 2次后,【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是所有的正方形的面积和是3X 1 = 3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和.【答案】解：设直角三角形的是三条边分别是a, b, c.根据勾股定理，得 a2+b2 = c2,即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形 C的面积=1.推而广之，“生长”了 2019次后形成的图形中所有的正

9、方形的面积和是2020 X 1 = 2020.故选：D.【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方 形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键.7. （ 3分）（2019春？郯城县期中）如图，一根长 5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为4米, 如果竹竿的顶端 A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD （）A 等于1米B 大于1米C 小于1米D 以上都不对【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可.【答案】解：由题意得：在Rt AOB中，OA= 4米，AB= 5米，- OB =

10、 12 i 3 米，在 Rt COD 中，OC= 3 米，CD = 5 米，OD = -0C2= 4 米， AC= OD- OB = 1 米.故选：A.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的熟练运用勾股定理是解题的关键.8. （ 3分）（2019春？岑溪市期末）如图所示，有一个高18cm,底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）B.18cmC. 20cmD. 24cm【分析】展开后连接 SF,求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘

11、蛛所走的最短路径，过 求出SE、EF，根据勾股定理求出 SF即可.S作SE丄CD于E,【答案】解：如图展开后连接SF,求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径,过S作SE丄CD于E,则 SE= BC=X 24= 12cm,2EF = 18 - 1 - 1 = 16cm,在 Rt FES 中，由勾股定理得：SF = J£e?+Ef£ = J122+16 2= 20 (cm).答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm .故选：C.ADJC【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开-最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难 度适中.9. （ 3分）（20

12、19春？番禺区期中）如图是“赵爽弦图”， ABH、 BCG、 CDF和厶DAE是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD和EFGH都是正方形，如果 AB= 10，EF = 2，那么AH等于（）A . 2B . 4【分析】根据面积的差得出 a+b的值，再利用a - b= 2,解得a，b的值代入即可.【答案】解： AB= 10 , EF = 2,大正方形的面积是 100,小正方形的面积是 4,四个直角三角形面积和为100 - 4= 96，设AE为a, DE为b，即4 x_ab= 96,2 2 2ab= 96, a2+b2= 100,（ a+b） 2= a2+b2+2ab= 100+96 = 196,

13、 a+b=14,T a - b= 2,解得：a = 8, b= 6, AE= 8, DE = 6,AH = 8- 2 = 6.故选：C.【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值.10. （3分）（2018秋？临安区期中） ABC中，/ C = 90°, AC= 8cm, BC = 6cm.动点P从点C开始，按Ct At Bt C的路径运动，速度为每秒 2cm,运动的时间为t秒.以下结论中正确的有（） t为6秒时，CP把厶ABC的周长分成相等的两部分 t为6.5秒时，CP把厶ABC的面积分成相等的两部分，且此时 CP长为5cm： t为3秒或5.4

14、秒或6秒或6.5秒时， BCP为等腰三角形，A.B .C .D .【分析】 先由勾股定理求出 ABC的斜边AB = 10cm，则 ABC的周长为24cm，所以当CP把厶ABC 的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP = BP+BC= 12cm，再根据时间=路程十速度即可求解； 根据中线的性质可知，点 P在AB中点时，CP把厶ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可； BCP为等腰三角形时，分点 P在边AC和边AB上讨论计算.【答案】解： ABC 中，/ C = 90°, AC = 8cm, BC= 6cm, AB= 10cm, ABC 的周长=8+6+10 = 24

15、cm,当CP把厶ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB 上,此时 CA+AP = BP+BC = 12cm, t= 12十2= 6 （秒），故 正确；当点P在AB中点时，CP把厶ABC的面积分成相等的两部分,此时 CA+AP = 8+5 = 13 （cm）,t= 13 - 2= 6.5 （秒）,:.CP=ZaB=1x 10 = 5cm，故 正确;2 2依据 BCP为等腰三角形，当点P在边AC上时，CP = CB= 6cm,此时 t = 6 2= 3 （秒）;当点P在边AB上时. 如图1,若CP= CB，作AB边上的高 CD ,4 BC=丄AB CD .ACXBCA3.CD4.8在Rt CD

16、P中，根据勾股定理得，DP = | ； '= 3.6,BP= 2DP = 7.2, AP = 2.8,.t=( AC+AP)- 2 =( 8+2.8)- 2 = 5.4 (秒); 若BC= BP ,.BP= 6cm, CA+AP = 8+10 - 6= 12 (cm),. t= 12 2= 6 (秒); 若PB= PC ,点P在BC的垂直平分线与 AB的交点处，即在 AB的中点处，此时 CA+AP = 8+5 = 13 (cm),t= 13- 2= 6.5 (秒);综上可知，当t= 3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时， BCP为等腰三角形，故 正确.故选：A.【点睛】此题是三角形综合题，

17、主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段 的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程.二填空题(共 6小题，满分18分，每小题3分)11. (3分)(2019秋？响水县期中)分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、&10,(2) 5、12、13, (3)8、15、17,(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有(1)( 2)(3).(填序号)【分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.【答案】解：(1) 62+82= 102，可以构成直角三角形；(2) 52+122= 132，能构成直角三角形；(3) 82+152=

18、 172，能构成直角三角形;(4 ) 52+42工62不能构成直角三角形；故答案为：(1) (2) ( 3).【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知 ABC的三边满足a2+b2=工，则厶ABC是直角三角形.12. ( 3分)(2018秋？临安区期中)如图，在 ABC中，AB= AC = 13, BC = 10,点 D为BC的中点，DE 丄AB,垂足为点E,则DE等于二_ .13 【分析】首先连接 AD，由 ABC中，AB = AC = 13, BC = 10, D为BC中点，利用等腰三角形的三线合 一的性质，即可证得：AD丄BC,然后利用勾股定理， 即可求得AD

19、的长，然后利用面积法来求 DE的长.【答案】解：连接AD ,/ ABC 中，AB= AC = 13, BC = 10, D 为 BC 中点, AD 丄 BC, BD =5,又 DE 丄 AB,丄 BD?AD =2=-'- "A-5X1260AB"13_13B?ED, ED26013故答案为:【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.13. （3分）（2019春?常德期中）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是8米.【分析】由题意得，在直角三角形中，

20、知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边.【答案】解： AC= 4 米，BC = 3 米，/ ACB = 90°,折断的部分长为护+ 4，= 5（ m）,折断前咼度为5+3 = 8 （米）.故答案为：&【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，训练了学生对勾股定理在实际生活中的运用能力.14. （3分）（2018秋？盐都区期中）如图，已知 AD是Rt ABC的角平分线，/ ACB= 90°, AC= 6, BC =8,贝U BD =5.【分析】作DE丄AB于E,根据角平分线的性质得到DE = DC ,根据勾股定理计算即可【答案】解：作DE丄AB于E,/ ACB

21、= 90 ° , AC= 6, BC = 8, AB=10，/ AD 是角平分线，DE 丄 AB，/ ACB= 90 ° , DE = DC , AE = AC= 6, BE= 4,2 2 2 在 Rt DEB 中，DE2=( 8 - DE )- 42,解得，DC = DE = 3, BD = BC - DC = 8 - 3= 5,【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.15. （3分）（2019?北京）如图所示的网格是正方形网格，则/FAB+ / PBA = 45 。（点A, B, P是网格线交点）.【分析】延长

22、 AP交格点于D,连接BD，根据勾股定理得到 PD2= BD2= 1+22= 5, PB2= 12+32= 10,求 得PD2+DB2= PB2，于是得到/ PDB = 90°,根据三角形外角的性质即可得到结论.【答案】解：延长 AP交格点于D，连接BD ,则 PD2= BD2= 1+22= 5, PB2= 12+32= 10, PD2+DB2= pb2,/ PDB = 90°,/ DPB = Z PAB+ / PBA = 45【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.16. （3 分）（20

23、18 春？旌阳区校级期中）在 Rt ABC 中，/ ACB = 90°，AB= 13cm，AC = 5cm，动点 P 从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当厶ABP为等腰三角形时，t的值为 13s或 24s 或二s .【分析】当厶ABP为等腰三角形时， 分三种情况：当AB = BP时；当AB= AP时；当BP = AP时,分别求出BP的长度，继而可求得 t值.【答案】解：/ C= 90°，AB = 13cm，AC= 5cm， BC= 12cm. 当 BP= BA = 13 时， t= 13s. 当 AB = AP 时，BP = 2BC = 24c

24、m，. t= 24s. 当 pb= pa 时，PB= FA= tcm，CP =（ 12 - t） cm，AC = 5 cm，在 Rt ACP 中，AP2= AC2+CP2，（ t） 2= 52+ （12 - t） 2，解得 t=s.241 69综上，当 ABP为等腰三角形时，t= 13s或24s或斗乎s.24【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.三.解答题（共6小题，满分52分）17. （ 8分）（2018春？淮上区期中）如图，在 ABC中，AB = 15，BC = 14，AC = 13，AD为BC边上的高,24点

25、D为垂足，求 ABC的面积.由勾股定理可得： AD2= AB2 - BD2= 152 - x2, AD2= AC2 - CD2= 132-( 14 - x) 2,则 152 - x2= 132-(14 x)解得：x= 9,则 AD所以 ABC的面积=比工一丄亠丄一 一二.【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答.18. （8分）（2019春？长汀县期中）在甲村至乙村间有一条公路，在C处需要爆破，已知点 C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA丄CB,如图所示，为了安全起见，爆破点 C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时

26、，公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答.【分析】过 C作CD丄AB于D .根据BC = 400米，AC = 300米，/ ACB = 90°,利用根据勾股定理有 AB= 500米.利用SMBC = *AB?CD =y BC?AC得到CD = 240米再根据240米V 250米可以判断有危 险.【答案】解：公路 AB需要暂时封锁.理由如下：如图，过 C作CD丄AB于D .因为 BC = 400 米，AC = 300 米，/ ACB = 90°,所以根据勾股定理有 AB = 500米.因为 Saabc=AB?CD =丄BC?AC22所以 cd = =

27、 240 （米）AB500由于240米V 250米，故有危险， 因此AB段公路需要暂时封锁.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理.19. （8分）（2019秋？太仓市校级期中）（1）如图，在6X 6的网格中，请你画出一个格点正方形ABCD，使它的面积是10.（2）如图，A、B是4X 5的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1,请在图中清晰地标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.【分析】（1 ）根据面积求出正方形的边长为III,再勾股定理画出符合的图形即可;（2）分为三种情况： AC = BC,AB = BC,AC =

28、 AB,找出符合的点即可.【答案】解：（1 ）使4条边长为.I,如图所示：圏1（2）如图2所示:1h圏2共7个点.【点睛】本题考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的动手操作能力，比较容易出错.20. (8 分)(2018 秋？阜宁县期中)已知如图，AB= 13cm, AD = 4cm, CD= 3cm, BC = 12cm, / D = 90°.求四边形ABCD的面积.【分析】连接 AC,利用勾股定理求出 AC的长，在 ABC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积.【答案】解：连接AC,T AD = 4cm, CD = 3cm,/ AD

29、C = 90°, AC=1 | -. J= 5 (cm)Sacd =CD?AD = 6 (cm2).:-在厶 ABC 中，T 52+122= 132 即 AC2+BC2= AB2, ABC为直角三角形，即/ ACB = 90°,Smbc=AC?BC = 30 (cm2). S 四边形 ABCD= Sa ABC Sa ACD=30 6 = 24 (cm2).答：四边形 ABCD的面积为24cm2.S【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式掌握勾股定理及其逆定理，连 接AC,说明 ABC是直角三角形是解决本题的关键.21. (10分)(2018秋？大田县期

30、中)观察、思考与验证(1) 如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式(a+b) 2= a2+2ab+b2 ;(2) 如图2所示，/ B=Z D = 90°，且B, C, D在同一直线上.试说明：/ ACE = 90°1876(3) 伽菲尔德(1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在 年4月1日的新英格兰教育日志上)，请你写出验证过程.ai)图1圈2【分析】(1)由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；即可得(2) 由全等三角形的性质得出/BAC =Z DCE，再由角的互余关系得出/ACB+ / DCE = 90°,出结

31、论；(3) 先证明四边形 ABDE是梯形，由四边形 ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论.【答案】(1)解：这个公式是完全平方公式：(a+b) 2= a2+2ab+b2;理由如下：大正方形的边长为 a+b,大正方形的面积=(a+b) 2,又大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a2+b2+ab+ab= a2+2ab+b2,-( a+b)= a +2ab+b ;故答案为：(a+b) 2= a2+2ab+b2;(2)证明： ABCCDE ,/ BAC = Z DCE,/ ACB+ / BAC = 90 ° ,/ ACB+ / DCE = 90°,/ ACE = 90 ° ;(3)证明：/ B = Z D = 90° ,/ B+Z D= 180°, AB/ DE,即四边形 ABDE是梯形，四边形