与圆有关的轨迹方程的求法

1、精品文档与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P ( a, 3)在曲线Ci:f 1 (x,y ) =o上移动，动点P (x,y )依动点P而动,它满足关系：x x(,) y y(,)则关于a、3反解方程组，得g(x, y)h(x, y)代入曲线方程f i (x,y ) =0,即可求得动点P的轨迹方程C： f (x,y ) =0.例1、(求轨迹)：已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3)，端点A在圆(x 1)2 y2 4上 运动，求线段 AB的中点M的轨迹方程【例2】已知点A(3 , 0)，点P在圆x2 +yI的上半圆周上，/ AOP勺平分线交PA于Q求 点Q的轨迹方程.【法一】如图所示，设P(xo

2、, yo)( yo>0) , Qx, y).OC为/ AOP的平分线,PQ |OP| 1QA |OQ|31 Q分PA的比为丄.3xo3(xo41)xoyoyo4yo3y又因 x2 y2 =1,且 yo>o,16Gy216321.x2欢迎下载 Q的轨迹方程为(x -)2 y2 (y o).416精品文档例3、已知圆x22y4,过A(4,0)作圆的割线 ABC则弦BC中点的轨迹方程为()A. (x1)22y4 B .(x1)2y24(0 x 1)C. (x2)22y4 D .(x2)22y4(0 x 1)变式练习1 :已知定点B(3,0),点A在圆上运动，M是线段AB上的一点，AM 1

3、 MB，则点M的轨迹方程是3 1 、解：设 M (x, y), A(X1, y1) ； AM MB , (x x1, y3yj 3(3 x, y),Xiyi1(3 x)31y3Xiyi4x34y31.点A在圆x2y21上运动,2 x12y1(3x1)2/ )2(尹)1,即(x34)916，点 M的轨迹方程是(x9162:已知定点B(3,0)，点A在圆1上运动，AOB的平分线交AB于点M，则10欢迎下载点M的轨迹方程是解:设 M (x, y), A(x1, y1). / OMAOB的平分线誥OAOB 一 1 一AM - MB .3由变式1可得点M的轨迹方程是(x3)2 y224163：已知直线y

4、 kx 1与圆x24相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程M是OP的中点，.点M解：设P(x, y) , AB的中点为M OAPB是平行四边形，二的坐标为(=y)，且OM AB. 直线y kx 1经过定点C(0,1) , OM CM ,2 2OM CM (-,y) (-,- 1) (-)2 斗乂 1) 0，化简得 x2 (y 1)2 1 . .点 P 的轨2 2 2 2 2 2 2迹方程是x2 (y 1)2 1 .4、圆(x 2)2(y 1)29的弦长为2,则弦的中点的轨迹方程是 -5、 已知半径为1的动圆与圆(X勺2 (y 7)2 16相切，则动圆圆心的轨

5、迹方程是()A.(x 5)2 (y 7)2 25B . (x 5)2 (y 7)217 或(x 5)2 (y 7)215C . (x 5)2 (y 7)29D . (x 5)2 (y 7)225 或(x 5)2 (y 7)296.已知两定点 A(-2,0),B(1,0), 包围的面积等于(B )A p B 4 p C 8如果定点P满足PA=2PB则定点P的轨迹所p D 9 p7：已知点M与两个定点1O(0,0)，A(3,0)的距离的比为 丄，求点M的轨迹方程28如图所示，已知圆O: x2 y2 4与y轴的正方向交于 A点，点B在直线y 2上运动, 过B做圆0的切线，切点为 C，求 ABC垂心H

6、的轨迹.B1M$分析：按常规求轨迹的方法， 设H (x , y),找x, y的关系非常难.由于H点随B , C点运动而运动，可考虑 H , B , C三点坐标之间的关系.解：设 H(x, y) , C(x' , y')，连结 AH , CH ,则 AH BC, CH AB, 所以 OC AH , CH /OA , 所以四边形BC是切线OC BC , OA OC ,所以CH所以x2AOCH是菱形.OA 2，得-2-2)满足x y(y 2)24(xy 2,x.0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程. 做题时应注意分析图形的几

7、何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法.9.已知圆的方程为 x2 y2 r2，圆内有定点 P(a,b)，圆周上有两个动点 A、B，使 PA PB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.解法一：如图，在矩形 APBQ中，连结 AB , PQ交于M，显然 OM AB ,AB PQ ,由OM2OA2，即在直角三角形AM(罗2(宁)2 寸(x a)2 (y b)2 r2,也即x22 2 2 2y 2r (a b )，这便是Q的轨迹方程.解法二:、2设 Q(x,y)、A(x1，y1)、B(x?, y?)，则为

8、2y1r2,2x22y2又PQAB2，即(x a)22 2 2 2(y b)(Xi X2) (yi y2)2r2(x-|X2y2)又AB与PQ的中点重合，故x a x1 x2 , ybyiy2，即2 2 2(x a) (y b) 2r2(xx yiy2)+，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).这就是所求的轨迹方程.)、Q(x, y),解法三： 设 A(rcos , r sin )、B( r cos , r sin由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有x a rcos r cos ,y b r sinr sin ,又由PA PB有 型b1r cos a r cos a联立、消去 、

9、，即可得Q点的轨迹方程为x2 y2 2r2 (a2 b2).说明：本题的条件较多且较隐含， 解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质， 否则，将使解题陷入困境之中.2 2 010、由动点P向圆x2 y 1引两条切线PA、PB，切点分别为 A、B , APB =60 , 则动点P的轨迹方程是.解：设 P(x, y) . v APB =600,二 OPA =300. v OA AP ,二 OP 2OA 2 , /I 2222x2 y22，化简得x y 4 动点P的轨迹方程是x y 4.练习巩固：设A( c,0), B(c,0)(c0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a 0)，求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(x, y).由PAPBa(a0)，得也x.(x c)2y2c)2y2化简得(1 a2)x2(1a2)y22c(1 a2)x c2 (1 a2)0.所以当1时，化简得1时，化简得x20.2c(1 a2)a 1时，P点的轨迹是以2 x c20 ,整理得(xaJc)2a 1d a2(2c, 0)为圆心,a 12ac1为半径的圆;1时，P点的轨迹是y轴.11、已知两定点 A( 2,0) , B(1,0)，如果动点P满足PA 2PB，则点P的轨迹所包围 的面积