第2章第8节函数与方程

1、20092013年高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第8节 函数与方程考点 函数零点与方程的根1(2013安徽，5分)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2.若f(x1)x1<x2，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数为()A3B4C5 D6解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识因为函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f(x)3x22axb0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等的实根，即f(x)x1或f

2、(x)x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)x1和f(x)x2的不等实根的个数之和由上述可知函数f(x)在区间(，x1)，(x2，)上是单调递增的，在区间(x1，x2)上是单调递减的，又f(x1)x1<x2，如图所示，由数形结合可知，f(x)x1时，有两个不同实根，f(x)x2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.答案：A2（2013湖南，5分）函数f(x)ln x的图像与函数g(x)x24x4的图像的交点个数为()A0B1C2 D3解析：本题主要考查对数函数、二次函数的图像与方程根的个数，意在考查考生对初等函数的了解及数形结合能力结合对数函数f(x)ln x与二次函数g(x)x24

3、x4(x2)2可得函数图像有两个交点答案：C3(2013天津，5分)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数即为函数y|log0.5x|与y图象的交点个数在同一直角坐标系中作出函数y|log0.5x|与y的图象，易知有2个交点答案：B4(2013湖南，5分)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为()A3 B2C1 D0解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想由已知g(x)(x2)21，

4、所以其顶点为(2,1)，又f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)2ln x图象的下方，故函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象有2个交点答案：B5(2013重庆，5分)若a<b<c，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)·(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b) 和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a) 和(c，)内解析：本题考查函数的零点，意在考查考生数形结合的能力由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间

5、(a，b)和(b，c)内答案：A6（2012北京，5分）函数f(x)xx的零点个数为()A0B1C2 D3解析：因为yx在x0，)上单调递增，y()x在xR上单调递减，所以f(x)x()x在x0，)上单调递增，又f(0)1<0，f(1)>0，所以f(x)x()x在定义域内有唯一零点答案：B7（2012湖南，5分）设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数当x0，时，0<f(x)<1；当x(0，)且x时，(x)f(x)>0.则函数yf(x)sin x在2，2上的零点个数为()A2 B4C5 D8解析：依题意，当x0，时，0<

6、f(x)<1，由f(x)是偶函数得，当x，0时，0<f(x)<1，即x，时，0<f(x)<1，由f(x)的周期为2知，0<f(x)<1恒成立当x，2时，1sin x0，由0<f(x)<1得，yf(x)与ysin x不相交，即函数yf(x)sin x无零点；当x(0，)时，由(x)·f(x)>0得，f(x)<0，f(x)是减函数，而ysin x是增函数，由图象知，yf(x)与ysin x有1个交点，即函数yf(x)sin x有1个零点；当x(，)时，由(x)f(x)>0得，f(x)>0，f(x)是增函数，而y

7、sin x是减函数，由图象知，yf(x)与ysin x有一个交点，即函数yf(x)sin x有1个零点故函数yf(x)sin x在0,2上有2个零点由周期性得，函数yf(x)sin x在2，0)上有2个零点，即函数yf(x)sin x在2，2上有4个零点答案：B8（2012湖北，5分）函数f(x)xcos 2x在区间0,2上的零点的个数为()A2 B3C4 D5解析：f(x)xcos 2x0x0或cos 2x0，又cos 2x0在0,2上有，共4个根，故原函数有5个零点答案：D9（2011福建，5分）若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(2,2

8、)C(，2)(2，) D(，1)(1，)解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式0，即m240，解得m2或m2.答案：C10（2011天津，5分）对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(1,1(2，)B(2，1(1,2C(，2)(1,2D2，1解析：令(x22)(x1)1，得1x2，f(x)yf(x)c与x轴恰有两个公共点，画函数的图像得知实数c的取值范围是(2，1(1,2答案：B11（2011陕西，5分）方程|x|cosx在(，)内()A没有根 B有且仅有一个根C有且仅有两

9、个根 D有无穷多个根解析：求解方程|x|cosx在(，)内根的个数问题，可转化为求解函数(x)|x|和g(x)cosx在(，)内的交点个数问题由(x)|x|和g(x)cosx的图像易知有两交点，即原方程有且仅有两个根答案：C12（2010福建，5分）函数f(x)，的零点个数为()A3 B2C1 D0解析：法一：令f(x)0得或，x3或xe2，应选B.法二：画出函数f(x)的图象可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点答案：B13（2010天津，5分）函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：由于f(0)10，f(1)e1

10、0，根据函数的零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内答案：C14（2011辽宁，5分）已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex2xa0有解问题，即方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln2，所以g(x)在(，ln2)上是增函数，在(ln2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)2ln22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln22答案：(，2ln2215（2011北京，5分）已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范

11、围是_解析：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当0k1时，函数f(x)与yk的图像有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)答案：(0,1)16(2009·广东，14分)已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得极小值m1(m0)设f(x)，(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k(kR)如何取值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点解：yg(x)2axb的图象与直线y2x平行，a1.又yg(x)在x1处取得极小值m1，1，g(1)a(1)2b(1)cm1，所以b2，cm.从而f(x)x2.(1)已知m0，设曲线yf(x)上点P的坐标为P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为|PQ| ，当且仅当2x2x± 时等号成立|PQ|的最小值为，|m|m1.当m0时，解得m1.当m0时，解得m1.故m1或m1.(2)yf(x)kx的零点，即方程(1k)x20的解，m0，(1k)x20与(k1)x22xm0有相同的解若k1，(k1)x22xm0x0，所以函数yf(x